Qué son los porcentajes y cómo resolverlos. Porcentajes en matemáticas

Seguimos estudiando problemas elementales en matemáticas. Esta lección trata sobre problemas de porcentaje. Consideraremos varios problemas y también tocaremos aquellos puntos que no mencionamos anteriormente al estudiar los porcentajes, considerando que al principio crean dificultades para aprender.

La mayoría de los problemas que involucran porcentajes se reducen a encontrar un porcentaje de un número, encontrar un número por porcentaje, expresar alguna parte como porcentaje o expresar como porcentaje la relación entre varios objetos, números o cantidades.

Métodos para encontrar el porcentaje.

El porcentaje se puede encontrar de varias maneras. La forma más popular es dividir el número entre 100 y multiplicar el resultado por el porcentaje deseado.

Por ejemplo, para encontrar el 60% de 200 rublos, primero debes dividir estos 200 rublos en cien partes iguales:

200 rublos: 100 = 2 rublos.

Cuando dividimos un número entre 100, encontramos el uno por ciento de ese número. Entonces, dividiendo 200 rublos en 100 partes, automáticamente encontramos el 1% de doscientos rublos, es decir, descubrimos cuántos rublos hay por parte. Como puede verse en el ejemplo, una parte (uno por ciento) equivale a 2 rublos.

1% de 200 rublos - 2 rublos

Sabiendo cuántos rublos hay en una parte (1%), puedes averiguar cuántos rublos hay en dos partes, tres, cuatro, cinco, etc. Es decir, puedes encontrar cualquier número de porcentajes. Para hacer esto, simplemente multiplique estos 2 rublos por la cantidad requerida de partes (porcentajes). Encontremos sesenta piezas (60%)

2 rublos × 60 = 120 rublos.

2 rublos × 5 = 10 rublos.

Encontremos el 90%

2 rublos × 90 = 180 rublos.

Encontraremos el 100%

2 rublos × 100 = 200 rublos.

100% son las cien partes y suman 200 rublos.

La segunda forma es representar el porcentaje como una fracción común y encontrar esta fracción del número del cual desea encontrar el porcentaje.

Por ejemplo, encontremos el mismo 60% de 200 rublos. Primero, representemos el 60% como una fracción. 60% son sesenta partes de cien, es decir, sesenta centésimas:

Ahora la tarea puede entenderse como « encontrar desde 200rublos " . Esto es lo que estudiamos anteriormente. Te recordamos que para encontrar una fracción de un número, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción.

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

O multiplica el número por una fracción ():

La tercera forma es representar el porcentaje como decimal y multiplicar el número por el decimal.

Por ejemplo, encontremos el mismo 60% de 200 rublos. Para empezar, representa el 60% como fracción. 60% por ciento es sesenta partes sobre cien

Hagamos la división en esta fracción. Movamos el punto decimal del número 60 dos dígitos hacia la izquierda:

Ahora encontramos 0,60 de 200 rublos. Para encontrar la fracción decimal de un número, debes multiplicar este número por la fracción decimal:

200 × 0,60 = 120 frotar.

El método anterior para encontrar un porcentaje es el más conveniente, especialmente si una persona está acostumbrada a usar una calculadora. Este método le permite encontrar el porcentaje en un solo paso.

Como regla general, expresar un porcentaje en fracciones decimales no es difícil. Es suficiente agregar “cero entero” antes del porcentaje si el porcentaje es un número de dos dígitos, o agregar “cero entero” y otro cero si el porcentaje es número de un solo dígito. Ejemplos:

60% = 0,60 - se agregaron cero números enteros antes del número 60, ya que el número 60 tiene dos dígitos

6% = 0,06 - se agregaron cero enteros y un cero más antes del número 6, ya que el número 6 es de un solo dígito.

Al dividir por 100, utilizamos el método de mover el punto decimal dos dígitos hacia la izquierda. En la respuesta 0,60 se mantuvo el cero después del número 6. Pero si haces esta división con una esquina, el cero desaparece; obtienes la respuesta 0,6

Debemos recordar que las fracciones decimales 0,60 y 0,6 equivalen al mismo valor:

0,60 = 0,6

En el mismo “rincón” puedes continuar la división indefinidamente, añadiendo cada vez un cero al resto, pero esta será una acción sin sentido:

Puedes expresar porcentajes como una fracción decimal no solo dividiendo por 100, sino también multiplicando. El símbolo de porcentaje (%) reemplaza al multiplicador de 0,01. Y si tenemos en cuenta que el número de porcentajes y el signo de porcentaje se escriben juntos, entonces entre ellos hay un signo de multiplicación “invisible” (×).

Entonces, la entrada del 45% en realidad se ve así:

Reemplace el signo de porcentaje con un factor de 0,01

Esta multiplicación por 0,01 se realiza moviendo la coma decimal dos dígitos hacia la izquierda:

Problema 1. El presupuesto familiar es de 75 mil rublos al mes. De estos, el 70% es dinero que gana papá. ¿Cuánto ganó mamá?

Solución

El total es 100 por ciento. Si papá ganó el 70% del dinero, entonces mamá ganó el 30% restante.

Problema 2. El presupuesto familiar es de 75 mil rublos al mes. De estos, el 70% es dinero ganado por papá y el 30% es dinero ganado por mamá. ¿Cuánto dinero ganó cada persona?

Solución

De 75 mil rublos, encontraremos el 70 y el 30 por ciento. De esta forma determinaremos cuánto dinero ganó cada persona. Por conveniencia, escribimos 70% y 30% como fracciones decimales:

75 × 0,70 = 52,5 (mil rublos ganó papá)

75 × 0,30 = 22,5 (mil rublos ganados por la madre)

Examen

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Respuesta: 52,5 mil rublos. Papá ganó 22,5 rublos. Mamá ganó dinero.

Problema 3. Al enfriarse, el pan pierde hasta un 4% de su masa como consecuencia de la evaporación del agua. ¿Cuántos kilogramos se evaporarán cuando se enfríen 12 toneladas de pan?

Solución

Convirtamos 12 toneladas a kilogramos. Una tonelada contiene mil kilogramos y 12 toneladas contienen 12 veces más:

1000 × 12 = 12 000 kilogramos

Ahora encontremos el 4% de 12000. El resultado obtenido será la respuesta al problema:

12.000 × 0,04 = 480 kg

Respuesta: Cuando se enfríen 12 toneladas de pan, se evaporarán 480 kilogramos.

Problema 4. Cuando se secan, las manzanas pierden el 84% de su masa. ¿Cuántas manzanas secas obtendrás con 300 kg de manzanas frescas?

Encontremos el 84% de 300 kg.

300: 100 × 84 = 252 kilogramos

300 kg de manzanas frescas perderán 252 kg de masa como resultado del secado. Para responder a la pregunta de cuántas manzanas secas obtendrás, debes restar 252 de 300.

300 − 252 = 48 kilogramos

Respuesta: de 300 kg de manzanas frescas obtendrás 48 kg de manzanas secas.

Problema 5. Las semillas de soja contienen un 20% de aceite. ¿Cuánto aceite contienen 700 kg de soja?

Solución

Encontremos el 20% de 700 kg.

700 × 0,20 = 140 kg

Respuesta: 700 kg de soja contienen 140 kg de aceite

Problema 6. El trigo sarraceno contiene un 10% de proteínas, un 2,5% de grasas y un 60% de carbohidratos. ¿Cuántos de estos productos hay en 14,4 kg de trigo sarraceno?

Solución

Convirtamos 14,4 céntimos a kilogramos. Hay 100 kilogramos en un céntimo, 14,4 veces más en 14,4 céntimos

100 × 14,4 = 1440 kilogramos

Encontremos el 10%, 2,5% y 60% de 1440 kg.

1440 × 0,10 = 144 (kg de proteínas)

1440 × 0,025 = 36 (kg de grasa)

1440 × 0,60 = 864 (kg de carbohidratos)

Respuesta: 14,4 kg de trigo sarraceno contienen 144 kg de proteínas, 36 kg de grasa y 864 kg de carbohidratos.

Problema 7. Los escolares recogieron 60 kg de semillas de roble, acacia, tilo y arce para el vivero. Las bellotas constituían el 60%, las semillas de arce el 15%, las semillas de tilo el 20% de todas las semillas y el resto eran semillas de acacia. ¿Cuántos kilogramos de semillas de acacia recolectaron los escolares?

Solución

Tomemos como 100% semillas de roble, acacia, tilo y arce. Restemos de estos 100% los porcentajes que expresan las semillas de roble, tilo y arce. Así sabemos qué porcentaje de semillas de acacia son:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Ahora encontramos semillas de acacia:

60 × 0,05 = 3 kilogramos

Respuesta: Los escolares recogieron 3 kg de semillas de acacia.

Examen:

60 × 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 × 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Problema 8. Un hombre compró comida. La leche cuesta 60 rublos, que es el 48% del coste de todas las compras. Determine la cantidad total de dinero gastado en comestibles.

Solución

Se trata de una tarea de encontrar un número por su porcentaje, es decir, por su parte conocida. Este problema se puede solucionar de dos maneras. La primera es expresar un número conocido de porcentajes como una fracción decimal y encontrar el número desconocido de esta fracción.

Expresar 48% como decimal

48% : 100 = 0,48

Sabiendo que 0,48 son 60 rublos, podemos determinar el monto de todas las compras. Para hacer esto, necesitas encontrar el número desconocido por fracción decimal:

60: 0,48 = 125 rublos

Esto significa que la cantidad total de dinero gastada en alimentos es de 125 rublos.

La segunda forma es averiguar primero cuánto dinero hay por uno por ciento y luego multiplicar el resultado por 100.

El 48% son 60 rublos. Si dividimos 60 rublos entre 48, descubriremos cuántos rublos representan el 1%.

60: 48% = 1,25 rublos

El 1% equivale a 1,25 rublos. El total es 100 por ciento. Si multiplicamos 1,25 rublos por 100, obtenemos la cantidad total de dinero gastado en productos.

1,25 × 100 = 125 rublos

Problema 9. Las ciruelas frescas producen un 35% de ciruelas secas. ¿Cuántas ciruelas frescas necesitas para obtener 140 kg de ciruelas secas? ¿Cuántas ciruelas secas obtendrás con 600 kg de ciruelas frescas?

Solución

Expresemos el 35% como fracción decimal y encontremos el número desconocido usando esta fracción:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 kilogramos

Para obtener 140 kg de ciruelas secas, es necesario tomar 400 kg de ciruelas frescas.

Respondamos la segunda pregunta del problema: ¿cuántas ciruelas secas obtendrás con 600 kg de ciruelas frescas? Si el 35% de las ciruelas secas provienen de ciruelas frescas, entonces basta con encontrar ese 35% de 600 kg de ciruelas frescas.

600 × 0,35 = 210 kg

Respuesta: para obtener 140 kg de ciruelas secas, es necesario tomar 400 kg de ciruelas frescas. De 600 kg de ciruelas frescas obtendrás 210 kg de ciruelas secas.

Problema 10. La absorción de grasas por el cuerpo humano es del 95%. En el transcurso de un mes, el estudiante consumió 1,2 kg de grasa. ¿Cuánta grasa puede absorber su cuerpo?

