대수 분수 정의는 무엇입니까? 기본 개념

§ 1 대수 분수의 개념

대수 분수를 식이라고 합니다.

여기서 P와 Q는 다항식입니다. P는 대수 분수의 분자이고 Q는 대수 분수의 분모입니다.

다음은 대수 분수의 예입니다.

모든 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있기 때문에 대수 분수의 특별한 경우입니다.

예를 들어:

대수 분수의 값은 변수의 값에 따라 다릅니다.

예를 들어 분수의 값을 계산해 보겠습니다.

첫 번째 경우 우리는 다음을 얻습니다.

이 분수는 다음과 같이 줄일 수 있습니다.

따라서 대수 분수 값의 계산이 단순화됩니다. 이것을 사용합시다.

두 번째 경우에는 다음을 얻습니다.

보시다시피 변수 값이 변경됨에 따라 대수 분수 값이 변경되었습니다.

§ 2 대수 분수 변수의 허용 값

대수 분수 고려

x = -1 값은 이 분수에 대해 유효하지 않습니다. 이 x 값에서 분수의 분모는 사라집니다. 이 변수 값으로 대수 분수는 의미가 없습니다.

따라서 대수 분수의 변수의 허용 가능한 값은 분수의 분모가 사라지지 않는 변수의 값입니다.

몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

변수의 어떤 값에 대해 대수 분수가 의미가 있습니까?

변수의 유효하지 않은 값을 찾기 위해 분수의 분모를 0으로 설정하고 해당 방정식의 근을 찾습니다.

변수의 값은 0과 같은 대수 분수입니다.

분자가 0이면 분수는 0입니다. 분수의 분자를 0과 동일시하고 결과 방정식의 근을 찾습니다.

따라서 x = 0 및 x= 3의 경우 이 대수 분수는 의미가 없습니다. 즉, 이러한 변수 값을 답에서 제외해야 합니다.

따라서 이 단원에서는 대수 분수의 기본 개념인 분수의 분자와 분모와 대수 분수 변수의 허용 가능한 값을 배웠습니다.

중고 문헌 목록:

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이 단원에서는 대수 분수의 개념에 대해 설명합니다. 사람은 가장 단순한 삶의 상황에서 분수를 만납니다. 예를 들어 10명이 똑같이 케이크를 자르기 위해 물건을 여러 부분으로 나눌 필요가 있을 때. 분명히, 모든 사람은 케이크 한 조각을 얻을 것입니다. 이 경우 수치적 분수의 개념에 직면하게 되지만, 예를 들어 x와 같이 개체를 알 수 없는 수의 부분으로 나눌 때 상황이 가능합니다. 이 경우 분수 표현의 개념이 발생합니다. 7학년에서 이미 정수 표현식(변수가 있는 표현식으로 나누기를 포함하지 않음)과 그 속성을 만났습니다. 다음으로 유리 분수의 개념과 변수의 허용 값을 고려할 것입니다.

합리적 표현은 다음과 같이 나뉩니다. 정수 및 분수 표현식.

정의.유리수는 다항식 형식의 분수 표현입니다. - 분자 분모.

예합리적인 표현:- 분수 표현; 정수 표현식입니다. 예를 들어 첫 번째 표현식에서 분자는 이고 분모는 입니다.

의미 대수 분수, 어떤 것과 마찬가지로 대수식, 포함된 변수의 숫자 값에 따라 다릅니다. 특히, 첫 번째 예에서 분수의 값은 변수의 값과 , 그리고 두 번째 예에서는 변수의 값에만 의존합니다.

첫 번째 일반적인 작업인 값 계산을 고려하십시오. 유리수그것에 포함 된 변수의 다른 값에 대해.

실시예 1 a), b), c)에 대한 분수 값을 계산합니다.

해결책.변수 값을 표시된 분수로 대체하십시오. a), b), c) - 존재하지 않습니다(0으로 나눌 수 없기 때문에).

대답:가) 3 나) 1; c) 존재하지 않습니다.

보시다시피 모든 분수에는 두 가지 일반적인 문제가 있습니다. 1) 분수 계산, 2) 찾기 유효하고 무효한 값리터럴 변수.

정의.유효한 변수 값표현식이 의미가 있는 변수의 값입니다. 변수의 모든 허용 가능한 값 집합을 호출합니다. 오즈또는 도메인.

이러한 값에 대한 분수의 분모가 0이면 리터럴 변수의 값이 유효하지 않을 수 있습니다. 다른 모든 경우에는 분수를 계산할 수 있으므로 변수 값이 유효합니다.

