Mis on huvi ja kuidas seda lahendada. Huvi matemaatika vastu

Jätkame matemaatika elementaarsete probleemide uurimist. See õppetund käsitleb huviprobleeme. Vaatleme mitmeid ülesandeid ja puudutame ka neid punkte, mida varem huvipakkuvas uuringus ei mainitud, arvestades, et need tekitavad alguses õppimise raskusi.

Enamik protsentidega seotud probleeme taandub arvu protsendi leidmisele, arvu leidmisele protsendi järgi, mis tahes osa väljendamisele protsentides või mitme objekti, arvu, suuruse vahelise seose väljendamisele protsentides.

Eeloskused Tunni sisu

Meetodid huvi leidmiseks

Protsenti saab leida mitmel viisil. Kõige populaarsem viis on jagada arv 100-ga ja korrutada tulemus soovitud protsendiga.

Näiteks 60% 200 rubla leidmiseks peate esmalt jagama need 200 rubla sajaks võrdseks osaks:

200 rubla: 100 = 2 rubla.

Kui jagame arvu 100-ga, leiame sellest arvust ühe protsendi. Niisiis, jagades 200 rubla 100 osaks, leidsime automaatselt 1% kahesajast rublast, see tähendab, et saime teada, kui palju rubla ühe osa jaoks on vaja. Nagu näitest näha, moodustab üks osa (üks protsent) 2 rubla.

1% 200 rublast - 2 rubla

Teades, mitu rubla on ühes osas (1% võrra), saate teada, mitu rubla on kahes osas, kolm, neli, viis jne. See tähendab, et võite leida suvalise arvu protsente. Selleks piisab, kui korrutada need 2 rubla vajaliku arvu osadega (protsentides). Leiame kuuskümmend tükki (60%)

2 rubla × 60 = 120 rubla.

2 rubla × 5 = 10 rubla.

Leia 90%

2 rubla × 90 = 180 rubla.

Leia 100%

2 rubla × 100 = 200 rubla.

100% on kõik sada osa ja need kõik on 200 rubla.

Teine võimalus on esitada protsent hariliku murruna ja leida see murdarvust, millest soovite protsenti leida.

Näiteks leiame sama 60% 200 rublast. Esiteks esitame 60% murdosana. 60% on kuuskümmend osa sajast, see tähendab kuuskümmend sajandikku:

Nüüd võib ülesannet mõista kui « leida alates 200rubla" ... See on see, mida me varem uurisime. Tuletage meelde, et arvu murdosa leidmiseks peate selle arvu jagama murdosa nimetajaga ja korrutama tulemuse murdosa lugejaga

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Või korrutage arv murdosaga ():

Kolmas viis on esitada protsent kümnendkohana ja korrutada arv selle kümnendkohaga.

Näiteks leiame sama 60% 200 rublast. Alustuseks esindame 60% murdosana. 60% protsenti on kuuskümmend osa sajast

Jagame selle murdosaga. Liigutage koma numbris 60 kaks numbrit vasakule:

Nüüd leiame 0,60 alates 200 rubla. Arvu kümnendmurru leidmiseks peate selle arvu korrutama kümnendmurruga:

200 × 0,60 = 120 rubla.

Antud meetod protsendi leidmiseks on kõige mugavam, eriti kui inimene on harjunud kalkulaatorit kasutama. See meetod võimaldab leida protsendi ühe sammuga.

Reeglina pole protsendi väljendamine kümnendmurruna keeruline. Kui protsent on kahekohaline arv, piisab, kui lisada protsendi ette "null täisarvu" või lisada "null täisarvu" ja veel üks null, kui protsent on ühekohaline. Näited:

60% = 0,60 – enne 60 on määratud null täisarvu, kuna 60 on kahekohaline

6% = 0,06 - enne numbrit 6 on määratud null täisarvu ja veel üks null, kuna arv 6 on ühekohaline.