Solución

Convertir 1,2 kg a gramos

1,2 × 1000 = 1200 gramos

Encontremos el 95% de 1200 g.

1200 × 0,95 = 1140 gramos

Respuesta: El cuerpo del estudiante puede absorber 1140 g de grasa.

Expresar números como porcentajes.

El porcentaje, como se mencionó anteriormente, se puede representar como una fracción decimal. Para hacer esto, simplemente divide el número de estos porcentajes por 100. Por ejemplo, imagina el 12% como una fracción decimal:

Comentario. Ahora no encontramos el porcentaje de algo, simplemente lo escribimos como una fracción decimal..

Pero el proceso inverso también es posible. Una fracción decimal se puede representar como un porcentaje. Para hacer esto, debes multiplicar esta fracción por 100 y poner un signo de porcentaje (%)

Representemos la fracción decimal 0,12 como porcentaje.

0,12 × 100 = 12%

Esta acción se llama expresar un número como porcentaje o expresar números en centésimas.

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Por ejemplo, si 2 × 5 = 10, entonces 10: 5 = 2

De la misma forma, la división se puede escribir en orden inverso. Si 10: 5 = 2, entonces 2 × 5 = 10:

Lo mismo ocurre cuando expresamos un decimal como porcentaje. Entonces, el 12% se expresó como decimal de la siguiente manera: 12: 100 = 0,12 pero luego se “devolvió” el mismo 12% usando la multiplicación, escribiendo la expresión 0,12 × 100 = 12%.

De manera similar, puedes expresar cualquier otro número, incluidos los enteros, como porcentajes. Por ejemplo, expresemos el número 3 como porcentaje. numero dado por 100 y agregue un signo de porcentaje al resultado:

3×100 = 300%

Los porcentajes grandes como el 300% pueden resultar confusos al principio porque la gente está acostumbrada a pensar en el 100% como el porcentaje máximo. A partir de información adicional sobre fracciones, sabemos que un objeto completo se puede denotar por uno. Por ejemplo, si hay un pastel entero sin cortar, se puede designar con 1

El mismo bizcocho puede denominarse bizcocho 100%. En este caso, tanto uno como 100% significarán el mismo pastel completo:

Cortemos el bizcocho por la mitad. En este caso, uno se convertirá en el número decimal 0,5 (ya que es la mitad de una unidad) y 100% se convertirá en 50% (ya que 50 es la mitad de una centena).

Te devolveremos la tarta entera, una unidad y 100%

Representemos dos pasteles más con las mismas notaciones:

Si un pastel es una unidad, entonces tres pasteles son tres unidades. Cada pastel es 100% entero. Si sumas estos trescientos obtienes el 300%.

Por lo tanto, al convertir números enteros a porcentajes, multiplicamos estos números por 100.

Problema 2. Expresa el número 5 como porcentaje.

5×100 = 500%

Problema 3. Expresa el número 7 como porcentaje.

7×100 = 700%

Problema 4. Expresa el número 7,5 como porcentaje.

7,5 × 100 = 750%

Problema 5. Expresa el número 0,5 como porcentaje.

0,5 × 100 = 50%

Problema 6. Expresa el número 0,9 como porcentaje.

0,9 × 100 = 90%

Ejemplo 7. Expresa el número 1,5 como porcentaje.

1,5 × 100 = 150%

Ejemplo 8. Expresa el número 2,8 como porcentaje.

2,8 × 100 = 280%

Problema 9. George camina a casa desde la escuela. En los primeros quince minutos caminó 0,75 del camino. El resto del tiempo caminó los 0,25 restantes del camino. Expresa el porcentaje de la distancia recorrida por George.

Solución

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Problema 10. John recibió media manzana. Exprese esta mitad como un porcentaje.

Solución

Media manzana se escribe como fracción 0,5. Para expresar esta fracción como porcentaje, multiplícala por 100 y agrega un signo de porcentaje al resultado.

0,5 × 100 = 50%

Análogos en forma de fracciones.

Un valor expresado como porcentaje tiene su contraparte en forma de fracción ordinaria. Entonces, el análogo del 50% es la fracción. El cincuenta por ciento también se puede llamar "la mitad".

El equivalente al 25% es una fracción. El veinticinco por ciento también se puede llamar cuarta parte.

El equivalente al 20% es una fracción. El veinte por ciento también puede denominarse quinto.

El análogo del 40% es una fracción.

El análogo del 60% es una fracción.

Ejemplo 1. Cinco centímetros es el 50% de un decímetro, o sólo la mitad. En todos los casos estamos hablando del mismo valor: cinco centímetros sobre diez.

Ejemplo 2. Dos centímetros y medio es el 25% de un decímetro o solo un cuarto

Ejemplo 3. Dos centímetros son el 20% de un decímetro o

Ejemplo 4. Cuatro centímetros es el 40% de un decímetro o

Ejemplo 5. Seis centímetros es el 60% de un decímetro o

Disminución y aumento de intereses.

Al aumentar o disminuir un valor expresado como porcentaje, se utiliza la preposición “a”.

Ejemplos:

• Aumentar en un 50% significa aumentar el valor 1,5 veces;
• Aumentar en 100% significa aumentar el valor 2 veces;
• Aumentar en un 200% significa aumentar 3 veces;
• Reducir en un 50% significa reducir el valor 2 veces;
• Reducir en un 80% significa reducir 5 veces.

Ejemplo 1. Diez centímetros aumentaron un 50%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?

Para resolver este tipo de problemas, es necesario tomar el valor inicial como 100%. El valor original es de 10 cm el 50% de ellos son de 5 cm.

Los 10 cm originales se incrementaron en un 50% (en 5 cm), lo que significa que resultaron ser 10+5 cm, es decir, 15 cm.

El equivalente a aumentar diez centímetros en un 50% es un multiplicador de 1,5. Si multiplicas 10 cm por él obtienes 15 cm.

10 × 1,5 = 15 cm

Por tanto, las expresiones “aumentar en un 50%” y “aumentar en 1,5 veces” significan lo mismo.

Ejemplo 2. Cinco centímetros aumentaron en un 100%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?

Tomemos los cinco centímetros originales como 100%. El cien por cien de estos cinco centímetros serán 5 cm. Si aumentas 5 cm con los mismos 5 cm, obtendrás 10 cm.

El análogo de un aumento de cinco centímetros en un 100% es un factor de 2. Si multiplicas 5 cm por él, obtienes 10 cm.

5×2 = 10cm

Por tanto, las expresiones “aumentar en un 100%” y “aumentar 2 veces” significan lo mismo.

Ejemplo 3. Cinco centímetros aumentaron en un 200%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?

Tomemos los cinco centímetros originales como 100%. Doscientos por ciento es dos veces cien por ciento. Es decir, el 200% de 5 cm serán 10 cm (5 cm por cada 100%). Si aumentas 5 cm por estos 10 cm, obtienes 15 cm.

El equivalente a aumentar cinco centímetros en un 200% es un factor de 3. Si multiplicas 5 cm por él, obtienes 15 cm.

5 × 3 = 15 cm

Por tanto, las expresiones “aumentar en un 200%” y “aumentar 3 veces” significan lo mismo.

Ejemplo 4. Diez centímetros reducidos en un 50%. ¿Cuántos centímetros quedan?

Tomemos los 10 cm originales como 100%. El cincuenta por ciento de 10 cm son 5 cm. Si restas 10 cm en estos 5 cm, te quedarán 5 cm.

Un análogo de reducir diez centímetros al 50% es el divisor 2. Si divides 10 cm por él, obtienes 5 cm.

10: 2 = 5 cm

Por tanto, las expresiones “reducir en un 50%” y “reducir 2 veces” significan lo mismo.

Ejemplo 5. Diez centímetros se redujeron en un 80%. ¿Cuántos centímetros quedan?

Tomemos los 10 cm originales como 100%. El ochenta por ciento de 10 cm son 8 cm. Si reduces 10 cm en estos 8 cm, te quedarán 2 cm.

Un análogo de reducir diez centímetros en un 80% es el divisor 5. Si divides 10 cm por él, obtienes 2 cm.

10:5 = 2 centímetros

Por tanto, las expresiones “reducir un 80%” y “reducir 5 veces” significan lo mismo.

Al resolver problemas que involucran porcentajes crecientes y decrecientes, puede multiplicar/dividir el valor por el factor especificado en el problema.

Problema 1. ¿En qué porcentaje cambió el valor si aumentó 1,5 veces?

El valor discutido en el problema se puede designar como 100%. Luego, multiplica este 100% por un factor de 1,5.

100% × 1,5 = 150%

Ahora del 150% recibido restamos el 100% original y obtenemos la respuesta al problema:

150% − 100% = 50%

Problema 2. ¿En qué porcentaje cambió el valor si disminuyó 4 veces?

Esta vez el valor disminuirá, por lo que realizaremos la división. Denotemos el valor mencionado en el problema como 100%. Luego, divide este 100% por un divisor de 4.

Del 100% inicial, resta el 25% resultante y obtén la respuesta al problema:

100% − 25% = 75%

Esto significa que cuando el valor disminuye 4 veces, disminuye en un 75%.

Problema 3. ¿En qué porcentaje cambió el valor si disminuyó 5 veces?

Denotemos el valor mencionado en el problema como 100%. Luego, divide este 100% por un divisor de 5.

Del 100% inicial, resta el 20% resultante y obtén la respuesta al problema:

100% − 20% = 80%

Esto significa que cuando el valor disminuye 5 veces, disminuye en un 80%.

Problema 4. ¿En qué porcentaje cambió el valor si disminuyó 10 veces?

Denotemos el valor mencionado en el problema como 100%. Luego, divide este 100% por un divisor de 10.

Del 100% inicial, resta el 10% resultante y obtén la respuesta al problema:

100% − 10% = 90%

Esto significa que cuando el valor disminuye 10 veces, disminuye en un 90%.

Problema para encontrar un porcentaje

Para expresar algo como porcentaje, primero debes escribir una fracción que muestre qué parte es el primer número del segundo, luego dividir esta fracción y expresar el resultado resultante como un porcentaje.

Por ejemplo, supongamos que haya cinco manzanas. En este caso, dos manzanas son rojas y tres son verdes. Expresemos manzanas rojas y verdes como porcentaje.

Primero necesitas saber qué parte son las manzanas rojas. Hay cinco manzanas en total y dos rojas. Esto quiere decir que dos de cada cinco o dos quintos son manzanas rojas:

Hay tres manzanas verdes. Esto quiere decir que tres de cada cinco o tres quintas partes son manzanas verdes:

Tenemos dos fracciones y . Hagamos la división en estas fracciones.

Obtuvimos las fracciones decimales 0,4 y 0,6. Ahora expresemos estas fracciones decimales como porcentaje:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Esto significa que el 40% son manzanas rojas y el 60% son verdes.

Y las cinco manzanas representan el 40%+60%, es decir, el 100%.

Problema 2. Mi madre les dio a mis dos hijos 200 rublos. Mi madre le dio a mi hermano menor 80 rublos y a mi hermano mayor 120 rublos. Expresa como porcentaje el dinero entregado a cada hermano.

Solución

El hermano menor recibió 80 rublos de 200 rublos. Escribimos la fracción ochenta y dos centésimas:

El hermano mayor recibió 120 de 200 rublos. Escribimos la fracción ciento veintidós centésimos:

Tenemos fracciones y . Hagamos la división en estas fracciones.