실시예 2

해결책.이 표현이 의미를 갖기 위해서는 분수의 분모가 0이 아닌 것이 필요하고 충분합니다. 따라서 분모가 0이 되는 변수 값만 유효하지 않습니다. 분수의 분모이므로 선형 방정식을 풉니다.

따라서 변수 값에 대해 분수는 의미가 없습니다.

대답: -5.

예제의 솔루션에서 변수의 유효하지 않은 값을 찾는 규칙이 따릅니다. 분수의 분모는 0이고 해당 방정식의 근을 찾습니다.

몇 가지 유사한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 3분수가 의미가없는 변수 값 결정 .

해결책..

대답..

실시예 4분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.

해결책..

이 문제의 다른 공식이 있습니다. 도메인또는 유효한 표현 값의 범위(ODZ). 이것은 변수의 모든 유효한 값을 찾는 것을 의미합니다. 이 예에서는 를 제외한 모든 값입니다. 정의 영역은 숫자 축에 편리하게 표시됩니다.

이렇게하려면 그림과 같이 포인트를 잘라냅니다.

쌀. 하나

이런 식으로, 분수 영역 3을 제외한 모든 숫자가 됩니다.

대답..

실시예 5분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.

해결책..

결과 솔루션을 숫자 축에 묘사해 보겠습니다.

쌀. 2

대답..

실시예 6

해결책.. 우리는 두 변수의 평등을 얻었고 숫자 예제를 제공할 것입니다: 또는 등.

데카르트 좌표계의 그래프에 이 솔루션을 표시해 보겠습니다.

쌀. 3. 함수의 그래프

이 그래프에 있는 점의 좌표는 분수의 허용 가능한 값 영역에 포함되지 않습니다.

대답..

고려한 예에서 우리는 0으로 나누기가 발생하는 상황에 직면했습니다. 이제 유형 분할과 관련하여 더 흥미로운 상황이 발생하는 경우를 고려하십시오.

실시예 7분수가 의미가없는 변수 값을 결정하십시오.

해결책..

분수가 의미가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 다음과 같은 이유로 그렇지 않다고 주장할 수 있습니다. .

최종 표현식이 에 대해 8과 같으면 원래 표현식도 계산할 수 있으므로 에 대해 의미가 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 우리가 그것을 원래 표현으로 대체한다면, 우리는 이해가 되지 않습니다.

대답..

이 예를 더 자세히 이해하기 위해 다음 문제를 해결합니다. 표시된 분수가 0과 같은 값은 무엇입니까?

그러나 그 당시 우리는 일반 분수로 작업하기에 편리하고 충분한 "단순화된" 형태로 그것을 공식화했습니다. 이 기사에서는 대수 분수(즉, 분자와 분모가 다항식인 분수, 일부 대수 교과서에서는 이러한 분수를 대수가 아니라 유리 분수라고 함)와 관련하여 분수의 기본 속성을 살펴보겠습니다. 먼저 우리는 공식화 대수 분수의 기본 속성, 정당화하고 적용의 주요 영역을 나열하십시오.

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공식화 및 근거

우선 일반 분수에 대한 분수의 주요 속성이 어떻게 공식화되었는지 생각해 봅시다. 일반 분수의 분자와 분모가 동시에 자연수로 곱하거나 나누어지면 분수의 값은 변경되지 않습니다. 이 명령문은 등식 및 (및 형식의 재배열된 부분에도 유효함)에 해당합니다. 여기서 a , b 및 m 은 일부입니다.

사실, 분자와 분모를 숫자로 나누는 것에 대해 이야기할 수는 없습니다. 이 경우는 평등 형식으로 다룹니다. 예를 들어, 평등은 다음과 같이 평등을 사용하여 나눗셈의 관점에서 정당화될 수 있습니다. , 그러나 그것은 또한 다음과 같이 평등에 기초하여 정당화될 수 있습니다. . 따라서 더 나아가 분수의 주요 속성을 평등(and )과 연관시키고 평등(and )에 대해서는 다루지 않을 것입니다.

이제 분수의 주요 속성이 분자와 분모가 . 이를 위해 우리는 서면 평등이 자연수뿐만 아니라 모든 실수에 대해서도 참임을 증명합니다. 다시 말해, 실수 a, b 및 m에 대해 평등이 참임을 증명하고, 또한 b와 m이 0이 아님을 증명할 것입니다(그렇지 않으면 0으로 나눗셈에 직면하게 됩니다).

분수 a/b를 숫자 z, 즉 . 우리는 분수가 숫자 z에도 대응한다는 것을 증명할 것입니다. 즉, 임을 증명할 것입니다. 이것은 평등을 증명할 것입니다.

