수학 과학과 그 변형.

수학- 역사적으로 물체의 모양을 계산, 측정 및 설명하는 작업을 기반으로 발전한 구조, 질서 및 관계의 과학. 수학적 개체는 실제 또는 기타 수학적 개체의 속성을 이상화하고 이러한 속성을 형식 언어로 작성하여 생성됩니다. 수학은 자연 과학에 속하지 않지만 내용의 정확한 공식화와 새로운 결과를 얻기 위해 널리 사용됩니다. 수학은 다른 과학에 (일반) 언어적 수단을 제공하는 기초 과학입니다. 따라서 구조적 상호 관계를 밝히고 가장 일반적인 자연 법칙의 발견에 기여합니다.

수학의 역사.

학자 A. N. Kolmogorov는 수학 역사의 다음 구조를 제안했습니다.

1. 상당히 많은 양의 사실적 자료가 축적된 수학의 탄생기

2. BC VI-V 세기부터 시작되는 초등 수학 기간. 이자형. 16세기 말에 끝남("17세기 초 이전에 수학이 다루었던 개념의 집합은 오늘날까지 초등 및 중등 학교에서 가르치는 "초등 수학"의 기초를 구성함");

3. XVII-XVIII 세기를 포함하는 변수의 수학 기간, "조건부로 "고등 수학"의 기간이라고도 할 수 있습니다."

4. 현대 수학의 시대 - 수학자들이 "수학적 연구의 주제를 의식적으로 확장하는 과정을 처리하고 가능한 유형의 양적 관계와 공간적 형태를 체계적으로 연구하는 과제를 스스로 설정해야했던 19-20 세기의 수학 상당히 일반적인 관점입니다."

수학의 발전은 인간이 높은 수준의 추상화를 사용하기 시작했다는 사실과 함께 시작되었습니다. 간단한 추상화 - 숫자; 두 개의 사과와 두 개의 오렌지는 모든 차이점에도 불구하고 공통점이 있다는 것, 즉 한 사람의 양손을 차지한다는 것을 이해하는 것은 인간 사고의 질적 성취입니다. 구체적인 대상을 계산하는 방법을 배우는 것 외에도 고대인들은 시간(일, 계절, 년)과 같은 추상적인 양을 계산하는 방법도 이해했습니다. 기본 계정에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 숫자의 나눗셈과 같은 산술이 자연스럽게 발전하기 시작했습니다.

수학의 발전은 쓰기와 숫자 쓰기 능력에 달려 있습니다. 아마도 고대인들은 먼저 땅에 선을 긋거나 나무에 긁어서 양을 표현했을 것입니다. 다른 문자 체계가 없었던 고대 잉카인들은 이른바 키푸(quipu)라고 하는 복잡한 밧줄 매듭 체계를 사용하여 숫자 데이터를 표현하고 저장했습니다. 다양한 번호 체계가 있었습니다. 숫자에 대한 최초의 알려진 기록은 중왕국의 이집트인들이 만든 아메스 파피루스에서 발견되었습니다. 잉카 문명은 0의 개념을 통합하여 현대 십진수 체계를 개발했습니다.

역사적으로 주요 수학 분야는 상업 분야에서 계산을 수행하고 토지를 측정하고 천문 현상을 예측하고 나중에는 새로운 물리적 문제를 해결해야 하는 필요성의 영향으로 등장했습니다. 이러한 각 영역은 구조, 공간 및 변화에 대한 연구로 구성된 수학의 광범위한 발전에서 큰 역할을 합니다.

수학은 형식적인 언어를 사용하여 상상의 이상적인 대상과 이들 간의 관계를 연구합니다. 일반적으로 수학적 개념과 정리는 물리적 세계의 어떤 것과도 반드시 일치하는 것은 아닙니다. 수학의 응용 분야의 주요 임무는 연구 중인 실제 대상에 대해 충분히 적절한 수학적 모델을 만드는 것입니다. 이론 수학자의 임무는 이 목표를 달성하기 위한 편리한 수단을 충분히 제공하는 것입니다.

수학의 내용은 수학적 모델의 체계와 그 생성을 위한 도구로 정의할 수 있습니다. 개체 모델은 모든 기능을 고려하지 않고 연구 목적(이상화)에 가장 필요한 것만 고려합니다. 예를 들어, 오렌지의 물리적 특성을 연구할 때 우리는 색상과 맛을 추상화하여 (완전히 정확하지는 않지만) 공으로 나타낼 수 있습니다. 2개와 3개를 더하면 얼마나 많은 오렌지를 얻을 수 있는지 이해해야 하는 경우 형식에서 추상화하여 모델에 단 하나의 특성인 수량만 남겨둘 수 있습니다. 추상화와 가장 일반적인 형태의 대상 간의 관계 설정은 수학적 창의성의 주요 영역 중 하나입니다.

화학, 의학 및 체스에서 수학의 역할을 고려하십시오.

화학에서 수학의 역할

화학은 주로 물리학과 수학과 같은 자체 목적을 위해 다른 과학의 성과를 널리 사용합니다.

화학자들은 일반적으로 수학을 숫자의 과학처럼 단순한 방식으로 정의합니다. 숫자는 물질의 많은 특성과 화학 반응의 특성을 나타냅니다. 물질과 반응을 설명하기 위해 수학의 역할이 너무 커서 물리학이 어디에 있고 수학이 어디에 있는지 이해하기 어려운 물리 이론이 사용됩니다. 이로부터 화학은 수학 없이는 생각할 수 없다는 결론이 나옵니다.

화학자를 위한 수학은 무엇보다도 많은 화학 문제를 해결하는 데 유용한 도구입니다. 화학에서 전혀 사용되지 않는 수학의 한 분야를 찾는 것은 매우 어렵습니다. 기능 분석 및 그룹 이론은 양자 화학에서 널리 사용되며 확률 이론은 통계적 열역학의 기초이며 그래프 이론은 복잡한 유기 분자의 특성을 예측하기 위해 유기 화학에서 사용되며 미분 방정식은 화학 역학, 위상 및 미분의 주요 도구입니다 기하학 방법은 화학 열역학에서 사용됩니다.