Expresemos los resultados obtenidos como porcentajes:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

Esto significa que el hermano menor recibió el 40% del dinero y el hermano mayor recibió el 60%.

Algunas fracciones que muestran qué parte es el primer número del segundo se pueden reducir.

Así se podrían reducir las fracciones. Esto no cambiaría la respuesta al problema:

Problema 3. El presupuesto familiar es de 75 mil rublos al mes. De estos, 52,5 mil rublos. - dinero ganado por papá. 22,5 mil rublos. - dinero ganado por mamá. Expresa como porcentaje el dinero ganado por mamá y papá.

Solución

Esta tarea, como la anterior, consiste en encontrar un porcentaje.

Expresemos el dinero que ganó papá como porcentaje. Ganó 52,5 mil rublos de 75 mil rublos.

Hagamos la división en esta fracción:

0,7 × 100 = 70%

Esto significa que papá ganó el 70% del dinero. Además, no es difícil adivinar que el 30% restante del dinero lo ganaba mi madre. Después de todo, 75 mil rublos es 100% dinero. Comprobemos para estar seguros. Mamá ganó 22,5 mil rublos. de 75 mil rublos. Anotamos la fracción, realizamos la división y expresamos el resultado como porcentaje:

Problema 4. Un colegial está entrenando para hacer dominadas en una barra. El mes pasado podía hacer 8 dominadas por serie. Este mes puede hacer 10 dominadas por serie. ¿En qué porcentaje aumentó el número de dominadas?

Solución

Averigüemos cuántas dominadas más hace un estudiante en el mes actual que en el pasado.

Averigüemos qué constituyen la segunda parte de las dominadas a partir de ocho dominadas. Para hacer esto, encuentre la proporción de 2 a 8.

Hagamos la división en esta fracción.

Expresemos el resultado como un porcentaje:

0,25 × 100 = 25%

Esto significa que el estudiante aumentó el número de dominadas en un 25%.

Este problema también se puede resolver con un segundo método, más rápido: averigüe cuántas veces 10 dominadas son mayores que 8 dominadas y exprese el resultado como porcentaje.

Para saber cuántas veces diez dominadas son mayores que ocho dominadas, necesitas encontrar la proporción de 10 a 8

Dividamos la fracción resultante.

Expresemos el resultado como un porcentaje:

1,25 × 100 = 125%

La tasa de pull-up para el mes actual es del 125%. Esta afirmación debe entenderse exactamente como "es 125%", no como “el indicador aumentó un 125%”. Estas son dos declaraciones diferentes que expresan cantidades diferentes.

La afirmación “es 125%” debe entenderse como “ocho dominadas que constituyen el 100% más dos dominadas que constituyen el 25% de las ocho dominadas”. Gráficamente se ve así:

Y la afirmación “aumentó un 125%” debe entenderse como “a las ocho dominadas actuales, que eran del 100%, se le añadió otro 100% (8 dominadas más) más otro 25% (2 dominadas). " Eso es un total de 18 dominadas.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 dominadas

Gráficamente esta declaración se ve así:

En total resulta ser el 225%. Si encontramos el 225% de ocho dominadas, obtenemos 18 dominadas.

8 × 2,25 = 18

Problema 5. El mes pasado el salario fue de 19,2 mil rublos. Este mes ascendió a 20,16 mil rublos. ¿En qué porcentaje aumentó el salario?

Este problema, al igual que el anterior, se puede solucionar de dos formas. La primera es averiguar primero cuántos rublos ha aumentado el salario. A continuación, conoce a qué parte corresponde este aumento del salario del último mes.

Averigüemos cuántos rublos aumentó el salario:

20,16 − 19,2 = 0,96 mil rublos.

Averigüemos qué parte de 0,96 mil rublos. oscila entre 19,2. Para hacer esto, encontramos la proporción de 0,96 a 19,2.

Hagamos la división en la fracción resultante. En el camino, recordemos:

Expresemos el resultado como un porcentaje:

0,05 × 100 = 5%

Esto significa que el salario aumentó un 5%.

Resolvamos el problema de la segunda forma. Averigüemos cuántas veces son 20,16 mil rublos. más de 19,2 mil rublos. Para hacer esto, encontramos la relación 20,16 a 19,2.

Dividamos la fracción resultante:

Expresemos el resultado como un porcentaje:

1,05 × 100 = 105%

El salario es del 105%. Es decir, esto incluye el 100%, que ascendió a 19,2 mil rublos, más el 5%, que ascendió a 0,96 mil rublos.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Problema 6. El precio de un portátil ha aumentado un 5% este mes. ¿Cuál es su precio si el mes pasado costó 18,3 mil rublos?

Solución

Encontremos el 5% de 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Sumemos este 5% a 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 mil rublos.

Respuesta: el precio del portátil es de 19.215 mil rublos.

Problema 7. El precio de un portátil ha bajado un 10% este mes. ¿Cuál es su precio si el mes pasado costó 16,3 mil rublos?

Solución

Encontremos el 10% de 16,3:

16,3 × 0,10 = 1,63

Resta este 10% de 16,3:

16,3 − 1,63 = 14,67 (mil rublos)

Estas tareas se pueden escribir brevemente:

16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (mil rublos)

Respuesta: El precio de la computadora portátil es de 14,67 mil rublos.

Problema 8. El mes pasado el precio de un portátil era de 21 mil rublos. Este mes el precio aumentó a 22,05 mil rublos. ¿En qué porcentaje aumentó el precio?

Solución

Determinemos cuántos rublos ha aumentado el precio.

22,05 − 21 = 1,05 (mil rublos)

Averigüemos qué parte de 1,05 mil rublos. es de 21 mil rublos.

Expresemos el resultado como un porcentaje.

0,05 × 100 = 5%

Respuesta: el precio del portátil aumentó un 5%

Problema 8. El trabajador debía producir 600 piezas según el plan, pero produjo 900 piezas. ¿En qué porcentaje cumplió el plan?

Solución

Averigüemos cuántas veces 900 partes son mayores que 600 partes. Para hacer esto, encuentre la proporción de 900 a 600.

El valor de esta fracción es 1,5. Expresemos este valor como un porcentaje:

1,5 × 100 = 150%

Esto significa que el trabajador cumplió el plan en un 150%. Es decir, lo completó al 100%, produciendo 600 piezas. Luego hizo otras 300 piezas, que es el 50% del plan original.

Respuesta: el trabajador completó el plan en un 150%.

Comparación de valores porcentuales

Ya hemos comparado cantidades muchas veces de diversas maneras. Nuestra primera herramienta fue la diferencia. Entonces, por ejemplo, para comparar 5 rublos y 3 rublos, anotamos la diferencia 5−3. Habiendo recibido la respuesta 2, se podría decir que “cinco rublos son dos rublos más que tres rublos”.

La respuesta obtenida como resultado de la resta es La vida cotidiana no se llama “diferencia”, sino “diferencia”.

Entonces, la diferencia entre cinco y tres rublos es dos rublos.

La siguiente herramienta que utilizamos para comparar valores fue la proporción. La razón nos permitió saber cuántas veces el primer número es mayor que el segundo (o cuántas veces el primer número contiene al segundo).

Así, por ejemplo, diez manzanas son cinco veces más que dos manzanas. O dicho de otro modo, diez manzanas contienen cinco veces dos manzanas. Esta comparación se puede escribir usando la relación

Pero los valores también se pueden comparar como porcentajes. Por ejemplo, compare el precio de dos bienes no en rublos, sino evalúe cuánto es mayor o menor el precio de un producto que el precio del otro como porcentaje.

Para comparar valores porcentuales, uno de ellos debe designarse como 100% y el segundo según las condiciones del problema.

Por ejemplo, averigüemos qué porcentaje diez manzanas son más que ocho manzanas.

100% es el valor con el que comparamos algo. Estamos comparando 10 manzanas con 8 manzanas. Entonces, para 100% denotamos 8 manzanas:

Ahora nuestra tarea es comparar qué porcentaje son 10 manzanas mayores que estas 8 manzanas. 10 manzanas son 8+2 manzanas. Esto significa que al agregar dos manzanas más a ocho manzanas, aumentaremos el 100% en otra cantidad de porcentajes. Para saber cuál, determinemos qué porcentaje de ocho manzanas son dos manzanas.

Sumar este 25% a ocho manzanas nos da 10 manzanas. Y 10 manzanas son 8+2, es decir, 100% y otra 25%. Total obtenemos 125%

Esto significa que diez manzanas son un 25% más grandes que ocho manzanas.

Ahora resolvamos el problema inverso. Averigüemos cuántos ocho por ciento de manzanas son menos de diez manzanas. La respuesta surge inmediatamente: ocho manzanas son un 25% más pequeñas. Sin embargo, no lo es.

Estamos comparando ocho manzanas con diez manzanas. Acordamos que tomaremos por 100% lo que comparamos. Por tanto, esta vez tomamos 10 manzanas al 100%:

Ocho manzanas son 10−2, es decir, reduciendo 10 manzanas en 2 manzanas, las reduciremos en una determinada cantidad de por ciento. Para saber cuál, determinemos qué porcentaje de diez manzanas son dos manzanas.

Restando este 20% a diez manzanas, obtenemos 8 manzanas. Y 8 manzanas son 10−2, es decir, 100% y menos 20%. Total obtenemos el 80%

Esto significa que ocho manzanas son un 20% menos que diez manzanas.

Problema 2. ¿En qué porcentaje son 5.000 rublos más que 4.000 rublos?

Solución

Tomemos 4000 rublos por el 100%. 5 mil es más que 4 mil por 1 mil. Esto significa que al aumentar cuatro mil por mil, aumentaremos cuatro mil en una cierta cantidad de por ciento. Averigüemos cuál. Para ello, determinamos qué parte es mil de cuatro mil:

Expresemos el resultado como un porcentaje:

0,25 × 100 = 25%

1000 rublos de 4000 rublos es el 25%. Si sumas este 25% a 4000, obtienes 5000 rublos. Esto significa que 5.000 rublos son un 25% más que 4.000 rublos.

Problema 3. ¿Qué porcentaje son 4000 rublos menos que 5000 rublos?

Esta vez comparamos 4000 con 5000. Tomemos 5000 como 100%. Cinco mil son más que cuatro mil por mil rublos. Averigua qué parte es mil de cinco mil

Mil sobre cinco mil es el 20%. Si restamos este 20% de 5.000 rublos, obtenemos 4.000 rublos.

Esto significa que 4000 rublos son menos de 5000 rublos en un 20%.

Problemas de concentración, aleaciones y mezclas.

Digamos que quieres hacer un poco de jugo. Tenemos a nuestra disposición agua y sirope de frambuesa.

Vierta 200 ml de agua en un vaso:

Agrega 50 ml de almíbar de frambuesa y revuelve el líquido resultante. Como resultado obtendremos 250 ml de zumo de frambuesa. (200 ml agua + 50 ml almíbar = 250 ml zumo)

¿Qué parte del jugo resultante es sirope de frambuesa?

El jarabe de frambuesa forma el jugo. Calculemos esta relación y obtengamos el número 0,20. Este número muestra la cantidad de almíbar disuelto en el jugo resultante. Llamemos a este número. concentración de jarabe.