100-ga jagamisel kasutasime koma kahe numbri võrra vasakule nihutamise meetodit. Vastuses 0,60 säilib null pärast arvu 6. Aga kui teete selle jaotuse nurgaga, siis null kaob - vastus on 0,6

Tuleb meeles pidada, et kümnendmurrud 0,60 ja 0,6 on võrdsed sama väärtusega:

0,60 = 0,6

Samas "nurgas" saate jätkata jagamist lõputult, määrates iga kord ülejäänud osale nulli, kuid see on mõttetu toiming:

Protsente saab väljendada kümnendkohana mitte ainult 100-ga jagades, vaid ka korrutades. Protsendimärk (%) ise asendab kordaja 0,01. Ja kui arvestada, et protsentide arv ja protsendimärk on kokku kirjutatud, siis nende vahel on "nähtamatu" korrutusmärk (×).

Seega näeb 45% kirje tegelikult välja selline:

Asenda protsendimärk koefitsiendiga 0,01

See korrutamine 0,01-ga viiakse läbi, nihutades koma kahe koha võrra vasakule:

Probleem 1... Pere eelarve on 75 tuhat rubla kuus. 70% neist on isa teenitud raha. Kui palju ema teenis?

Lahendus

Ainult 100 protsenti.Kui isa teenis 70% rahast, siis ema teenis ülejäänud 30% rahast.

2. ülesanne... Pere eelarve on 75 tuhat rubla kuus. Neist 70% on isa teenitud raha ja 30% ema teenitud raha. Kui palju raha igaüks teenis?

Lahendus

Leiame 70 ja 30 protsenti 75 tuhandest rublast. See määrab, kui palju raha igaüks teenis. Mugavuse huvides kirjutatakse 70% ja 30% kümnendmurdudeks:

75 × 0,70 = 52,5 (isa teenis tuhat rubla)

75 × 0,30 = 22,5 (tuhat rubla. Ema teenis)

Uurimine

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Vastus: 52,5 tuhat rubla. isa teenis, 22,5 rubla. Ema teenis.

Probleem 3... Jahtudes kaotab leib vee aurustumise tagajärjel kuni 4% oma kaalust. Mitu kilogrammi aurustub, kui 12 tonni leiba jahtuda.

Lahendus

Tõlgime 12 tonni kilogrammideks. Ühes tonnis on tuhat kilogrammi ja 12 tonnis 12 korda rohkem:

1000 × 12 = 12 000 kg

Nüüd leiame 4% 12000-st. Saadud tulemus on vastus ülesandele:

12 000 × 0,04 = 480 kg

Vastus: 12 tonni leiva jahtumisel aurustub 480 kilogrammi.

Probleem 4... Õunad kaotavad kuivatamisel 84% oma kaalust. Kui palju kuivatatud õunu saab 300 kg värsketest õuntest?

Leia 84% 300 kg-st

300: 100 × 84 = 252 kg

Kuivatamise tulemusena kaotab 300 kg värskeid õunu oma kaalust 252 kg. Et vastata küsimusele, kui palju kuivatatud õunu välja tuleb, peate 300-st lahutama 252

300–252 = 48 kg

Vastus: 300 kg värsketest õuntest saab 48 kg kuivatatud õunu.

Probleem 5... Sojaoa seemned sisaldavad 20% õli. Kui palju õli on 700 kg sojaubades?

Lahendus

Leia 20% 700 kg-st

700 × 0,20 = 140 kg

Vastus: 700 kg soja sisaldab 140 kg õli

Probleem 6... Tatar sisaldab 10% valku, 2,5% rasva ja 60% süsivesikuid. Kui palju neid tooteid sisaldab 14,4 tsentnerit tatratangudes?