"수학 화학"이라는 표현은 화학자의 사전에 확고하게 들어갔습니다. 진지한 화학 저널의 많은 기사에는 단일 화학식이 포함되어 있지 않지만 수학 방정식으로 가득 차 있습니다.

대칭은 현대 과학의 기본 개념 중 하나입니다. 그것은 에너지 보존 법칙과 같은 자연의 기본 법칙의 기초가 됩니다. 대칭은 화학에서 매우 흔한 현상입니다. 알려진 거의 모든 분자는 그 자체가 일종의 대칭을 갖거나 대칭 단편을 포함합니다. 따라서 아마도 화학에서는 대칭 분자보다 비대칭 분자를 감지하는 것이 더 어렵습니다.

화학자와 수학자의 상호 작용은 화학 문제를 해결하는 데에만 국한되지 않습니다. 때로는 화학에서 추상적인 문제가 발생하여 수학의 새로운 영역이 출현하기도 합니다.

의학에서 수학의 역할

많은 사람들이 수학을 과학의 여왕이라고 부르는 것은 놀라운 일이 아닙니다. 이 과학의 응용은 인간 활동의 모든 분야에서 찾을 수 있기 때문입니다. 그러나 "의학 및 생물학"과 같이 덜 엄격한 과학에서 수학의 가치는 종종 의문을 제기합니다. 분석이나 실험의 가장 정확한 결과를 얻을 기회가 0이기 때문입니다. 이 요소는 우리의 세계가 전체적으로 매우 변화무쌍하고 하나 또는 다른 분석 대상에 어떤 일이 일어날지 예측하기 어렵다는 사실로 설명할 수 있습니다.

의학에서 수학은 과학적 분석 방법으로 모델링에 가장 자주 사용됩니다. 그러나 이 방법은 고대부터 건축, 천문학, 물리학, 생물학, 그리고 최근에는 의학과 같은 분야에서 사용되었습니다. 현재 감염병에 대한 지식은 증상뿐만 아니라 질병의 경과, 항원과 항체 사이의 상호작용 메커니즘에 대한 다양한 세부 수준에 대한 근본적인 분석의 결과까지 매우 풍부한 지식이 축적되어 있습니다: 거시적 , 현미경, 유전 수준까지. 이러한 연구 방법을 통해 면역 과정의 수학적 모델 구성에 접근할 수 있었습니다.

의학의 수학은 거기서 멈추지 않고 소아과, 산부인과와 같은 좁은 전문 분야에서도 사용됩니다.

그리고 항생제를 사용하는 동안 얼마나 많은 계산 방법이 존재하는지. 수학은 특히 제약에서 중요합니다. 결국 어떤 사람에게 얼마만큼의 약을 투여해야 하는지 그 개인의 특성에 따라 정확히 계산해야 하고, 약재 성분까지도 어느 곳에서도 실수하지 않도록 계산해야 한다. 의사와 약사는 모든 약물의 공식 사슬에 가장 유익한 성분 중 하나 또는 가장 유익한 성분을 찾기 위해 머리를 맞대고 있습니다.

의학에서 수학의 역할은 매우 중요합니다. 이 과학이 없으면 (전체적으로) 아무 것도 가능하지 않으며, "여왕"으로 간주되는 것은 아무 것도 아닙니다. 이제 많은 작가들조차 수학이 얼마나 귀중한 기여를 했는지에 대해 수학에 관한 책을 씁니다.

체스에서 수학의 역할

체스와 수학은 공통점이 많습니다. 저명한 수학자 Godfrey Harald Hardy는 체스 게임의 문제를 푸는 것은 수학적인 연습에 불과하며 게임 자체가 수학적 멜로디를 휘파람을 불고 있는 것이라고 말한 적이 있습니다. 수학자와 체스 선수의 사고 방식은 매우 가깝고, 수학자들이 체스 유능한 선수인 경우가 많다는 것은 우연이 아닙니다.

저명한 과학자, 정밀 과학 분야의 전문가 중에는 수학자 아카데미 학자 A. A. Markov, 기계 학자 학자 A. Yu. Ishlinsky, 물리학 학자 학자, 노벨상 수상자 P. L. Kapitsa와 같은 강력한 체스 선수가 있습니다.

체스는 다양한 수학적 개념과 아이디어를 설명하기 위해 지속적으로 사용됩니다. 체스의 예와 용어는 문헌, 게임 이론 등에서 찾을 수 있습니다. 중요.

체스 수학은 재미있는 수학, 논리 게임 및 엔터테인먼트의 가장 인기 있는 장르 중 하나입니다. 그러나 일부 체스 수학 퍼즐은 너무 복잡하여 저명한 수학자들이 이를 위한 특별한 수학 장치를 개발했습니다.

Olympiad 수학 문제의 거의 모든 모음이나 퍼즐 및 수학 여가 책에서 체스판과 조각과 관련된 아름답고 재치 있는 문제를 찾을 수 있습니다. 그들 중 많은 사람들이 흥미로운 역사를 가지고 있으며 유명한 과학자들의 관심을 끌었습니다.

체스는 다양한 수학적 개념과 아이디어를 설명하기 위해 지속적으로 사용됩니다. 체스의 예와 용어는 문헌, 게임 이론 등에서 찾을 수 있습니다. 체스는 "컴퓨터 과학"에서 중요한 역할을 합니다.

수학에 대한 지식이 없으면 체스판에서 많은 문제를 푸는 것은 불가능합니다. 수학적 지식을 습득하지 않고는 현재 수학 분야, 다른 과학 분야에서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 어렵습니다. 따라서 사회 생활에서 수학의 역할은 나날이 증가하고 있습니다.