La concentración de un soluto es la relación entre la cantidad de un soluto o su masa y el volumen de una solución.

La concentración suele expresarse como porcentaje. Expresemos la concentración de almíbar como porcentaje:

0,20 × 100 = 20%

Así, la concentración de almíbar en el jugo de frambuesa es del 20%.

Las sustancias en solución pueden ser heterogéneas. Por ejemplo, mezcla 3 litros de agua y 200 g de sal.

La masa de 1 litro de agua es 1 kg. Entonces la masa de 3 litros de agua será de 3 kg. Convertimos 3 kg a gramos, obtenemos 3 kg = 3000 g.

Ahora agregue 200 g de sal a 3000 g de agua y mezcle el líquido resultante. El resultado será una solución salina, cuya masa total será 3000 + 200, es decir, 3200 g. Encontremos la concentración de sal en la solución resultante. Para hacer esto, encuentre la relación entre la masa de sal disuelta y la masa de la solución.

Esto quiere decir que al mezclar 3 litros de agua y 200 g de sal, obtendrás una solución salina al 6,25%.

De manera similar, se puede determinar la cantidad de una sustancia en una aleación o mezcla. Por ejemplo, una aleación contiene estaño que pesa 210 gy plata que pesa 90 g. Entonces la masa de la aleación será 210 + 90, es decir, 300 g. La aleación contendrá estaño y plata. El porcentaje de estaño será del 70% y de plata del 30%.

Cuando se mezclan dos soluciones, se obtiene una nueva solución que consta de la primera y la segunda solución. La nueva solución puede tener una concentración diferente de la sustancia. Una habilidad útil es la capacidad de resolver problemas que involucran concentración, aleaciones y mezclas. En general, el objetivo de este tipo de tareas es controlar los cambios que se producen cuando se mezclan soluciones de diferentes concentraciones.

Mezcla dos jugos de frambuesa. Los primeros 250 ml de zumo contienen un 12,8% de sirope de frambuesa. Y el segundo zumo, de 300 ml, contiene un 15% de sirope de frambuesa. Vierte estos dos jugos en un vaso grande y mezcla. Como resultado, obtenemos un jugo nuevo con un volumen de 550 ml.

Ahora determinemos la concentración de almíbar en el jugo resultante. Los primeros 250 ml de jugo escurrido contenían un 12,8% de almíbar. Y el 12,8% de 250 ml son 32 ml. Esto significa que el primer jugo contenía 32 ml de almíbar.

El segundo jugo escurrido de 300 ml contenía 15% de almíbar. Y el 15% de 300 ml son 45 ml. Esto significa que el segundo jugo contenía 45 ml de almíbar.

Sumemos las cantidades de almíbares:

32ml + 45ml = 77ml

Estos 77 ml de almíbar están contenidos en el zumo nuevo, que tiene un volumen de 550 ml. Determinemos la concentración de almíbar en este jugo. Para hacer esto, encuentre la proporción de 77 ml de almíbar disuelto al volumen de jugo de 550 ml:

Esto significa que al mezclar un 12,8% de zumo de frambuesa con un volumen de 250 ml y un 15% de zumo de frambuesa con un volumen de 300 ml, el resultado es un 14% de zumo de frambuesa con un volumen de 550 ml.

Problema 1. Hay 3 soluciones de sal marina en agua: la primera solución contiene un 10% de sal, la segunda contiene un 15% de sal y la tercera contiene un 20% de sal. Mezclar 130 ml de la primera solución, 200 ml de la segunda solución y 170 ml de la tercera solución. Determina qué porcentaje de sal marina hay en la solución resultante.

Solución

Determinemos el volumen de la solución resultante:

130ml + 200ml + 170ml = 500ml

Dado que la primera solución contenía 130 × 0,10 = 13 ml de sal marina, la segunda solución contenía 200 × 0,15 = 30 ml de sal marina y la tercera contenía 170 × 0,20 = 34 ml de sal marina, entonces la solución resultante contendrá contiene 13 + 30 + 34 = 77 ml de sal marina.

Determinemos la concentración de sal marina en la solución resultante. Para hacer esto, encuentre la proporción de 77 ml de sal marina a un volumen de solución de 500 ml.

Esto significa que la solución resultante contiene un 15,4% de sal marina.

Problema 2. ¿Cuántos gramos de agua se deben agregar a 50 g de una solución que contenga 8% de sal para obtener una solución al 5%?

Solución

Tenga en cuenta que si se agrega agua a la solución existente, la cantidad de sal que contiene no cambiará. Solo cambiará su porcentaje, ya que agregar agua a la solución provocará un cambio en su masa.

Necesitamos agregar tal cantidad de agua que el ocho por ciento de sal se convierta en cinco por ciento.

Determinemos cuántos gramos de sal hay en 50 g de solución. Para hacer esto, encuentre el 8% de 50.

50 gramos × 0,08 = 4 gramos

El 8% de 50 gramos son 4 gramos, es decir, ocho partes de cien equivalen a 4 gramos de sal. Procuremos que estos 4 gramos no provengan de ocho partes, sino de cinco partes, es decir, el 5%.

4 gramos - 5%

Ahora que sabemos que hay 4 gramos por solución al 5%, podemos encontrar la masa de toda la solución. Para hacer esto necesitas:

4 gramos: 5 = 0,8 gramos
0,8 gramos × 100 = 80 gramos

80 gramos de solución es la masa a la que habrá 4 gramos de sal por solución al 5%. Y para obtener estos 80 gramos, es necesario añadir 30 gramos de agua a los 50 gramos originales.

Esto significa que para obtener una solución salina al 5%, es necesario agregar 30 g de agua a la solución existente.

Problema 2. Las uvas contienen un 91% de humedad y las pasas, un 7%. ¿Cuántos kilogramos de uvas se necesitan para producir 21 kilogramos de pasas?

Solución

Las uvas se componen de humedad y materia pura. Si las uvas frescas contienen un 91% de humedad, entonces el 9% restante será la sustancia pura de esta uva:

Las pasas contienen un 93% de sustancia pura y un 7% de humedad:

Tenga en cuenta que en el proceso de convertir las uvas en pasas, solo desaparece la humedad de estas uvas. La sustancia pura permanece inalterada. Después de que las uvas se conviertan en pasas, las pasas resultantes tendrán un 7% de humedad y un 93% de materia pura.

Determinemos cuánta sustancia pura hay en 21 kg de pasas. Para ello encontraremos el 93% de 21 kg.

21 kilos × 0,93 = 19,53 kilos

Ahora volvamos al primer dibujo. Nuestra tarea era determinar cuántas uvas se necesitaban para obtener 21 kg de pasas. Una sustancia pura que pesa 19,53 kg supondrá el 9% de la uva:

Ahora, sabiendo que el 9% de sustancia pura son 19,53 kg, podemos determinar cuántas uvas se necesitan para producir 21 kg de pasas. Para hacer esto, necesitas encontrar el número por su porcentaje:

19,53 kilogramos: 9 = 2,17 kilogramos
2,17 kg × 100 = 217 kg

Esto significa que para obtener 21 kg de pasas es necesario tomar 217 kg de uvas.

Problema 3. En una aleación de estaño y cobre, el cobre constituye el 85%. ¿Cuánta aleación se debe tomar para que contenga 4,5 kg de estaño?

Solución

Si el cobre constituye el 85% de la aleación, el 15% restante será estaño:

La pregunta es cuánta aleación se debe tomar para que contenga 4,5 estaño. Dado que la aleación contiene un 15% de estaño, 4,5 kg de estaño representarán este 15%.

Y sabiendo que 4,5 kg de aleación constituyen el 15%, podemos determinar la masa de toda la aleación. Para hacer esto, necesitas encontrar el número por su porcentaje:

4,5 kilos: 15 = 0,3 kilos
0,3 kg × 100 = 30 kg

Esto significa que es necesario tomar 30 kg de aleación para que contenga 4,5 kg de estaño.

Problema 4. Mezcló una cierta cantidad de solución al 12%. de ácido clorhídrico con la misma cantidad de solución al 20% del mismo ácido. Encuentre la concentración del ácido clorhídrico resultante.

Solución

Representemos la primera solución en la figura como una línea recta y resaltemos el 12% en ella.

Dado que el número de soluciones es el mismo, se puede dibujar la misma figura una al lado de la otra, ilustrando la segunda solución con un contenido de ácido clorhídrico del 20%.

Disponemos de doscientas partes de solución (100% + 100%), de las cuales treinta y dos partes son ácido clorhídrico (12% + 20%)

Determinemos qué parte son 32 partes de 200 partes.

Esto significa que al mezclar una solución de ácido clorhídrico al 12% con la misma cantidad de una solución al 20% del mismo ácido, el resultado es una solución de ácido clorhídrico al 16%.

Para comprobarlo, imagine que la masa de la primera solución fuera de 2 kg. La masa de la segunda solución también será de 2 kg. Luego, al mezclar estas soluciones, obtendrás 4 kg de solución. En la primera solución de ácido clorhídrico había 2 × 0,12 = 0,24 kg, y en la segunda, 2 × 0,20 = 0,40 kg. Entonces en la nueva solución de ácido clorhídrico habrá 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. La concentración de ácido clorhídrico será del 16%.

Problemas para resolver de forma independiente.

Ahora aumentemos el número en el 60% encontrado, es decir por numero

Respuesta: el nuevo valor es

Tarea 12. Responda las siguientes preguntas:

1) Gastó el 80% del importe. ¿Qué porcentaje queda de esta cantidad?
2) Los hombres constituyen el 75% de todos los trabajadores de las fábricas. ¿Qué porcentaje de los empleados de la planta son mujeres?
3) Las niñas constituyen el 40% de la clase. ¿Qué porcentaje de la clase son niños?

A Solución

Usemos una variable. Dejar PAG este es el número original al que se hace referencia en el problema. Tomemos este número inicial PAG por 100%

Reduzcamos este número original. PAG en un 50%

Ahora el nuevo número es el 50% del número original. Descubra cuántas veces es el número original PAG más que el nuevo número. Para hacer esto, encuentre la proporción de 100% a 50%.

El número original es el doble del nuevo. Esto se puede ver incluso en el dibujo. Y para que el nuevo número sea igual al original, es necesario duplicarlo. Y duplicar un número significa aumentarlo en un 100%.

Esto significa que el nuevo número, que es la mitad del número original, debe incrementarse en un 100%.

Al considerar el nuevo número, también se toma como 100%. Entonces, en la figura anterior, el nuevo número es la mitad del número original y está etiquetado como 50%. En relación al número original, el nuevo número es la mitad. Pero si lo consideramos por separado del original, hay que tomarlo como 100%.

Por lo tanto, en la figura, el nuevo número, que está representado por una línea, se designó primero como 50%. Pero luego designamos este número como 100%.

Respuesta: Para obtener el número original, el nuevo número debe incrementarse en un 100%.

Problema 16. El mes pasado hubo 15 accidentes en la ciudad.
Este mes esta cifra bajó a 6. ¿En qué porcentaje disminuyó el número de accidentes?