Lahendus

Teisendage 14,4 senti kilogrammideks. Ühes sentimeetris 100 kilogrammi, 14,4 sentimeetris - 14,4 korda rohkem

100 × 14,4 = 1440 kg

Leia 10%, 2,5% ja 60% 1440 kg-st

1440 × 0,10 = 144 (kg valke)

1440 × 0,025 = 36 (kg rasva)

1440 × 0,60 = 864 (kg süsivesikuid)

Vastus: 14,4 cc tatart sisaldab 144 kg valke, 36 kg rasvu, 864 kg süsivesikuid.

Probleem 7... Puukooli tarbeks kogusid õpilased 60 kg tamme, akaatsia, pärna ja vahtra seemneid. Tammetõrud moodustasid 60%, vahtraseemned 15%, pärna seemned 20% ja ülejäänu akaatsia seemned. Mitu kilogrammi akaatsiaseemneid kogusid õpilased?

Lahendus

Võtame 100% tamme, akaatsia, pärna ja vahtra seemned. Lahutage neist 100% protsendid, mis väljendavad tamme, pärna ja vahtra seemneid. Nii saame teada, mitu protsenti on akaatsia seemneid:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Nüüd leiame akaatsia seemned:

60 × 0,05 = 3 kg

Vastus: Koolilapsed kogusid 3 kg akaatsiaseemneid.

Uurimine:

60 x 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 x 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Probleem 8... Mees ostis süüa. Piim maksab 60 rubla, mis on 48% kõigi ostude maksumusest. Määrake toidukaupadele kulutatud raha kogusumma.

Lahendus

See on ülesanne leida arv selle protsendi, st teadaoleva osa järgi. Seda probleemi saab lahendada kahel viisil. Esimene on teadaoleva arvu protsentide väljendamine kümnendmurruna ja selle murdu põhjal tundmatu arvu leidmine.

Väljendage 48% kümnendkohana

48% : 100 = 0,48

Teades, et 0,48 on 60 rubla, saame määrata kõigi ostude summa. Selleks peate leidma tundmatu arvu kümnendmurru järgi:

60: 0,48 = 125 rubla

See tähendab, et toidukaupadele kulub kokku 125 rubla.

Teine võimalus on kõigepealt teada saada, kui palju raha ühes protsendis on, ja seejärel korrutada tulemus 100-ga

48% on 60 rubla. Kui jagame 60 rubla 48-ga, siis saame teada, mitu rubla on 1%.

60: 48% = 1,25 rubla

1% moodustab 1,25 rubla. Kokku protsenti 100. Kui korrutada 1,25 rubla 100-ga, saame kogu toidule kulunud rahasumma

1,25 × 100 = 125 rubla

Probleem 9... 35% kuivatatud ploomidest tuleb värsketest ploomidest. Kui palju värskeid ploome on vaja võtta, et saada 140 kg kuivatatud ploome? Kui palju kuivatatud ploome saad 600 kg värsketest ploomidest?

Lahendus

Avaldame 35% kümnendmurruna ja leiame sellest murrust tundmatu arvu:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 kg

140 kg kuivatatud ploome saamiseks peate võtma 400 kg värskeid ploome.

Vastame probleemi teisele küsimusele - kui palju kuivatatud ploome saab 600 kg värsketest? Kui värsketest ploomidest tuleb välja 35% kuivatatud ploomidest, siis 600 kg värsketest ploomidest piisab, kui leiad need 35%.

600 × 0,35 = 210 kg

Vastus: 140 kg kuivatatud ploome saamiseks tuleb võtta 400 kg värskeid. 600 kg värsketest ploomidest saab 210 kg kuivatatud ploomidest.

Probleem 10... Rasvade omastamine inimkeha poolt on 95%. Kuu jooksul tarbis õpilane 1,2 kg rasva. Kui palju rasva suudab tema keha omastada?

Lahendus

Teisendage 1,2 kg grammideks

1,2 × 1000 = 1200 g

Leia 95% 1200 g-st

1200 x 0,95 = 1140 g

Vastus: õpilase organism suudab omastada 1140 g rasva.