대수 분수에 분수 계수가 있는 경우 분자와 분모에 특정 숫자를 곱하면 정수 계수로 이동하여 형식을 단순화할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 예를 들어, . 그리고 분자와 분모에 마이너스 1을 곱하면 대수 분수의 구성원의 부호를 변경하는 규칙이 기반입니다.

분수의 기본 속성을 적용하는 데 두 번째로 중요한 영역은 대수 분수의 축소입니다. 일반적인 경우의 축소는 두 단계로 수행됩니다. 첫째, 분자와 분모를 인수분해하여 공통 요소 m을 찾은 다음 평등에 기초하여 형식 a의 분수로 전환합니다. / b 이 공통 요소 없이 수행됩니다. 예를 들어, 대수 분수는 분자와 분모를 인수로 분해한 후 내부 자료 및 외부 디자인을 포함하여 www.site 형식을 취하며 저작권 소유자의 사전 서면 허가 없이는 어떤 형태로든 복제하거나 사용할 수 없습니다.

학생이 고등학교에 진학하면 수학은 대수와 기하학의 두 과목으로 나뉩니다. 점점 더 많은 개념이 있고 작업이 더 어려워지고 있습니다. 어떤 사람들은 분수를 이해하는 데 어려움을 겪습니다. 이 주제에 대한 첫 번째 수업을 놓쳤습니다. 짜잔. 분수? 학교 생활 내내 괴롭히는 질문.

대수 분수의 개념

정의부터 시작하겠습니다. 아래에 대수 분수 P는 분자이고 Q는 분모인 P/Q 표현식을 이해합니다. 숫자, 숫자 표현식, 숫자-알파벳 표현식은 알파벳 항목 아래에 숨길 수 있습니다.

대수 분수를 푸는 방법을 궁금해하기 전에 먼저 그러한 식이 전체의 일부라는 것을 이해해야 합니다.

일반적으로 전체는 1입니다. 분모의 숫자는 단위가 몇 부분으로 나누어졌는지 보여줍니다. 몇 개의 요소를 취했는지 알아내기 위해서는 분자가 필요합니다. 분수 막대는 나누기 기호에 해당합니다. 분수식을 수학 연산 "나누기"로 기록하는 것이 허용됩니다. 이 경우 분자는 피제수, 분모는 제수입니다.

공통 분수의 기본 규칙

학생들이 학교에서 이 주제를 다룰 때 강화할 예가 제공됩니다. 그것들을 올바르게 풀고 어려운 상황에서 다른 방법을 찾으려면 분수의 기본 속성을 적용해야 합니다.

다음과 같이 들립니다. 분자와 분모에 동일한 숫자 또는 표현식(0 제외)을 곱하면 일반 분수의 값은 변경되지 않습니다. 이 규칙의 특별한 경우는 표현식의 두 부분을 같은 숫자나 다항식으로 나누는 것입니다. 이러한 변환을 동일한 평등이라고 합니다.

아래에서 우리는 분수의 곱셈, 나눗셈 및 감소를 수행하기 위해 대수 분수의 덧셈과 뺄셈을 해결하는 방법을 고려할 것입니다.

분수를 사용한 수학 연산

대수 분수의 주요 속성을 해결하는 방법, 실제로 적용하는 방법을 고려하십시오. 두 분수를 곱하거나 더하거나 다른 분수로 나누거나 빼야 하는 경우 항상 규칙을 따라야 합니다.

따라서 덧셈과 뺄셈의 연산을 위해서는 식을 공통분모로 만들기 위해 추가적인 요소를 찾아야 한다. 처음에 분수가 동일한 표현식 Q로 주어지면 이 항목을 생략해야 합니다. 공통 분모를 찾았을 때 대수 분수를 푸는 방법은 무엇입니까? 분자를 더하거나 뺍니다. 하지만! 분수 앞에 "-"기호가 있으면 분자의 모든 기호가 반전된다는 것을 기억해야 합니다. 때로는 대체 및 수학 연산을 수행하지 않아야 합니다. 분수 앞의 부호를 바꾸는 것으로 충분합니다.

용어는 종종 다음과 같이 사용됩니다. 분수 감소. 이것은 다음을 의미합니다. 분자와 분모를 1이 아닌 다른 표현식으로 나누면(두 부분 모두 동일) 새로운 분수가 얻어집니다. 피제수와 제수는 이전보다 작지만 분수의 기본 규칙으로 인해 원래 예제와 동일하게 유지됩니다.

이 연산의 목적은 새로운 기약식을 얻는 것입니다. 이 문제는 분자와 분모를 최대공약수로 줄여서 풀 수 있습니다. 연산 알고리즘은 두 가지 점으로 구성됩니다.