Solución

El mes pasado hubo 15 accidentes. Este mes son 6. Esto significa que el número de accidentes se ha reducido en 9.
Tomemos 15 accidentes como 100%. Reduciendo 15 accidentes de tráfico a 9, los reduciremos en un determinado porcentaje. Para saber cuál, averiguaremos qué parte de 9 accidentes es de 15 accidentes.

Respuesta: la concentración de la solución resultante es del 12%.

Problema 18. Mezclamos una cierta cantidad de una solución al 11% de una determinada sustancia con la misma cantidad de una solución al 19% de la misma sustancia. Encuentre la concentración de la solución resultante.

Solución

La masa de ambas soluciones es la misma. Cada solución se puede tomar como 100%. Después de agregar las soluciones, se obtiene una solución al 200%. La primera solución contenía el 11% de la sustancia y la segunda solución contenía el 19% de la sustancia. Entonces la solución resultante al 200% contendrá 11% + 19% = 30% de la sustancia.

Determinemos la concentración de la solución resultante. Para hacer esto, averiguamos qué parte de treinta partes de una sustancia componen doscientas partes de una sustancia:

1,10. Esto significa que el precio del primer mes será 1,10.

En el segundo mes el precio también aumentó un 10%. Agregue el diez por ciento de este precio al precio actual de 1,10, obtenemos 1,10 + 0,10 × 1,10. Esta cantidad es igual a la expresión 1,21 . Esto significa que el precio para el segundo mes pasará a ser 1,21.

En el tercer mes el precio también aumentó un 10%. Agregue el diez por ciento de este precio al precio actual de 1,21, obtenemos 1,21 + 0,10 × 1,21. Esta cantidad es igual a la expresión 1.331 . Entonces el precio del tercer mes será 1.331.

Calculemos la diferencia entre los precios nuevos y antiguos. Si el precio inicial era igual a 1, entonces aumentó en 1,331 − 1 = 0,331. Expresemos este resultado como porcentaje, obtenemos 0,331 × 100 = 33,1%

Respuesta: En tres meses, los precios de los alimentos aumentaron un 33,1%.

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Hoy hablaremos de intereses.

Es imposible invertir sin entender qué es el interés y cómo se calcula la rentabilidad.

Por regla general, no hay problemas con el interés simple; cualquiera que alguna vez haya depositado dinero en un banco sabe que, por ejemplo, el tipo de interés es del 10% anual para un depósito de 50.000 rublos. Dará 5000 ingresos por año.

Es más difícil entender el efecto del interés compuesto, pero es muy importante en la inversión a largo plazo, es decir, cuando las inversiones se realizan con el objetivo de lograr la libertad financiera.

En esencia, con el interés compuesto, los ingresos por intereses se reinvierten, aumentando el tamaño del depósito. Aquí hay un ejemplo, digamos que tiene 100.000 rublos. y sobre ellos recibes el 10% de los ingresos, es decir. 10.000 rublos. en el año.

El primer año recibiste 10.000 rublos. y su aportación aumentó en estos 10.000, ascendiendo a 110.000 rublos.

En el segundo año, sus ingresos ya serán del 10% de 110.000 rublos, es decir. 11.000 rublos, que también añades al depósito, que pasa a ser 110.000 + 11.000 = 121.000 rublos.

Tercer año: sus 121 mil rublos nuevamente aportan el 10%, es decir, 12 100 rublos en rublos, y su contribución al final del tercer año será de 121 000 + 12 100 = 133 100 rublos.

Etc.

En forma formalizada, el interés compuesto se escribe de la siguiente manera:

FV = PV (1 + r)^n

Dónde F.V.– valor futuro del depósito;fotovoltaico– coste inicial del depósito;r– tasa de rendimiento (rentabilidad);norte– número de períodos.

Bueno, comprueba la fórmula usando nuestro ejemplo FV = 10.000 (1 + 0,1)^3 = 133.100 rublos. Como puedes ver, todo salió bien :)

Cuando se invierte a largo plazo, la importancia del interés compuesto aumenta enormemente.

Imaginemos este ejemplo: si la leche sube de precio un 10% anual, ¿cuánto costará dentro de 20 años? Si hoy la leche cuesta 30 rublos por litro, si permitimos que el costo de la leche aumente un 10% anual, dentro de 20 años la leche costará FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 rublos 82 kopeks.

Este ejemplo, por cierto, muestra muy bien la necesidad de invertir y preservar el capital, ya que también se deprecia según la fórmula del interés compuesto.

Esta fórmula también se llama “fórmula Rothschild”, “fórmula del diablo”, y en inglés y en los círculos financieros se llama “composición”.

Todo en la Tierra cambia según la fórmula del interés compuesto: la inflación, el aumento del consumo de petróleo o de trigo, la población de la Tierra cambia, etc.

Cuando inviertes el porcentaje te funciona, aquí tienes un ejemploMencioné antes sobre las pensiones.:

¿Cuánto dinero podrá ahorrar el ruso medio si invierte 3.000 rublos? por mes durante 30 años? Supongamos que el crecimiento de sus inversiones será del 5% anual y el retorno de la inversión será del 17% anual.

Al cabo de 30 años se habrán acumulado 32.022.812 rublos. Así funciona para ti el interés compuesto, actuando como una palanca que incrementa tu aportación.

Pero también va en contra cuando se piden préstamos, por ejemplo.

En principio, existen programas que permiten calcular el interés compuesto y las fórmulas de anualidades asociadas a ellos (una anualidad se considera una serie de pagos que son iguales (o cambian según un patrón) y están espaciados entre sí por el mismo período de tiempo; el ejemplo con la acumulación de 3.000 rublos en un mes también se considera una anualidad mensual más alta y pagos mensuales del préstamo iguales a lo largo del tiempo).

Puedes probarlo tú mismo, yo lo uso.Me gusta este programa para iPad , es gratis y también tienen opciones para Android.

La figura muestra un ejemplo de cómo calcular el monto de los pagos del préstamo utilizando este programa.

Allí también puedes probar otros cálculos financieros, por ejemplo, calcular el interés compuesto y las anualidades.

Pruébelo, lo principal es comprender el principio mismo.

Porcentajes en matemáticas. Problemas que involucran porcentajes.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Porcentajes en matemáticas.

Qué ha pasado porcentajes en matemáticas? como decidir problemas de porcentaje? Estas preguntas, por desgracia, surgen de repente... Cuando un graduado lee la tarea del Examen Estatal Unificado. Y lo pusieron en un callejón sin salida. Pero en vano. Estos son conceptos muy simples.

Lo único que necesitas recordar es qué es. uno porciento . Este concepto es llave maestra a resolver problemas que involucran porcentajes y a trabajar con porcentajes en general.

El uno por ciento es la centésima parte de un número. . Eso es todo. No hay más sabiduría.

Una pregunta razonable: ¿qué pasa con la centésima parte? qué fecha ? Pero el número que se comenta en la tarea. Si se habla de precio, el uno por ciento es la centésima parte del precio. Si hablamos de velocidad, el uno por ciento es una centésima parte de la velocidad. Etcétera. Está claro que el número en cuestión es siempre del 100%. Y si no existe un número en sí, entonces los porcentajes no tienen significado...

Otra cosa es que en problemas complejos el número en sí estará tan oculto que no podrás encontrarlo. Pero todavía no apuntamos a lo complicado. vamos a tratar con porcentajes en matemáticas.

No en vano hago hincapié en las palabras. uno por ciento, una centésima. Recordando lo que es uno porciento, ¡puedes encontrar fácilmente el dos por ciento, treinta y cuatro, diecisiete y ciento veintiséis! Encontrarás todo lo que necesites.

Y esta, por cierto, es la principal habilidad para resolver problemas con porcentajes.

¿Lo intentamos?

Encontremos el 3% de 400. Primero encontremos uno porciento. Esto será una centésima, es decir 400/100 = 4. El uno por ciento es 4. ¿Cuánto por ciento necesitamos? Tres. Entonces multiplicamos 4 por tres. Obtenemos 12. Eso es todo. El tres por ciento de 400 es 12.

5% de 20 es 20 dividido por 100 (una centésima es 1%) y multiplicado por cinco (5%):

El 5% de 20 será 1. Eso es todo.

No podría ser más sencillo. ¡Practiquemos rápidamente antes de que nos olvidemos!

Encuentra cuánto será:
5% desde 200 rublos.
8% de 350 kilómetros.
120% a partir de 10 litros.
15% de 60 grados.
4% de estudiantes excelentes de 25 estudiantes.
10% de estudiantes pobres de 20 personas.

Respuestas (en completo desorden): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Estos números son el número de rublos, títulos, estudiantes, etc. No escribí cuánto de qué, para que fuera más interesante decidir...

¿Qué pasa si necesitamos escribir? X%¿De algún número, por ejemplo, de 50? Sí, todo es igual. Uno por ciento de 50: ¿cuánto? Así es, 50/100 = 0,5. Y tenemos este porcentaje... X. Bueno, multipliquemos 0,5 por X! lo entendemos X% de 50 esto es – 0,5x.

Eso espero porcentajes en matemáticas lo entendiste. Y puedes encontrar fácilmente cualquier porcentaje de cualquier número. Es sencillo. ¡Ahora puedes manejar aproximadamente el 60% de todos los problemas porcentuales! Ya más de la mitad. Bueno, ¿terminemos el resto? ¡Vale, lo que tú digas!

En problemas que involucran porcentajes, a menudo ocurre la situación opuesta. Ellos nos dan cantidades (cualquier tipo), pero necesitamos encontrar interés . Dominemos este sencillo proceso.

3 personas de 120 – ¿qué porcentaje? ¿No lo sé? Pues bien, que así sea. X por ciento.

calculemos X% de 120 personas. En las personas. Esto es lo que podemos hacer. Dividir 120 entre 100 (calcular 1%) y multiplicar por X(calculamos X%). Obtenemos 1,2 X.

Entendamos el resultado.

X por ciento de 120 personas, esto es 1,2 X Humano . Y tenemos tres de esas personas. Queda por equiparar:

Recordamos que para X tomamos el número de porcentajes. Esto significa que 3 personas de 120 personas son el 2,5%.

Eso es todo.

Se puede hacer de otra manera. Puedes hacerlo con simple ingenio, sin ecuaciones. Pensemos , cuantas veces 3 personas menos de 120? Divide 120 entre 3 y obtiene 40. Esto significa que 3 es 40 veces menor que 120.

El número requerido de personas en porcentaje será la misma cantidad de veces menos de 100%. Al fin y al cabo, 120 personas es el 100%. Dividir 100 entre 40, 100/40 = 2,5

Eso es todo. Recibimos el 2,5%.

También existe un método de proporciones, pero en esencia es lo mismo en una versión abreviada. Todos estos métodos son correctos. Lo que sea más conveniente, familiar y comprensible para usted, considérelo así.

Estamos entrenando de nuevo.

Calcula el porcentaje:
3 personas de 12.
10 rublos desde 800.
4 libros de texto de 160 libros.
24 respuestas correctas a 32 preguntas.
2 respuestas adivinadas a 32 preguntas.
9 aciertos de 10 tiros.

Respuestas (en orden): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

En el proceso de cálculo, es posible que encuentres fracciones. Incluyendo los inconvenientes, como 1.333333... ¿Quién te dijo que usaras una calculadora? ¿Tú mismo? No hay necesidad. Contar sin calculadora , como está escrito en el tema “Fracciones”. Hay todo tipo de porcentajes...