과학은 주로 연구 주제에서 서로 다릅니다. 각각은 현실 세계의 측면 중 하나를 연구하고, 하나 이상의 밀접하게 관련되어 있으며 객관적 현실의 운동 형태를 서로 전달합니다.

가능한 과학 분류 중 하나를 고려하십시오.

자연 과학,자연의 사물, 현상 및 패턴을 연구합니다. 그 중에는 역학, 천문학, 물리학, 화학, 고생물학, 생물학 및 기타 과학이 있습니다.

사회 과학,사회생활의 현상을 연구한다. 이러한 과학은 역사 과학, 정치 경제학 등입니다.

전문인 과학기술 장치 및 시스템의 기능을 연구합니다. 예를 들어, 기계 및 메커니즘 이론, 재료의 강도 등 등.

지식 과학:철학, 논리학, 심리학 등

이전에 과학자와 철학자는 종종 수학을 자연 과학 분야로 간주했습니다. 이제 일반적으로 수학은 일반성 측면에서 철학과 자연과학 사이에 위치한 독립적인 과학이라고 합니다.

다른 과학과 마찬가지로 수학은 실제 물질 세계, 이 세계의 대상 및 이들 간의 관계를 연구합니다. 그러나 다양한 형태의 물질 운동(역학, 물리학, 화학, 생물학 등)이나 정보 전달의 형태(컴퓨터 과학, 오토마타 이론 및 사이버네틱스의 기타 섹션)를 연구하는 자연 과학과 달리 수학은 물질 세계의 형태와 관계, 그 내용에서 추상화. 따라서 수학은 특정 형태의 물질 운동을 연구하지 않으며 결과적으로 자연 과학의 하나로 간주될 수 없습니다.

XIX 세기 후반. F. Engels는 수학 주제에 대해 다음과 같이 정의했습니다. "순수 수학은 그 대상으로 실제 세계의 공간적 형태와 양적 관계를 가지고 있으므로 매우 실제적인 물질입니다." 동시에 그는 다음과 같이 지적했다. 이런 식으로 우리는 치수가 없는 점, 두께와 너비가 없는 선, 서로 다른 점을 얻습니다. ㅏ 그리고 비 , 엑스 그리고 와이 , 상수 및 변수 값"

엥겔스의 이 말로부터 수학의 태동부터 연구의 대상이 되어온 수학의 본래 개념인 자연수, 크기, 기하 도형을 현실 세계에서 차용한 것이 개인을 추상화한 결과임을 알 수 있다. 물질적 대상의 특징이며 현실과 동떨어진 '순수한 사고'를 통해 생겨난 것이 아니다. 동시에 수학적 연구의 대상이 되기 위해서는 물질적 대상의 속성과 관계를 물질적 내용에서 추상화해야 한다.

따라서 수학의 특수성은 물질적 내용에 관계없이 모든 사물과 현상에 내재된 양적 관계와 공간적 형태를 강조하고 이러한 관계와 형태를 추상화하여 연구의 대상으로 삼는 데 있다.

그러나 F. Engels의 정의는 19세기 후반의 수학 상황을 크게 반영하고 있습니다. 양적 관계나 기하학적 형태와 직접적으로 관련이 없는 새로운 영역은 고려하지 않습니다. 이것은 우선 컴퓨터 프로그래밍과 관련된 수학적 논리 및 분야입니다. 따라서 F. Engels의 정의는 약간의 설명이 필요합니다. 아마도 수학은 연구의 대상으로 공간 형태, 양적 관계 및 논리적 구성을 가지고 있다고 말해야 할 것입니다.

수학. 넷째, 수학 과학 간의 수많은 연결이 밝혀졌습니다. 수학의 틀 내에서 과학 간 연결이 그 통일성을 증명한다고 가정해야 합니다(비교: 대수 기하학, 숫자 기하학, 대수 숫자 이론 등). 이러한 경향을 통해 우리는 현대 수학의 구조를 다음과 같이 제시할 수 있습니다(그림 1.1).