Arvude väljendamine protsentides

Nagu varem mainitud, saab protsenti esitada kümnendmurruna. Selleks piisab, kui jagada nende protsentide arv 100-ga. Näiteks kujutame 12% kümnendmurruna:

kommenteerida. Nüüd me ei leia millestki protsenti, vaid kirjutame selle lihtsalt kümnendmurruna üles.

Kuid võimalik on ka vastupidine protsess. Kümnendmurdu saab esitada protsentides. Selleks peate selle murdosa korrutama 100-ga ja panema protsendimärgi (%)

Kirjuta koma 0,12 protsendina ümber

0,12 x 100 = 12%

Seda toimingut nimetatakse protsentides või väljendades numbreid sajandikutes.

Korrutamine ja jagamine on pöördtehted. Näiteks kui 2 × 5 = 10, siis 10: 5 = 2

Samuti saab jagamise kirjutada vastupidises järjekorras. Kui 10: 5 = 2, siis 2 × 5 = 10:

Sama juhtub, kui väljendame kümnendmurdu protsentides. Niisiis väljendati 12% kümnendmurruna järgmiselt: 12: 100 = 0,12, kuid samad 12% "tagastati" korrutamise teel, kirjutades üles avaldise 0,12 × 100 = 12%.

Samamoodi saate väljendada protsentides mis tahes muid numbreid, sealhulgas täisarve. Näiteks väljendame protsentides arvu 3. Korrutage see arv 100-ga ja lisage tulemusele protsendimärk:

3 × 100 = 300%

Suured protsendid, nagu 300%, võivad alguses segadusse ajada, kuna inimesed on harjunud arvestama 100% maksimumiks. Täiendavast teabest murdude kohta teame, et ühe terve objekti saab tähistada ühega. Näiteks kui on terve lõikamata kook, siis saab seda tähistada 1-ga

Sama kooki võib nimetada 100% koogiks. Sel juhul tähendavad nii 1 kui 100% sama tervet kooki:

Lõika kook pooleks. Sel juhul muutub üks kümnendarvuks 0,5 (kuna see on pool ühest) ja 100% muutub 50% (kuna 50 on pool sajast)

Anname kogu koogi tagasi, üks ühik ja 100%

Kujutame veel kahte sellist kooki, millel on samad nimetused:

Kui üks kook on ühik, siis kolm kooki on kolm ühikut. Iga kook on sada protsenti terve. Kui lisada need kolmsada, saate 300%.

Seetõttu korrutame täisarvude protsentideks teisendamisel need arvud 100-ga.

2. ülesanne... Väljendage arv 5 protsentides

5 × 100 = 500%

Probleem 3... Väljendage arv 7 protsentides

7 × 100 = 700%

Probleem 4... Väljendage arv 7,5 protsentides

7,5 × 100 = 750%

Probleem 5... Väljendage arv 0,5 protsentides

0,5 × 100 = 50%

Probleem 6... Väljendage arv 0,9 protsentides

0,9 × 100 = 90%

Näide 7... Väljendage arv 1,5 protsentides

1,5 × 100 = 150%

Näide 8... Väljendage arv 2,8 protsentides

2,8 × 100 = 280%

Probleem 9... George kõnnib koolist koju. Esimesed viisteist minutit läbis ta 0,75 rada. Ülejäänud aja läbis ta ülejäänud 0,25 rada. Väljendage protsendina tee osa, mille George on läbinud.

Lahendus

0,75 × 100 = 75%

0,25 × 100 = 25%

Probleem 10... Johannest kostitati poole õunaga. Väljendage see pool protsentides.

Lahendus

Pool õuna on kirjutatud murdosa 0,5-st. Selle murdosa väljendamiseks protsentides korrutage see 100-ga ja lisage tulemusele protsendimärk.