Así que dominamos la transición de cantidades a porcentajes y viceversa. Puedes asumir tareas.

Problemas que involucran porcentajes.

Los problemas con porcentajes son muy populares en el Examen Estatal Unificado. Desde lo más simple hasta lo más complejo. En esta sección trabajamos con tareas sencillas. En problemas simples, por regla general, es necesario pasar de porcentajes a las cantidades analizadas en el problema. A rublos, kilogramos, segundos, metros, etc. O viceversa. Ya sabemos cómo hacer esto. Después de esto, el problema se vuelve claro y fácil de resolver. ¿No me crees? Ver por ti mismo.
Tengamos ese problema.

“Un viaje en autobús cuesta 14 rublos. Durante las vacaciones escolares, se introdujo un descuento del 25% para los estudiantes. ¿Cuánto cuesta viajar en autobús durante las vacaciones escolares?

¿Cómo decidir? Si averiguamos cuánto 25% en rublos– entonces no hay nada que decidir. Restemos el descuento del precio original, ¡y listo!

¡Pero ya sabemos reconocer esto! cuanto sera uno porciento ¿De 14 rublos? Una centésima parte. Es decir, 14/100 = 0,14 rublos. Y tenemos 25 de esos porcentajes. Así que multiplicamos 0,14 rublos por 25. Obtenemos 3,5 rublos. Eso es todo. Hemos establecido el monto del descuento en rublos, solo queda averiguarlo. nuevo valor direcciones:

14 – 3,5 = 10,5.

Diez rublos y medio. Esta es la respuesta.

Tan pronto como pasamos de los intereses a los rublos, todo se volvió simple y claro. Este es un enfoque general para resolver problemas de porcentaje.

Está claro que no todas las tareas son igualmente elementales. Los hay más complicados. ¡Solo piensa! Los resolveremos ahora también. La dificultad es que es al revés. Nos dan algunas cantidades, pero necesitamos encontrar los porcentajes. Por ejemplo, esta tarea:

“Anteriormente, Vasya resolvió correctamente dos problemas de veinte. Después de estudiar el tema en un sitio web útil, Vasya comenzó a resolver correctamente 16 de 20 problemas. ¿En qué porcentaje se volvió más sabio? Consideramos que 20 problemas resueltos son 100% inteligentes”.

Dado que la pregunta es sobre porcentajes (y no sobre rublos, kilogramos, segundos, etc.), pasamos a los porcentajes. Averigüemos qué porcentaje resolvió Vasya. antes comprensión, ¿qué porcentaje después – ¡y está en la bolsa!

Nosotros contamos. Dos problemas de 20: ¿qué porcentaje? 2 es 10 veces menor que 20, ¿verdad? Esto significa el número de problemas. en porcentajes será 10 veces menor que el 100%. Es decir, 100/10 = 10.

10%. Sí, Vasya decidió un poco... No hay nada que hacer en el Examen Estatal Unificado. Pero ahora se ha vuelto más sabio y resuelve 16 problemas de 20. ¿Calculemos qué porcentaje será? ¿Cuántas veces es 16 menor que 20? No puedes saberlo de improviso... Tendrás que dividirlo.

5/4 veces. Bueno, ahora dividimos 100 entre 5/4:

Aquí. El 80% ya es sólido. Y lo más importante: ¡el cielo es el límite!

¡Pero esta aún no es la respuesta! Volvemos a leer el problema para no equivocarnos de la nada. Si, nos preguntan por cuánto tiempo ¿Vasya se ha vuelto un porcentaje más sabio? Bueno, es simple. 80% - 10% = 70%. En un 70%.

70% es la respuesta correcta.

Como ves, en problemas sencillos basta con convertir los valores dados en porcentajes, o los porcentajes dados en valores, y todo queda más claro. Está claro que el problema bien puede contener detalles adicionales. Que, muchas veces, no tienen nada que ver con porcentajes. Aquí lo principal es leer atentamente la condición y, paso a paso, poco a poco, ir desvelando el problema. Hablaremos de esto en el siguiente tema.

¡Pero hay una seria emboscada en los problemas que involucran porcentajes! Mucha gente cae en ella, sí... Esta emboscada parece bastante inocente. Por ejemplo, aquí hay un problema.

“Un bonito cuaderno en verano cuesta 40 rublos. Antes del inicio del año escolar, el vendedor subió el precio un 25%. Sin embargo, los portátiles empezaron a venderse tan mal que redujo el precio en un 10%. ¡Todavía no lo aceptan! Tuvo que reducir el precio en otro 15%. ¡Aquí es donde empezó el comercio! ¿Cuál fue el precio final del cuaderno?

¿Bueno cómo? ¿Elemental?

Si respondiste rápida y alegremente “¡40 rublos!”, entonces te tendieron una emboscada...

El truco es que el interés siempre se calcula a partir de algo .

Entonces contamos. Cuánto tiempo rublos¿El vendedor infló el precio? 25% de 40 rublos - Son 10 rublos. Es decir, el portátil, que se ha vuelto más caro, ahora cuesta 50 rublos. Esto es comprensible, ¿verdad?

Y ahora necesitamos reducir el precio en un 10% desde 50 rublos. ¡A partir de los 50, no de los 40! El 10% de 50 rublos son 5 rublos. En consecuencia, después de la primera reducción de precio, el portátil empezó a costar 45 rublos.

Consideramos la segunda reducción de precio. 15% de 45 rublos ( ¡De 45, no de 40 o 50! ) es de 6,75 rublos. Por tanto, el precio final del portátil es:

45 – 6,75 = 38,25 rublos.

Como puede ver, el problema es que el interés se calcula cada vez a partir del nuevo precio. Del último. Esto sucede casi siempre. Si en el problema de aumento-disminución secuencial de un valor no está indicado en texto plano, de qué Para contar porcentajes, debes contarlos desde el último valor. Y eso es verdad. ¿Cómo sabe el vendedor cuántas veces este cuaderno ha subido y bajado de precio antes que él y cuánto costaba al principio...?

Por cierto, ahora quizás estés pensando, ¿por qué la última frase del problema está escrita sobre el inteligente Vasya? Éste: " ¿Consideramos que 20 problemas resueltos son 100% inteligentes? Parece que todo está claro... Uh-uh... Cómo decirlo. Si esta frase no está ahí, Vasya bien puede contar sus éxitos iniciales como 100%. Es decir, dos problemas resueltos. Y 16 tareas son ocho veces más. Aquellos. ¡800%! ¡Vasya puede, con toda razón, hablar de su propia sabiduría hasta en un 700%!

También puedes realizar 16 tareas al 100%. Y obtenga una nueva respuesta. También correcto...

De ahí la conclusión: Lo más importante en los problemas de porcentajes es determinar claramente a partir de qué se debe calcular tal o cual porcentaje.

Por cierto, esto también es necesario en la vida. Donde se utilizan porcentajes. En tiendas, bancos, en todo tipo de promociones. De lo contrario esperas un 70% de descuento, pero obtienes un 7%. Y no descuentos, sino aumentos de precios... Y todo es justo, me calculé mal.

Bueno, tienes una idea de los porcentajes en matemáticas. Notemos lo más importante.

Consejo practico:

1. En problemas que involucran porcentajes, pasamos de porcentajes a cantidades específicas. O, si es necesario, desde valores concretos hasta porcentajes. Lee atentamente la tarea!

2. Estudiamos con mucha atención, de qué se debe calcular el interés. Si esto no se dice directamente, necesariamente está implícito. Al cambiar un valor secuencialmente, se asumen porcentajes del último valor. ¡Lee la tarea atentamente!

3. Habiendo terminado de resolver el problema, léelo nuevamente. Es muy posible que hayas encontrado una respuesta intermedia, no definitiva. ¡Lee la tarea atentamente!

Resolver varios problemas que involucran porcentajes. Consolidarse, por así decirlo. En estos acertijos intenté recopilar todas las dificultades principales que esperan a los solucionadores. Esos rastrillos que más se pisan. Aquí están:

1. Lógica elemental en el análisis de problemas sencillos.

2. Elección correcta del valor a partir del cual calcular los porcentajes. ¡Cuántas personas se han topado con esto! Pero hay una regla muy simple...

3. Intereses sobre intereses. Es una cosa pequeña, pero es realmente molesta...

4. Y otra horca. Relación entre porcentajes y fracciones y partes. Traduciéndolos entre sí.

“En la Olimpiada de matemáticas participaron 50 personas. El 68% de los estudiantes resolvieron pocos problemas. El 75% de los restantes resolvieron problemas moderados y el resto resolvieron muchos problemas. ¿Cuántas personas han resuelto muchos problemas?

Clave. Si obtienes estudiantes fraccionarios, esto está mal. Lea atentamente el problema, hay una palabra importante allí... Otro problema:

“A Vasya (¡sí, el mismo!) le encantan los donuts con mermelada. Que se hornean en una panadería, a una parada de casa. Los donuts cuestan 15 rublos cada uno. Con 43 rublos en la mano, Vasya fue a la panadería en autobús por 13 rublos. Y en la panadería había una promoción “¡¡¡Descuento en todo - 30%!!!”. Pregunta: ¿Cuántos donuts adicionales no pudo comprar Vasya debido a su pereza (podría haber salido a caminar, verdad?)”.

Problemas cortos.

¿Qué porcentaje es 4 menos que 5?

¿Qué porcentaje es 5 mayor que 4?

Larga tarea...

Kolya consiguió un trabajo sencillo que consistía en calcular el interés. Durante la entrevista, el jefe, con una sonrisa maliciosa, le ofreció a Kolya dos opciones de remuneración. Según la primera opción, a Kolya se le asignó inmediatamente una tarifa de 15.000 rublos por mes. Según el segundo Kolya, si está de acuerdo, durante los primeros 2 meses pagará un salario reducido en un 50%. Algo así como un novato. ¡Pero luego le aumentarán su salario reducido hasta en un 80%!

Kolya visitó un sitio útil en Internet... Por eso, después de pensar durante seis segundos, eligió la primera opción con una leve sonrisa. El jefe le devolvió la sonrisa y le dio a Kolya un salario permanente de 17.000 rublos.

Pregunta: ¿Cuánto dinero al año (en miles de rublos) ganó Kolya en esta entrevista? ¿Comparado con la peor opción? Y una cosa más: ¿¡por qué estaban sonriendo todo el tiempo!?)

Otro problema breve.

Encuentra el 20% del 50%.

Y de nuevo largo.)

El tren rápido nº 205 "Krasnoyarsk - Anapa" hizo una parada en la estación "Syzran-Gorod". Vasily y Kirill fueron a la tienda de la estación a comprar helado para Lena y una hamburguesa para ellos. Cuando compraron todo lo que necesitaban, el limpiador de la tienda dijo que su tren ya había partido... Vasily y Kirill corrieron rápidamente y lograron saltar al vagón. Pregunta: ¿Tendría tiempo el corredor campeón del mundo de subirse al carruaje en estas condiciones?
Creemos que en condiciones normales el campeón del mundo corre un 30% más rápido que Vasily y Kirill. Sin embargo, el deseo de alcanzar el carruaje (era el último), invitar a Lena a tomar un helado y comerse una hamburguesa aumentó su velocidad en un 20%. Y un helado con una hamburguesa en manos de un campeón y unas chanclas en los pies reduciría su velocidad en un 10%...