쌀. ,1.1. 현대 수학

그림과 관련하여 많은 불만이 제기 될 수 있습니다 (모든 과학 간 연결이 표시되는 것은 아니며 그림의 오른쪽 가지가 비교적 겸손하게 묘사되어 있다고 말합니다). 연구 초기에 논의하는 것이 의미가 없는 미묘함을 고려하지 않고 주로 수학적 지식의 발전 방향을 제시하는 그래픽 이미지를 제공하는 것이 중요했습니다. 특히 대수학은 정수론의 일반화임을 강조합니다. 토폴로지는 기하학과 관련하여 유사한 역할을 합니다. 차례로 범주 이론은 대수학과 위상수학의 일반화로 나타납니다. 이 상황을 사용하여 수학 과학의 특성을 특성화해 보겠습니다.
분명히, 수학 과학에 대한 매우 간결한 설명을 제공하려는 욕구를 실현하려면 가장 일반적인 이론인 범주 이론으로 전환해야 합니다. 그렇지 않으면 특히 길을 잃을 위험이 있습니다. 수학적 범주는 동일한 유형의 수학적 객체와 이들 간의 매핑(형태)의 모음입니다. 따라서 객체의 부류와 형태의 부류를 구별할 필요가 있다. 이 두 클래스가 동일하지 않다는 것이 매우 중요합니다. 요점은 객체에서 어떻게 든 추출되는 것은 형태가 아니지만 후자는 형태를 통해 특성화된다는 것입니다. 그것은 다음과 같이 표현될 수 있다: 모피즘은 객체의 특수성(의미)을 정의한다. 수학이 형태론의 과학이라고 주장하는 것은 꽤 타당합니다. 이것이 핵심을 말합니다. 그러나 특정 과학의 세부 사항을 결정할 때 대상 (개인)을 특성화하는 것이 필수적입니다. 이 규범을 감안할 때 수학은 다음과 같이 정의될 수 있을 것 같다. 수학은 형태론까지 연구된 대상의 과학입니다. 그러나 이 정의는 이미 잘못된 것입니다. 사실 수학은 형태론을 정확하게 연구하고 다른 모든 것은 그 능력의 영역을 뛰어 넘습니다. "형태론까지"라는 표현은 수학자들이 추상화하는 형태론 너머에 무언가가 있음을 암시합니다. 수학자들은 다른 과학의 일부인 모든 것을 실제로 연구하지는 않습니다. 그들은 마치 형태론(morphisms)이라고 하는 맛있는 한 조각을 "빼앗아가는" 것처럼 다른 과학에서 추상화할 필요가 없습니다. 수학은 독립적인 과학이며 형태론을 연구합니다.
그리스어 morphe는 외모를 의미합니다. 매핑을 다룰 때 수학은 같은 종류의 객체를 연구합니다. 오직 그리고 모든 것. 형태론에 관한 과학은 일반적으로 형식적이라고 합니다. 특정 형태는 수학뿐만 아니라 논리로도 연구됩니다. 그러나 그것은 수학적인 것이 아니라 논리적인 형태론을 다룬다. 따라서 수학은 형태론의 특수 클래스에 대한 과학입니다. 우리는 다음 텍스트에서 이 정의로 두 번 이상 돌아올 것입니다. 여기서 우리는 숫자, 도형, 고리, 필드, 텐서, 벡터 등 모든 수학적 대상이 형태를 통해 정의된다는 점만 강조합니다.
지금까지 수학에 대해 알아보았습니다. 그러나 우리의 특별한 관심 주제는 수학 철학입니다. 그럴 필요가 있나요? 그렇다면 왜?
과학 발전의 역사는 그것이 어느 정도까지는 철학적 지원 없이 발전한다는 것을 보여줍니다. 과학 철학의 시간은 예를 들어 어떤 식으로든 극복할 수 없는 역설과 같은 상당한 어려움을 만난 후에만 옵니다. 물리학자들은 특수 상대성 이론과 양자 역학의 문제를 이해할 필요성과 관련하여 철학화하기 시작했습니다. 철학은 과학적 사고의 길을 막는 장애물을 극복하는 데 기여해야 합니다. 이론 자체가 연구 대상이 됩니다. 그리고 이것은 과학철학이 메타사이언스로 구성되어 있음을 의미한다. 그리스어 접두사 메타는 과학 철학이 과학 다음에 온다는 의미입니다. 메타사이언스의 대상인 과학은 일반적으로 하위과학(라틴어 sub-under에서 유래)이라고 불린다. 메타 및 하위 접두사를 사용하지 않으면 과학이 하위 과학으로 식별되며 이는 불법입니다. 수학 철학은 하위 수학 못지않게 과학입니다. 수학은 하위 수학과 메타 수학의 통합입니다. 수학의 철학은 하위 수학의 과학입니다.
궁극적으로 수학 철학의 구성으로 이어진 수학의 변형으로 돌아가 보자.
III 세기에. 기원전. 유클리드는 공리 기하학을 발명했습니다. 이 발명은 준과학적 수학과 과학적 수학의 경계가 되었습니다. 연역에 의존함으로써 기하학적 증명을 신뢰할 수 있고 반박할 수 없는 것으로 간주할 수 있게 되었습니다. 바빌로니아와 고대 이집트의 수학은 그러한 증거에 도달하지 못했습니다.
고대 그리스인의 명백한 수학적 성공은 복잡한 문제를 야기했습니다. 점, 선, 평면이란 무엇입니까? 교차하지 않는 선은 무한대로 가나요? 매우 특이한 수학적 대상을 발명한 그리스인들은 항상 시각적 유사물의 형태로 그것들을 자신에게 제시하려고 했습니다. 기하학적 점의 유사체는 작은 몸체입니다. 모든 것이 여기에서 다소간 명확해 보입니다. 그러나 무한한 거리로 들어가는 평행선의 유사점은 무엇입니까? 그리스인들은 이 질문에 대한 답을 찾기가 어려웠습니다. 수학적 무한의 개념은 설명할 수 없는 한 이미 그들에게 낯설었습니다.
기하학적 무한대에 대한 스캔들은 유클리드 기하학의 다섯 번째 공리를 둘러싼 논쟁과 관련하여 잘 알려져 있습니다. 이 공리는 오늘날 주어진 선 외부의 한 점을 통과할 가능성과 관련이 있으며 원래 선과 평행한 한 선만 있습니다(두 선 모두 같은 비행기에서). 나머지 9개에서 유클리드 기하학의 다섯 번째 공리를 도출하려는 모든 시도는 수포로 돌아갔습니다. 이 상황은 조만간 주어진 선 밖의 점을 통해 원래 선과 평행한 선을 둘 이상 또는 단 한 개도 그릴 수 없다는 생각으로 이어졌어야 했습니다.
역사적으로 최초의 비유클리드 기하학은 N.I. 로바체프스키(1826). 비유클리드 기하학의 발명가 중에는 헝가리의 J. Bolyai와 독일인 K. Gauss와