0,5 × 100 = 50%

Fraktsioonilised analoogid

Protsentuaalselt väljendatud väärtusel on vaste tavalise murru kujul. Niisiis, 50% analoog on murdosa. Viiskümmend protsenti võib nimetada ka pooleks.

25% analoog on murdosa. Veerandiks võib nimetada ka 25 protsenti.

20% analoog on murdosa. Viiendikuks võib nimetada ka kahtkümmend protsenti.

40% analoog on murdosa.

60% analoog on murdosa

Näide 1... Viis sentimeetrit on 50% detsimeetrist ehk vaid pool. Kõigil juhtudel räägime samast väärtusest - viis sentimeetrit kümnest

Näide 2... Kaks ja pool sentimeetrit on 25% detsimeetrist ehk lihtsalt veerand

Näide 3... Kaks sentimeetrit on 20% detsimeetrist või

Näide 4... Neli sentimeetrit on 40% detsimeetrist või

Näide 5... Kuus sentimeetrit on 60% detsimeetrist või

Huvi vähenemine ja tõus

Väärtuse suurendamisel või vähendamisel, väljendatuna protsentides, kasutatakse eessõna "sees".

Näited:

50% suurendamine tähendab väärtuse suurendamist 1,5 korda;
Suurenda 100% - tähendab väärtuse suurendamist 2 korda;
Suurendada 200% tähendab suurendada 3 korda;
Vähenda 50% - tähendab väärtuse vähendamist 2 korda;
80% vähendamine tähendab 5 korda vähendamist.

Näide 1... Kümme sentimeetrit on suurendatud 50%. Mitu sentimeetrit sa said?

Selliste probleemide lahendamiseks peate võtma algväärtuseks 100%. Algväärtus on 10 cm. 50% neist on 5 cm

Algset 10 cm suurendati 50% (5 cm võrra), mis tähendab, et see osutus 10 + 5 cm, see tähendab 15 cm

Kümne sentimeetri 50% suurendamise analoog on kordaja 1,5. Kui korrutate sellega 10 cm, saate 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Seetõttu ütlevad väljendid "suurendada 50%" ja "suurendada 1,5 korda" sama.

Näide 2... Viis sentimeetrit on suurendatud 100%. Mitu sentimeetrit sa said?

Võtame 100% algsed viis sentimeetrit. Sada protsenti neist viiest sentimeetrist on ise 5 cm. Kui suurendate 5 cm sama 5 cm võrra, saate 10 cm

Viie sentimeetri 100% suurenemise analoog on koefitsient 2. Kui korrutate sellega 5 cm, saate 10 cm

5 × 2 = 10 cm

Seetõttu tähendavad väljendid “suurendada 100%” ja “suurendada 2 korda” sama asja.

Näide 3... Viis sentimeetrit on kasvanud 200%. Mitu sentimeetrit sa said?

Võtame 100% algsed viis sentimeetrit. Kakssada protsenti on kaks korda sada protsenti. See tähendab, et 200% 5 cm-st on 10 cm (5 cm iga 100% kohta). Kui suurendate 5 cm nende 10 cm võrra, saate 15 cm

Viie sentimeetri 200% suurenemise analoog on koefitsient 3. Kui korrutate sellega 5 cm, saate 15 cm

5 × 3 = 15 cm

Seetõttu tähendavad väljendid “suurendada 200%” ja “suurendada 3 korda” sama asja.

Näide 4... Kümme sentimeetrit on vähendatud 50%. Mitu sentimeetrit on jäänud?

Võtame 100% originaali 10 cm. 50 protsenti 10 cm-st on 5 cm. Kui vähendate 10 cm nende 5 cm võrra, on 5 cm

Kümne sentimeetri 50% vähendamise analoog on jagaja 2. Kui jagate sellega 10 cm, saate 5 cm

10: 2 = 5 cm

Seetõttu ütlevad väljendid "vähenda 50%" ja "vähenda 2 korda" sama asja.