Pero aquí hay un problema sin porcentajes... Me pregunto ¿por qué está aquí?)

Determine cuánto pesan 3/4 de una manzana si la manzana entera pesa 200 gramos.

Y el último.

En el tren rápido nº 205 "Krasnoyarsk - Anapa", los compañeros de viaje resolvían un crucigrama. Lena adivinó 2/5 de todas las palabras y Vasily adivinó un tercio de las restantes. ¡Entonces Kirill se unió y resolvió el 30% de todo el crucigrama! Seryozha adivinó las últimas 5 palabras. ¿Cuántas palabras había en la palabra clave? ¿Es cierto que Lena adivinó la mayor cantidad de palabras?

Las respuestas están en el desorden tradicional y sin nombres de unidades. ¿Dónde están los donuts, dónde están los estudiantes, dónde están los rublos con intereses? Ese eres tú...

10; 50; Sí; 4; 20; No; 54; 2; 25; 150.

¿Entonces, cómo es eso? Si todo sale bien, ¡felicidades! El interés no es tu problema. Puede ir a trabajar con seguridad a un banco).

¿Hay algo mal? ¿No funciona? ¿No sabes cómo calcular rápidamente los porcentajes de un número? ¿No conoces reglas muy simples y claras? ¿A partir de qué calcular el interés, por ejemplo? ¿O cómo convertir fracciones a porcentajes?

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

El dinero se ha arraigado tan firmemente en nuestras vidas que todos nosotros, independientemente de nuestra edad, sexo y método de obtención de ingresos, de vez en cuando nos encontramos en situaciones en las que nos vemos obligados a tomar decisiones que requieren cálculos financieros. Y luego depende de nuestra capacidad para operar con categorías financieras específicas qué tan rentable será la opción que elijamos. En este artículo veremos las principales categorías de matemáticas financieras y mostraremos cómo utilizarlas para tomar las decisiones correctas en una amplia variedad de situaciones.

Interés. Interés compuesto. Capitalización de intereses (composición)

El interés es el ingreso recibido como pago por prestar dinero en cualquier forma. Los porcentajes se pueden expresar en forma absoluta o relativa. La forma absoluta es una cantidad específica para cierto periodo. Relativo: en forma de tasa de interés vinculada a un período específico (año, mes o día). Para calcular el monto acumulado (S), es decir, el monto del capital más los intereses acumulados, es necesario utilizar la siguiente fórmula:

(1) S = P * (1 + yo * n),
donde P es el monto sobre el cual se calculan los intereses, i es la tasa de interés, N es el número de períodos de acumulación.

Ejemplo
Le concediste un préstamo a un amigo por un monto de $10,000 por 3 meses, bajo los términos del cual él promete pagarte el 2% mensual. Debe calcular la cantidad que recibirá al final del plazo del préstamo. Obtenemos 10.000 * (1 + 2% * 3) = $10.600.

A menudo puede encontrarse con una situación en la que los intereses no se pagan, sino que se agregan al monto invertido y a partir del nuevo período se acumula el monto teniendo en cuenta los intereses agregados anteriormente. Dicho interés se denomina interés compuesto y el proceso de cálculo del interés sobre los intereses se denomina capitalización de intereses. En el caso del interés compuesto, el importe devengado se calcula de forma diferente:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
donde el significado de las letras es el mismo que en la fórmula anterior y el signo “^” significa exponenciación.

¿Cuál es la diferencia entre interés compuesto y simple? Si el interés simple crece linealmente (en la misma cantidad en cada período), entonces el interés compuesto crece exponencialmente (en cada período posterior la cantidad de interés es mayor que en el anterior). Gracias a este efecto, la cantidad colocada a interés compuesto durante un largo período es muchas veces mayor que el crecimiento de la cantidad colocada a interés simple. A continuación se muestran los resultados del crecimiento de los depósitos (6% anual) a interés simple y compuesto. Si al principio la diferencia sigue siendo pequeña, luego se alcanza un valor crítico. Así, en el año 80, un depósito con interés simple alcanzará los $58.000, mientras que un depósito con interés complejo alcanzará los $1.057.960.

En la práctica, a menudo existe una práctica en la que el período de cálculo de intereses difiere de un número entero. En tal situación, la fórmula para calcular el monto acumulado con interés simple toma la forma:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
donde d es el periodo de interés expresado en días.

También hay situaciones en las que la tasa de interés se expresa en términos anuales, pero el interés se calcula mensualmente. En tales casos, la fórmula para calcular el monto acumulado (por regla general, en este caso se utiliza interés compuesto) se verá así:

(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
donde m es el número de períodos de cálculo de intereses dentro del período (normalmente se utiliza 12 según el número de meses del año).

Y finalmente, observemos que, independientemente del tipo de interés, todas las fórmulas para calcular el monto devengado se pueden reducir a apariencia general:

(5) S = P * k,
donde k es el coeficiente de acumulación, que se calcula de diversas formas según el tipo de interés utilizado. Esta conclusión facilitará enormemente nuestra comprensión de las operaciones matemáticas posteriores.

El descuento y su esencia.

El concepto de interés que analizamos anteriormente refleja el valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, debido al hecho de que el dinero que poseemos hoy puede generar ingresos mañana como resultado de invertirlo a una determinada tasa de interés, los ingresos futuros en efectivo tienen un valor presente más bajo. Este principio es la base de una operación matemática llamada descuento. Descontar significa llevar los pagos futuros al valor actual y, en su significado, es la operación inversa de aumentar el interés. Es decir, el descuento considera los pagos futuros como un monto acumulado (S) y la tarea del inversionista es calcular su valor actual (P) en función de la tasa de interés disponible para él (i). Dependiendo del tipo de interés, la fórmula de descuento será la siguiente: o

(6) P = S/(1+i*n)

(7) P = S/(1+i)^n

El propósito del descuento es mostrarnos cuánto vale hoy el dinero que recibiremos en el futuro, para no pagar de más en pagos futuros en términos de la alternativa de inversión que tenemos a nuestra disposición. Veamos varias operaciones comunes en las que se utiliza el descuento.

Comprar un flujo de pagos futuros (transacciones contables)
Se ofrece para la compra un bono con un valor nominal de $1,000 con una tasa de interés del 6% anual, con pagos de intereses realizados trimestralmente y rescate al final del año. La tarea consiste en calcular el valor actual de la obligación con base en la tasa de descuento 15% anualmente.

Solución
Calculemos los ingresos por intereses trimestrales y construyamosen un programa Sobresalir mesa flujo de caja. Encontremos el valor actual usando la fórmula VPN incorporada. Así, con una tasa de descuento del 15% anual, el valor actual de este responsabilidad financiera equivale a $916.22

Nota

2) En la fórmula del VAN, en lugar del tipo de interés, ponemos el porcentaje anual dividido por 12

Equivalencia financiera
Las partes acuerdan las condiciones de pago del espacio de oficinas. El precio del local es de $24.000. El vendedor acepta el pago a plazos en los siguientes términos: 8.000$ inmediatamente, el resto a partes iguales a lo largo de 4 meses. Sin embargo, está dispuesto a considerar un plazo de pago más largo si el vendedor le ofrece una cantidad mayor por el local en venta.

Solución
Reflejemos los términos iniciales del plan de cuotas en forma de tabla en Excel. Modelemos en la misma tabla una oferta con pagos mensuales crecientes, como resultado de lo cual el precio del local aumentará a $24,400. Calculemos el valor actual de cada opción para comparar su equivalencia en base a una tasa de interés del 10% anual. El cálculo muestra que la segunda opción, incluso con un precio de compra más alto, es más rentable para el comprador que la primera.

Consolidación de pagos
La consolidación de pagos es la operación de combinar varias obligaciones de pago en un solo pago (S0) dentro de un determinado período de tiempo (T0). La peculiaridad de esta operación es que todos los pagos que se espera lleguen antes período determinado, se calculan por acumulación, y las esperadas con posterioridad se calculan por descuento. Dependiendo del tipo de porcentaje utilizado, la fórmula de consolidación es la siguiente:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))

(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Ejemplo
Ha abierto un depósito bancario de $10,000 por 12 meses al 10% anual. ¿Cuánto dinero necesitas depositar en tu cuenta durante el mes 14 para que después de 3 años tengas $15,000 en tu cuenta?

Solución
Imaginemos el problema en forma de consolidación de pagos, donde la contribución existente se expresará como un número positivo y el monto esperado en el futuro se expresará como un número negativo. Considerando que el interés se calcula al tipo de interés compuesto, obtenemos el siguiente cálculo: 10.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 - 12,496 = -$1,264.

Determinación de la tasa interna de retorno

En los negocios y las inversiones, a menudo hay situaciones en las que un inversor conoce los pagos futuros y el monto de las inversiones, y necesita calcular la tasa de crecimiento a la que el monto de los pagos futuros reducido al valor actual será numéricamente igual al monto de las inversiones. . Factor de incremento por el que se realiza esta condición, se llama tasa interna de rendimiento (TIR, en inglés - TIR, retorno interno de rendimiento). Para calcular la tasa interna de rendimiento, se utiliza la función incorporada del programa Excel, TIR.

Ejemplo
El inversionista considera una propuesta de inversión, que representa compartir a la apertura de una pizzería (ver aquí). Conocemos: a) el monto de la inversión solicitada; b) plan financiero (previsión de flujo de caja); c) esquema de distribución de flujos de efectivo. El resumen de la propuesta de inversión (ver tabla) contiene 6 opciones de rentabilidad. Es necesario determinar la rentabilidad total de la propuesta de inversión paracomparaciones con otras opciones de inversión.

Solución
Construyamos una tabla en Excel de los flujos de caja que recibirá el inversor según Plan financiero(ver tabla). Calculemos la tasa interna de rendimiento utilizando la fórmula TIR incorporada, donde indicamos todos los valores de pago, incluida la inversión inicial, como rango de valores. La tasa interna de retorno (TIR) ​​resultante = 38,47%. Así, el rendimiento total esperado de la propuesta de inversión considerada es del 38,47% anual.

Nota
1) Durante los períodos en los que no haya pagos, establezca “0”.
2) Para obtener la tasa VSD anual, multiplique el valor resultante por 12.

Anualidad (alquiler financiero)
Un flujo de pagos, cuyos componentes son valores positivos y los intervalos de tiempo entre pagos son los mismos, se denomina anualidad o renta financiera. Por ejemplo, una anualidad es la secuencia de recibir intereses sobre un bono, pagos sobre el crédito al consumo, cotizaciones periódicas en virtud de contratos de seguro acumulativos, pago de pensiones. Las anualidades se caracterizan por los siguientes parámetros: 1) el monto de cada pago individual; 2) el intervalo entre pagos; 3) duración de los pagos (existen anualidades perpetuas); 4) tasa de interés. Debido a la complejidad de la fórmula de cálculo, es mejor utilizar las fórmulas integradas de Excel para calcular los distintos componentes de la anualidad. Veamos los principales.

Al calcular un préstamo, se utilizan las siguientes fórmulas: PLT (calcula el monto del pago mensual), OSPLT (calcula el monto de pago de la deuda principal como parte de un pago mensual específico), PRPLT (calcula el monto de interés como parte de un pago mensual específico).