B. 리만. 기하학의 발견은 수학자들의 진영에 명백한 혼란을 야기했습니다. K. Gauss는 동료들의 외침이 두려워 연구 결과를 전혀 발표하지 않았습니다. 지오메트리가 여러 개 있는 이유는 무엇입니까? 기하학은 공간의 과학이지만 하나의 사본으로 존재하는 것 같습니다. 동일한 공간이 여러 기하학으로 설명된다면 어느 것이 사실입니까? N.I. "가상 기하학"에 대해 이야기하는 Lobachevsky는 어려운 상황에서 우아한 방법을 찾았습니다. "자연의 일부 힘은 하나를 따르고 다른 힘은 고유한 특수 기하학을 따릅니다." 이 결론은 N.I. Lobachevsky는 실험적으로 확인할 수 없습니다. 또한 그는 수학적 상태가 아니라 신체적 상태를 가지고 있습니다. 그것은 수학적 논증에 관한 것이어야 합니다. 결국, 수학자들은 물리적 실험에서 결론을 도출하지 않았습니다. 자연 과학의 데이터에 의존할 수 없기 때문에 수학자들은 기하학이 순전히 수학적 구성이라는 것을 인정해야 했습니다. 이 아이디어는 G. Grassmann(1844)이 가장 일관되게 옹호했습니다.
비유클리드 기하학의 생성은 첫째, 수학의 경험론을 폭로하는 데 기여했습니다. 그녀는 실험에서 추출된 것이 아니라 사람들의 창의적인 개념적 상상력의 산물이라고 말합니다. 둘째, 수학의 비유클리드 기하학 덕분에 수학적 다원주의의 발판이 만들어졌습니다. 셋째, 생생한 형태의 비유클리드 기하학은 수학적 일반화의 유형 중 하나를 제시했습니다. 수학적 지식의 발전은 종종 일반화와 관련이 있습니다. 이와 관련하여 자연 - 분수 - 음수 - 합리적 - 무리수 - 복소수와 같은 숫자 개념의 확장을 상기하는 것이 유용합니다.
수학적 일반화의 한 줄을 더 생각해 봅시다. 그 기원은 기하학이 아니라 산술에 있습니다. 그것의 일반화는 다양한 숫자 체계의 분석을 용이하게 하기 위해 문자 지정을 광범위하게 사용하는 대수학으로 이어졌습니다. 소위 대수 연산은 숫자의 덧셈 및 곱셈과 유사합니다. 기하학에서 대수적 방법의 사용은 그것을 해석 기하학으로 바꾸었습니다. 17세기 산술, 대수, 기하학의 결합. 변수(처음에는 변수에 대해서만 말함), 함수, 미분, 파생 상품의 개념으로 절정에 달했습니다. 이것이 수학적 분석이 핵심, 미분 및 적분 미적분학으로 탄생한 방식이며, 모두가 그 장점을 들어본 것입니다.