Näide 5... Kümme sentimeetrit on vähendatud 80%. Mitu sentimeetrit on jäänud?

Võtame 100% originaali 10 cm. 80 protsenti 10 cm on 8 cm. Kui vähendate 10 cm selle 8 cm võrra, on teil 2 cm

Kümne sentimeetri 80% vähendamise analoog on jagaja 5. Kui jagate sellega 10 cm, saate 2 cm

10: 5 = 2 cm

Seetõttu ütlevad väljendid "vähendada 80%" ja "vähendada 5 korda" sama.

Protsentide vähendamise ja suurendamise ülesandeid lahendades saate väärtuse korrutada / jagada ülesandes määratud teguriga.

Probleem 1... Kui palju on väärtus protsentides muutunud, kui see on kasvanud 1,5 korda?

Ülesandes viidatud väärtuseks võib määrata 100%. Seejärel korrutage see 100% koefitsiendiga 1,5

100% × 1,5 = 150%

Nüüd lahutage saadud 150% -st esialgne 100% ja saate probleemile vastuse:

150% − 100% = 50%

2. ülesanne... Kui palju on väärtus protsentides muutunud, kui see on vähenenud 4 korda?

Seekord väärtus väheneb, seega teostame jagamise. Ülesandes viidatud väärtus on tähistatud kui 100%. Järgmisena jagage see 100% jagaja 4-ga

Lahutame saadud 25% esialgsest 100% ja saame vastuse probleemile:

100% − 25% = 75%

See tähendab, et väärtuse vähenemisega 4 korda vähenes see 75%.

Probleem 3... Kui palju on väärtus protsentides muutunud, kui see on vähenenud 5 korda?

Ülesandes viidatud väärtus on tähistatud kui 100%. Järgmisena jagage see 100% jagajaga 5

Lahutage saadud 20% esialgsest 100% -st ja saate probleemile vastuse:

100% − 20% = 80%

See tähendab, et väärtuse 5-kordse vähenemisega vähenes see 80%.

Probleem 4... Kui palju on väärtus protsentides muutunud, kui see on vähenenud 10 korda?

Ülesandes viidatud väärtus on tähistatud kui 100%. Järgmisena jagage see 100% jagajaga 10-ga

Lahutame saadud 10% esialgsest 100% ja saame vastuse ülesandele:

100% − 10% = 90%

See tähendab, et väärtuse vähenemisega 10 korda vähenes see 90%.

Protsendi leidmise probleem

Millegi väljendamiseks protsentides peate esmalt kirjutama murdosa, mis näitab, kui palju on esimene arv teisest, seejärel jagage selle murdosaga ja väljendage tulemus protsentides.

Oletame näiteks, et seal on viis õuna. Sel juhul on kaks õuna punased, kolm rohelised. Avaldame punased ja rohelised õunad protsentides.

Kõigepealt peate välja selgitama, milline osa on punased õunad. Kokku on viis õuna ja kaks punast. See tähendab, et kaks viiest või kaks viiendikku on punased õunad:

Seal on kolm rohelist õuna. See tähendab, et kolm viiest või kolm viiendikku on rohelised õunad:

Meil on kaks murdosa ja. Jagame nendeks murdudeks

Saime kümnendmurrud 0,4 ja 0,6. Nüüd väljendame need kümnendmurrud protsentides:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

See tähendab, et 40% on punased õunad, 60% on rohelised.

Ja kõik viis õuna on 40% + 60%, see tähendab 100%

2. ülesanne... Ema andis kahele pojale 200 rubla. Ema andis nooremale vennale 80 rubla ja vanemale 120 rubla. Väljendage igale vennale antud raha protsentides.