Ejemplo
Es necesario calcular el pago mensual y elaborar un calendario de pagos del préstamo, el monto es de $10.000, la tasa de interés es del 20%, el plazo es de 20 meses.

Solución
Para calcular el pago utilizamos la fórmula PMT. En lugar de la tasa de interés, sustituimos el valor mensual (valor anual dividido por 12), como valor presente indicamos el monto del préstamo, el valor futuro - indicamos 0. Usamos los mismos valores para OSPLT y PRPLT fórmulas, en las que sólo cambia el número de serie del período. Presentamos los valores obtenidos en forma de tabla:

La misma fórmula PMT se puede utilizar para calcular las contribuciones mensuales para acumular el monto en un momento determinado. Para hacer esto, colocamos el monto del pago inicial en lugar del valor presente y el monto requerido en lugar del valor futuro.

Ejemplo
Tienes 25 años. Abre una cuenta de ahorros para la jubilación con una tasa de interés del 6% anual y deposita en ella $10,000 de sus ahorros. Calculemos el pago mensual que deberá depositar en su cuenta para alcanzar los $100 000 a los 45 años.

Solución
Usamos la función PMT. La tasa de interés es 6% / 12, el número de períodos es 20 * 12, el valor presente es $10 000 y el valor futuro es $100 000. En este caso, la fórmula completa se verá así =PLT(6%/12;20*12;10000;100,000). Recibimos un monto de pago mensual de $288.

Como habrá notado, en los ejemplos anteriores calculamos el monto del pago mensual, conocíamos otros parámetros de la anualidad. Excel nos permite calcular otros parámetros de una anualidad: valor presente, valor futuro, número de pagos periódicos. Veamos ejemplos de cómo funcionan estas fórmulas.

Ejemplo de cálculo del valor presente
Para el décimo cumpleaños de su hijo, decide abrir una cuenta de ahorros para que pueda ahorrar $10,000 cuando cumpla 18 años. ¿Qué pago inicial necesita hacer a esta cuenta si sus contribuciones mensuales planificadas son de $50?

Solución
Usamos la función PS. La tasa de interés es 6% / 12, el número de pagos es 8 * 12, el pago periódico es $50, el valor futuro es menos $10,000. En este caso, la fórmula completa se verá así =PS(6%/12;8*12;50;-10000). El valor del pago inicial resultante es $2390.

Nota
Un valor negativo en las fórmulas PS y BS significa "recibiré", un valor positivo significa "pago".

Un ejemplo de cálculo del valor futuro y el número de pagos.
Dos amigos decidieron asegurarse una pensión adicional. Para ello, cada uno de ellos abrió una cuenta de ahorros con un rendimiento del 6% anual, uno hizo un aporte inicial de 3.000 dólares y el segundo, 5.000 dólares. El primero tiene 25 años, el segundo 30, ambos quieren jubilarse a los 45. Ambos están dispuestos a contribuir $50 mensuales. Es necesario calcular el monto de sus ahorros de pensión y el número de meses de acumulación de pensión de los fondos acumulados, si pagos de pensiones están previstos por un importe de 150 dólares.

Solución
Primero, calculemos el monto de los ahorros para pensiones. Para ello utilizamos la fórmula BS. En el primer caso, el número de pagos será igual a 20 * 12, en el segundo - 15 * 12, el valor actual en el primer caso es $3000, en el segundo - $5000, la tasa de interés en ambos casos será igual al 6%/12, y el pago periódico será de $50. La fórmula ensamblada en el primer caso se verá así = BS(6%/12;20*12;50;3000), en el segundo = BS(6%/12;15*12;50;5000). En el primer caso, el ahorro para pensiones será de 33.032 dólares, en el segundo, de 26.811 dólares. Ahora calculemos el período durante el cual el monto acumulado puede cubrir los pagos de pensión anteriores. Para hacer esto, usaremos la función NPER, donde indicamos 6%/12 como tasa de interés, establecemos $150 como monto de pago y sustituimos los valores resultantes como valor presente. Obtenemos la cantidad en meses: 149 para el primero y 128 para el segundo.

Nota
Un valor negativo en la fórmula indica que estamos recibiendo pagos, en caso de que se aplique la fórmula para calcular los pagos que se deben pagar, el valor resultante será positivo.

Anualidad perpetua (perpetuidad) y el modelo Gordon

Un caso especial de anualidad es una secuencia de pagos cuya duración no está determinada condicionalmente y, por lo tanto, esta anualidad se considera perpetua. Un ejemplo de anualidad perpetua serían las consolas, un tipo de valores (bonos) sobre los cuales se acumulan intereses indefinidamente, pero no se devuelve el valor nominal. En la práctica, tales valores son bastante raros. Un ejemplo más común de anualidad perpetua son los pagos de dividendos a largo plazo que algunas empresas realizan a sus accionistas. Para calcular el coste de una anualidad perpetua se utiliza el modelo de Gordon:

(10) S = P * (1+g) / (r - g) , donde S es el costo de la anualidad, P es pago actual, g es la tasa de crecimiento del pago corriente, r es la tasa de rendimiento.

Las fórmulas anteriores son la lista principal de herramientas para cálculos de diversos tipos y le permiten realizar cálculos en relación con cualquier situación. En los comentarios a este artículo, puede describir situaciones que requieren cálculos financieros, y trataré de mostrar cómo el aparato matemático anterior le ayudará a resolverlas.

Al preparar el artículo, se utilizaron materiales de ayuda para enseñar“Matemáticas financieras” Shirshova E.V., N.I. Petrika, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moscú, ed. "Knorus", 2010

Veamos un ejemplo:

El precio de un frigorífico en una tienda ha aumentado. ¿Cuál sería el precio si el frigorífico costaba inicialmente RUR?

Solución:

Primero, determinemos cuántos rublos ha cambiado el costo del refrigerador (en este caso, ha aumentado).

Según la condición - encendido.

¿Pero de qué?

Por supuesto, desde el costo inicial del refrigerador, frote.

Resulta que necesitamos encontrar en rublos:

Ahora sabemos que el precio ha aumentado en rublos.

Solo queda, según la regla, sumar el importe del cambio al coste inicial:

Nuevo precio en rublos.

Otro ejemplo(intenta decidir por ti mismo):

El libro "Matemáticas para tontos" se vende en RUR. Durante la promoción, todos los libros se venden con descuento.

¿Cuánto tendrás que pagar por este libro ahora?

Solución:

¿Qué es un descuento? ¿Probablemente lo sabes? Un descuento significa que el costo del producto se ha reducido en

¿Cuánto ha disminuido el coste del libro (en rublos)?

A partir de su costo inicial en rublos, debe encontrar:

El precio ha disminuido, lo que significa que es necesario restar del costo inicial cuánto ha disminuido:

Nuevo precio en rublos.

¿No es sencillo?

¡Pero hay una manera de hacer que esta decisión sea aún más fácil y breve!

Veamos un ejemplo:

Aumenta el número en.

¿Cuáles son iguales a desde?

Como descubrimos antes, así será.

Ahora aumentemos el número x en esta cantidad:

Resulta que, como resultado, sumamos a la notación decimal y multiplicamos por el número.

Resumamos esta regla:

Digamos que necesitamos aumentar el número en.

del número - esto es.

Entonces el nuevo número será igual a: .

Por ejemplo, aumentemos el número en:

Ahora pruébalo tú mismo:

1. Aumentar el número en
2. Aumentar el número en
3. ¿Qué porcentaje es el número mayor que el número?

Soluciones:

3) Deje la cantidad requerida por ciento es igual.

Esto significa que si se aumenta el número, será:

Respuesta para.

Si es necesario reducir el número x, todo es similar:

Entonces, la regla:

Ejemplos:

1) Disminuya el número en.

2) encendido qué porcentaje¿El número es menor que el número?

3) El precio de un producto con descuento es igual a p. ¿Cuál es el precio sin descuento?

Soluciones:

2) El número se redujo en x por ciento y consiguió:

Respuesta para.

3) Que el precio sin descuento sea igual. Resulta que x se redujo en y obtuvimos:

Finalmente, veamos otro tipo de problema que muchas veces genera confusión.

Resolver problemas complejos que involucran porcentajes.

El número es mayor que el número por. En qué porcentaje¿El número es menor que el número?

Qué pregunta más extraña: ¡claro que no!

¿Bien?

Pero no.

Si, por ejemplo, la masa de un gabinete es 25 kg mayor que la masa de otro, entonces, sin duda, la masa del segundo gabinete es 25 kg menor que la masa del primero.

Nariz por ciento¡No funcionará de esa manera!

En efecto, en el primer caso, cuando decimos que un número es mayor que un número, contamos a partir del número; y en el segundo caso, cuando decimos que un número es menor que un número, contamos a partir del número. Y como los números son diferentes, ¡estos números también serán diferentes!

Para resolver este problema correctamente, escribamos la condición como una ecuación:

El número es mayor que el número por. Esto significa que si aumentamos el número, obtenemos el número:

Ahora escribamos la pregunta de la misma forma: si el número a se reduce en por ciento, obtenemos el número:

Expresemos el número a partir de la igualdad (1):

Y sustituir en (2):

Resulta que:

Entonces, ¡obtenemos que el número es menor que el número!

A menudo surgen problemas similares en el Examen Estatal Unificado.

Por ejemplo:

El lunes, las acciones de la empresa subieron de precio una cierta cantidad por ciento, y el martes bajaron de precio en la misma cifra por ciento. Como resultado, se volvieron más baratos que cuando se abrieron las operaciones el lunes. En qué porcentaje¿Subieron de precio las acciones de la empresa el lunes?

Solución:

Sea igual el precio de las acciones el lunes y la cantidad requerida por ciento, escrito como fracción decimal (es decir, ya dividido por), es igual a.

Escribamos la fórmula de cuál es el valor de la acción después del aumento de precio:

Se sabe que este precio final es menor que el precio inicial. Es decir, si reducimos por obtenemos:

Sustituyamos lo expresado anteriormente:

De acuerdo a sentido común Sólo una solución positiva es adecuada:

Recordemos ahora que esto sigue siendo sólo una notación decimal de la cantidad requerida. por ciento, es decir, esta cantidad por ciento, dividido por. Para convertir a interés, necesitas multiplicar por 100%:

¿Dónde usamos porcentajes en la vida?

Pues por ejemplo, en productos bancarios: depósitos, préstamos, hipotecas, etc.

Si comprende bien qué es el interés y sabe cómo resolver ecuaciones, podrá calcular fácilmente, por ejemplo, el monto del pago mensual del préstamo.

O cuánto tendrás que pagar de más al contratar una hipoteca. Existe una tarea de este tipo en el Examen Estatal Unificado bajo el número 17.

Interés. Brevemente sobre lo principal.

El uno por ciento de cualquier número es una centésima de ese número.

1. Porcentajes y decimales

2. Cambiar el número en un porcentaje determinado.

Digamos que necesitamos aumentar el número en.

del número - esto es.

Entonces, el nuevo número será igual a: .

Para aumentar un número, debes multiplicarlo por.

Si es necesario reducir el número, entonces:

Reducir un número en alguna cantidad significa restarle este valor:

Para reducir un número, debes multiplicarlo por.