수학적 분석의 관련성을 의심하는 사람은 거의 없었지만 그 기초는 수학자 진영에서 날카로운 불일치로 이어졌습니다. 소위 작은 젤리친의 상태를 둘러싸고 특히 날카로운 논쟁이 벌어졌습니다(무한 문제는 특히 발산 계열과 관련하여 끊임없이 스스로를 상기시켰습니다). 수학적 분석의 창시자인 G. Leibniz와 I. Newton은 미분을 0 또는 유한 값으로 간주했습니다. 극미량의 성질에 대한 논쟁은 18세기 내내 계속되었습니다. 마지막으로, 만연한 절충주의적 다원주의는 19세기의 20년대에 O. Cauchy의 아이디어에 의해 중단되었으며, 같은 세기 말에 B. Bolzano와 특히 K. Weierstrass의 작품에서 더욱 발전되었습니다.
O. Cauchy는 극한 개념의 개발로 유명해졌습니다. 밝혀진 바와 같이 연속성, 미분, 적분을 포함한 수학적 분석의 기본 개념은 극한의 개념을 통해 정의됩니다.
한계 이론은 철학적 이론의 발전에 매우 중요했습니다. 수학의 질문. 첫째, 극한 이론은 수학 분석의 미묘함 속으로 들어가지 않고 문제를 해결하려 했던 형이상학자들의 거대한 군대를 부끄럽게 만들었다. 두 번째로, 그녀는 수학자들이 때때로 철학적 순간으로 가득 찬 새로운 개념을 찾는 데 어려움을 겪는다는 것을 보여주었습니다. 따라서 O. Cauchy의 작업은 수학적 분석에서 양이 실제로가 아니라 잠재적으로 무한히 작음을 보여주었습니다. 오늘날, 이 결론은 정제되어 있습니다: 실제로 존재하는 극소량과 잠재적으로 존재하는 극소량을 구별하는 것이 필요합니다. 셋째, 극한 이론은 유클리드 기하학보다 훨씬 더 결정적으로 수학의 경험주의 프로그램을 뒤집었습니다. 어떤 실험도 이 변수나 그 변수가 한계에 도달하는 방법을 보여줄 수 없습니다.
. 그 모든 성과에도 불구하고 19세기에 존재했던 극한 이론에도 단점이 있었습니다. 그래서 극한을 정의할 때 O. Cauchy는 실수의 개념에 의존했습니다. 그러나 반면에 실수로 알려진 무리수는 유리수의 수열의 한계로 이해되었습니다. 논리 원이 있습니다.
극한 이론은 무한소의 상태와 관련된 어려움에 어느 정도 대처해 왔습니다. 그러나 무한히 많은 항을 가진 발산 급수 분석에서 그 단점이 특히 분명하게 드러났습니다. 수학적 분석에서 정리를 증명할 때 실제 무한대 개념이 무비판적으로 사용되는 것으로 나타났습니다. 이러한 상황과 다른 상황은 독일 수학자 G. Kantor가 유한 집합뿐만 아니라 무한 집합에 대한 이론을 개발할 필요성을 강화했습니다.
집합론적 접근의 창시자로서 칸토어는 특히 집합의 기수(cardinality) 개념을 개발하고 모든 실수의 집합이 셀 수 없음, 즉 그것을 하나로 만드는 것이 불가능하다는 것을 증명함으로써 인상적인 성공을 거두었습니다. 양의 정수 집합과 일대일로 대응합니다. 따라서 다른 카디널리티를 가진 무한 집합의 존재가 설정되었습니다.
그러나 수학의 발전에 대한 집합론의 영향력의 성장은 바람직하지 않은 놀라움을 동반했습니다. "모든 집합의 집합의 힘"과 같이 겉보기에 명백한 개념의 도입은 역설의 출현을 동반했으며, 그 수가 증가했습니다. 수학자들은 매우 어려운 위치에 있음을 발견했습니다. 사랑하는 자녀는 분명히 변덕스러웠습니다.
이 경우 집합 이론의 모든 역설을 고려할 필요는 없습니다. B. Russell이 발견한 가장 유명한 역설에만 주목합시다. 자신을 요소로 포함하지 않는 집합을 고유 집합이라고 합니다. 자신을 요소로 포함하는 집합을 부적절한 집합이라고 합니다. 적절한 집합의 예는 별이 아닌 별의 집합(클래스)입니다. 그러나 디렉토리의 디렉토리는 디렉토리이므로 부적절한 집합을 형성합니다. A를 원소로 포함하지 않는 모든 집합의 집합이라고 하자. 그러면 An이 A에 속한다면 A의 정의에 따르면 A는 A에 속합니다. A가 A에 속한다면 A의 정의에 따르면 A는 A에 속하지 않습니다.
Russell의 역설의 인기 있는 삽화는 면도하지 않는 모든 사람을 면도하겠다고 선언한 마을 이발사의 이야기입니다. 그가 자신을 면도하지 않으면 자신의 발표와 모순되는 면도를 해야 합니다. 그러나 그가 스스로 면도한다면 그는 자신의 조건, 즉 스스로 면도하지 않는 사람만 면도하는 것과 모순됩니다. 이발사는 절망적인 상황에 처해 있습니다. 자신의 면도를 할 뿐만 아니라 면도를 함으로써 자신의 발표와 모순됩니다.
B. Russell's paradox는 집합의 개념 자체에 의문을 제기했으며, 이것이 수학자들이 극도로 신경질적으로 인식한 이유입니다. 집합론의 역설은 수학 철학의 발전을 상당히 자극했다는 점에 유의해야 합니다. 수학에서 철학이 그렇게 시급하게 필요했던 적이 없었습니다.
20세기 초의 상황. 수학에서는 철학적 풍부함이라는 면에서 1920년대와 1930년대에 발전한 양자 물리학의 상황과 비슷합니다. 두 경우 모두 철학을 하고 싶지 않은 사람들조차 강제로 철학을 하게 되었다.
집합론의 역설을 개념적 분류의 경우에 극복하는 수많은 방법은 논리주의, 형식주의, 직관주의 및 집합론적 접근의 네 가지 영역과 관련이 있다고 생각할 수 있습니다. 이 네 가지 방향의 지지자들은 만장일치로 의견을 모으지 못했습니다. 그 결과 수학은 다원화되었습니다. 이 경우 우리는 종종 세련된 이론을 수립하는 단계를 앞서는 절충적 다원주의를 말하는 것이 아니라 접근의 차이를 제거할 수 없는 다원주의를 말하는 것이다.
이 섹션의 결론으로 ​​수학 철학의 수세기 동안 발전한 경로를 염두에두고 가장 중요한 단계를 골라냅니다. 3세기의 발명 기원전. 공리적 방법(유클리드 기하학). 이 발명이 탈레스부터 아리스토텔레스에 이르는 고대 그리스 철학자들의 작품에 의해 만들어졌다는 것은 잘 알려져 있습니다. 9-11세기에 아랍 수학자(Al-Khwarizmi 및 기타)가 대수학에 독립적인 지위를 부여했습니다. 그것은 중세 대수학이 산술의 일반화가 되었다는 사실로 이어졌습니다. 아랍 대수학자에 대한 연구는 그들의 철학적 우상인 아리스토텔레스에 대한 논리적 연구와 긴밀한 연속성을 유지했습니다. 아랍인들이 문자 지정을 사용하는 전통을 차용한 것은 그의 논리에서 비롯되었습니다. 철학자이자 수학자인 R. Descartes가 분석 기하학을 만들고 수학에 변수를 도입한 것(XVII 세기). 확장된 실체 개념을 선호하는 데카르트의 철학과 그가 개발한 분석 기하학의 변형 사이에는 밀접한 연속성이 있습니다. 미분 미적분학의 G. Leibniz와 I. Newton의 발명(XVII 세기). 라이프니츠의 단일론과 그의 수학적 분석 사이에는 일정한 유사점이 있습니다. 19세기 2/4분기에 비유클리드 기하학의 생성. N.I. Lobachevsky, J. Bollyai, K. Gauss 및 B. Riemann. Lobachevsky와 Gauss는 기하학적 통찰력의 철학적 입증에서 물체의 물질적 상호 작용에 의한 공간 속성의 조건성에서 출발했습니다. 이 아이디어는 라이프니츠와 아리스토텔레스의 작업으로 거슬러 올라갑니다. O. Cauchy(1820년대)의 극한 개념 개발. 이 개념의 순수한 철학적 기원은 아리스토텔레스와 N. of Cusa에서 찾을 수 있습니다. 실제 무한 집합 이론의 생성(G. Kantor 및 기타, 19세기 마지막 분기). 그것의 창조자는 플라톤의 철학에 의해 인도되었습니다. 철학적 및 수학적 방향으로서의 논리주의의 발전 (B. Russell 및 기타). 러셀의 논리주의는 명목주의에 대한 헌신과 함께 영국 경험주의 전통의 연속이다. 수학에서 직관적인 방향의 생성(J. Brouwer, A. Rating 등). 철학적으로 수학적 직관주의는 데카르트, 파스칼, 캉의 아이디어로 거슬러 올라갑니다. D. Hilbert의 형식주의 프로그램 개발. 힐베르트의 작업에서 칸트의 철학적 사상이 뚜렷이 드러난다. 철학적 및 수학적 다원주의의 위치로의 전환. 그런 면에서 다양한 수학적 접근의 가능성을 능숙하게 결합한 H. Weyl의 창의성은 매우 시사하는 바가 크다. 오늘날에는 한 가지 철학적, 수학적 방향의 한계 안에 머물고 있는 뛰어난 수학자를 찾는 것이 거의 불가능합니다.
물론 위에 나열된 단계는 수학 철학의 발전으로 이어진 우여곡절에 대한 가장 일반적인 아이디어를 제공합니다.

연구 대상의 이상화된 속성은 공리로 공식화되거나 해당 수학적 대상의 정의에 나열됩니다. 그런 다음 엄격한 논리적 추론 규칙에 따라 이러한 속성에서 다른 참 속성(정리)을 추론합니다. 이 이론은 함께 연구 대상의 수학적 모델을 형성합니다. 따라서 처음에는 공간 및 양적 관계에서 시작하여 수학은보다 추상적 인 관계를 수신하며 이에 대한 연구는 현대 수학의 주제이기도합니다.

전통적으로 수학은 수학적 구조에 대한 심층 분석을 수행하는 이론과 다른 과학 및 공학 분야에 그 모델을 제공하는 응용으로 나뉘며, 그 중 일부는 수학에 접한 위치를 차지합니다. 특히 형식 논리는 철학 과학의 일부와 수리 과학의 일부로 간주될 수 있습니다. 역학 - 물리학과 수학 모두; 컴퓨터 과학, 컴퓨터 기술 및 알고리즘은 공학 및 수학 과학 등을 모두 참조합니다. 수학에 대한 많은 다른 정의가 문헌에서 제안되었습니다.

어원

"수학"이라는 단어는 다른 그리스어에서 왔습니다. μάθημα , 즉 연구, 지식, 과학등 - 그리스어. μαθηματικός , 원래 의미 수용적인, 다산, 나중에 공부할 수 있는, 이후 수학에 관한. 특히, μαθηματικὴ τέχνη , 라틴어 아르스 수학자, 수단 수학의 예술. 기타 그리스어. μᾰθημᾰτικά 현대적인 의미에서 "수학"이라는 단어는 이미 아리스토텔레스(기원전 4세기)의 저술에서 발견됩니다. Fasmer에 따르면 이 단어는 폴란드어를 통해 러시아어로 전해졌습니다. matematyka 또는 위도를 통해. 수학.

정의

수학 주제에 대한 첫 번째 정의 중 하나는 데카르트에 의해 주어졌습니다.

수학 분야는 순서나 척도가 고려되는 과학만을 포함하며 이것이 숫자, 숫자, 별, 소리 또는 이 척도가 필요한 다른 무엇이든 전혀 중요하지 않습니다. 따라서 특정 과목에 대한 연구에 들어가지 않고 질서와 척도에 관한 모든 것을 설명하는 일반 과학이 있어야 하며, 이 과학은 외래어가 아니라 일반 수학의 오래되고 이미 통용되는 이름으로 불려야 합니다.

소비에트 시대에 A. N. Kolmogorov가 제공한 TSB의 정의는 고전적인 것으로 간주되었습니다.

수학 ... 실제 세계의 양적 관계와 공간 형태의 과학.

수학의 본질은 ... 이제 대상 간의 관계에 대한 교리로 제시되며, 대상을 설명하는 일부 속성을 제외하고는 아무것도 알려져 있지 않습니다. 추상적인 형태의 집합 - 수학적 구조.

수학의 가지

1. 수학 학문 분야러시아 연방에서 초등 수학으로 세분화되고 고등학교에서 공부하고 분야별로 교육을 받았습니다.

• 기본 기하학: 평면도와 입체 기하학
• 기본 기능 이론 및 분석 요소

4. 미국 수학 학회(AMS)는 수학 분야를 분류하기 위한 자체 표준을 개발했습니다. 수학 과목 분류라고 합니다. 이 표준은 주기적으로 업데이트됩니다. 현재 버전은 MSC 2010입니다. 이전 버전은 MSC 2000입니다.

표기법

수학은 매우 다양하고 다소 복잡한 구조를 다루기 때문에 표기법도 매우 복잡합니다. 수식 작성의 현대 시스템은 유럽의 대수학 전통과 수학의 후기 분과(수학적 분석, 수학적 논리, 집합 이론 등)의 필요성을 기반으로 형성되었습니다. 기하학은 시간부터 시각적(기하학적) 표현을 사용했습니다. 태고의. 현대 수학에서는 복잡한 그래픽 표기법(예: 교환 다이어그램)도 일반적이며 그래프 기반 표기법도 자주 사용됩니다.

단편

수학의 발전은 쓰기와 숫자 쓰기 능력에 달려 있습니다. 아마도 고대인들은 먼저 땅에 선을 긋거나 나무에 긁어서 양을 표현했을 것입니다. 다른 문자 체계가 없었던 고대 잉카인들은 이른바 키푸(quipu)라고 하는 복잡한 밧줄 매듭 체계를 사용하여 숫자 데이터를 표현하고 저장했습니다. 다양한 번호 체계가 있었습니다. 숫자에 대한 최초의 알려진 기록은 중왕국의 이집트인들이 제작한 아메스 파피루스에서 발견되었습니다. 인도 문명은 0의 개념을 통합하여 현대 십진수 체계를 개발했습니다.

역사적으로 주요 수학 분야는 상업 분야에서 계산을 수행하고 토지를 측정하고 천문 현상을 예측하고 나중에는 새로운 물리적 문제를 해결해야 하는 필요성의 영향으로 등장했습니다. 이러한 각 영역은 구조, 공간 및 변화에 대한 연구로 구성된 수학의 광범위한 발전에서 큰 역할을 합니다.

수학 철학

목표 및 방법

수학은 형식적인 언어를 사용하여 상상의 이상적인 대상과 이들 간의 관계를 연구합니다. 일반적으로 수학적 개념과 정리는 물리적 세계의 어떤 것과도 반드시 일치하는 것은 아닙니다. 수학의 응용 섹션의 주요 임무는 연구중인 실제 대상에 대해 충분할 수 있는 수학적 모델을 만드는 것입니다. 이론 수학자의 임무는 이 목표를 달성하기 위한 편리한 수단을 충분히 제공하는 것입니다.

수학의 내용은 수학적 모델의 체계와 그 생성을 위한 도구로 정의할 수 있습니다. 개체 모델은 모든 기능을 고려하지 않고 연구 목적(이상화)에 가장 필요한 것만 고려합니다. 예를 들어, 오렌지의 물리적 특성을 연구할 때 우리는 색상과 맛을 추상화하여 (완전히 정확하지는 않지만) 공으로 나타낼 수 있습니다. 2개와 3개를 더하면 얼마나 많은 오렌지를 얻을 수 있는지 이해해야 하는 경우 형식에서 추상화하여 모델에 단 하나의 특성인 수량만 남겨둘 수 있습니다. 추상화와 가장 일반적인 형태의 대상 간의 관계 설정은 수학적 창의성의 주요 영역 중 하나입니다.

추상화와 함께 또 다른 방향은 일반화입니다. 예를 들어 "공간"의 개념을 n차원의 공간으로 일반화합니다. " 우주 R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), 에 n > 3 (\displaystyle n>3)수학적 발명이다. 그러나 복잡한 현상을 수학적으로 이해하는 데 도움이 되는 매우 독창적인 발명».

수학적 대상에 대한 연구는 원칙적으로 공리적 방법을 사용하여 발생합니다. 먼저 연구 대상에 대해 기본 개념 및 공리 목록을 공식화한 다음 추론 규칙을 사용하여 공리로부터 의미 있는 정리를 얻습니다. 함께 수학적 모델을 형성합니다.

기초

직관주의

직관주의는 수학의 기초에서 직관론적 논리를 전제로 하며, 이는 증명 수단이 더 제한적입니다(그러나 믿음이 있는 것처럼 더 신뢰할 수 있음). 직관주의는 모순에 의한 증명을 거부하고, 많은 비구성적 증명이 불가능해지고, 집합 이론의 많은 문제가 무의미해집니다(형식화 불가능).

건설적인 수학

구성 수학은 구성적 구성을 연구하는 직관주의에 가까운 수학의 경향 [ 밝히다] . 시공성 기준에 따르면 - " 존재한다는 것은 건설된다는 것을 의미한다". 구성성 기준은 일관성 기준보다 더 강력한 요구 사항입니다.

주요 주제

수량

수량의 추상화를 다루는 주요 섹션은 대수학입니다. "숫자"의 개념은 원래 산술 표현에서 유래했으며 자연수를 나타냅니다. 나중에 대수학의 도움으로 정수, 유리수, 실수, 복소수 및 기타 숫자로 점차 확장되었습니다.

변환

변형과 변화의 현상은 분석에 의해 가장 일반적인 형태로 고려됩니다.

구조

공간 관계

공간 관계의 기본은 기하학에 의해 고려됩니다. 삼각법은 삼각 함수의 속성을 고려합니다. 수학적 분석을 통한 기하학적 물체의 연구는 미분 기하학을 다룬다. 연속적인 변형에도 변하지 않는 공간의 성질과 연속성의 현상 그 자체를 위상학으로 연구한다.

기하학	삼각법	미분 기하학	토폴로지	도형	측정 이론

이산 수학

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\오른쪽 화살표 P(x")))

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고등 수학

수학적 분석

미분 방정식

수리물리학

기하학 및 토폴로지

확률 이론 및 수학 통계

수학적 논리, 대수 및 정수론

계산 수학

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고대 그리스어에서 번역된 수학은 연구, 과학을 의미합니다. 이것은 개체 또는 개체의 모양을 계산, 측정 및 설명하는 작업을 기반으로 역사적으로 발전해 온 구조, 질서 및 관계의 과학입니다. 수학적 개체는 실제 또는 기타 수학적 개체의 속성을 이상화하고 이러한 속성을 형식 언어로 작성하여 생성됩니다.

수학은 자연 과학이 아니지만 내용의 정확한 공식화와 새로운 결과를 얻기 위해 널리 사용됩니다.

수학은 다른 과학에 (일반) 언어적 수단을 제공하는 기초 과학입니다. 따라서 그것은 그들의 구조적 관계를 드러내고 우주의 가장 일반적인 법칙의 정의에 기여합니다. 이 과학은 많은 계산, 공식, 방정식 및 용어와 관련이 있습니다. 수학을 이해하면 이 끝없는 숫자와 계산에 길을 잃지 않는 것이 매우 어렵습니다. 이 과학의 복잡성은 다음과 같은 많은 섹션을 포함하기 때문에 다용성에도 있습니다.

대수학

논리 대수학

변동 통계 및 변동 미적분

적분 및 미분 미적분

확률 이론

고등 수학

이산 수학

게임 이론

조합론

명제 논리

해석 기하학

수학적 논리

수학 통계

행렬 대수학

집합론

전통적으로 수학은 다음과 같이 나뉩니다.

*수학적 구조에 대한 심층 분석을 수행하는 이론,

* 적용됨, 다른 과학 및 공학 분야에 모델을 제공하는 반면, 일부는 수학과 경계선 위치를 차지합니다.

예를 들어, 형식 논리는 철학 과학의 일부이자 수리 과학의 일부로 간주될 수 있으며, 역학은 물리학과 수학 모두로 간주될 수 있으며, 컴퓨터 과학, 컴퓨터 기술 및 알고리즘은 공학과 수학 모두에 귀속될 수 있습니다. 수리 과학 등 .

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