Lahendus

Noorem vend sai 200 rublast 80 rubla. Kirjutame üles murdosa kaheksakümmend kaks sajandikku:

Vanem vend sai 200 rublast 120 rubla. Kirjutame üles murdosa sada kakskümmend kaks sajandikku:

Meil on murrud ja. Jagame nendeks murdudeks

Väljendame saadud tulemused protsentides:

0,4 × 100 = 40%

0,6 × 100 = 60%

See tähendab, et 40% rahast sai noorem vend ja 60% - vanem.

Mõningaid murde, mis näitavad, kui palju esimene arv on teisest, võib lühendada.

Seega võiks murde vähendada. Sellest ei muutuks vastus probleemile:

Probleem 3... Pere eelarve on 75 tuhat rubla kuus. Neist 52,5 tuhat rubla. - isa teenitud raha. 22,5 tuhat rubla - ema teenitud raha. Väljendage ema ja isa teenitud raha protsendina.

Lahendus

See ülesanne, nagu ka eelmine, on protsendi leidmise ülesanne.

Väljendame isa teenitud raha protsentides. Ta teenis 75 tuhandest rublast 52,5 tuhat rubla

Jagame selle murdosaga:

0,7 × 100 = 70%

See tähendab, et isa teenis 70% rahast. Lisaks on lihtne arvata, et ema teenis ülejäänud 30% rahast. Lõppude lõpuks on 75 tuhat rubla kõik 100% rahast. Et olla kindel, teeme kontrolli. Ema teenis 22,5 tuhat rubla. alates 75 tuhandest rublast. Kirjutame murdosa üles, teostame jagamise ja väljendame tulemuse protsentides:

Probleem 4... Õpilane harjutab kangil jõutõmbeid. Eelmisel kuul suutis ta teha 8 jõutõmmet seeria kohta. Sel kuul suudab ta teha 10 jõutõmmet komplekti kohta. Mitme protsendi võrra suurendas ta jõutõmmete arvu?

Lahendus

Uurige, mitu jõutõmmet õpilane teeb käesoleval kuul rohkem kui varem

Uuri välja, mis osa kaks jõutõmmet on kaheksast jõutõmbest. Selleks leiame suhte 2 kuni 8

Jagame selle murdosaga

Väljendame tulemust protsentides:

0,25 × 100 = 25%

See tähendab, et õpilane on tõstnud jõutõmmete arvu 25%.

Selle probleemi saab lahendada teise, kiirema meetodi abil – uuri, mitu korda on 10 jõutõmmet rohkem kui 8 jõutõmmet ja väljenda tulemus protsentides.

Et teada saada, mitu korda on kümme jõutõmmet rohkem kui kaheksa jõutõmmet, tuleb leida suhe 10:8

Jagage saadud murd

Väljendame tulemust protsentides:

1,25 × 100 = 125%

Selle kuu tõmbamismäär on 125%. Seda väidet tuleb mõista täpselt nii "On 125%", mitte kuidas "Näitaja tõusis 125%"... Need on kaks erinevat väidet, mis väljendavad erinevaid suurusi.

Väidet "on 125%" tuleks mõista kui "kaheksat jõutõmmet, mis on 100% pluss kaks jõutõmmet, mis on 25% kaheksast jõutõmbest". Graafiliselt näeb see välja selline:

Ja ütlust "kasvas 125%" tuleks mõista nii, et "praegusele kaheksale jõutõmbele, mis olid 100%, lisandus veel 100% (8 jõutõmmet veel) pluss veel 25% (2 jõutõmmet). " Kokku saadakse 18 jõutõmmet.

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 jõutõmmet

Graafiliselt näeb see väide välja järgmine:

Kokkuvõttes selgub, et 225%. Kui kaheksast jõutõmbest leiame 225%, saame 18 jõutõmmet.

8 × 2,25 = 18

Probleem 5... Eelmisel kuul oli palk 19,2 tuhat rubla. Käesoleval kuul oli see 20,16 tuhat rubla. Kui palju palk tõusis?

Seda probleemi, nagu ka eelmist, saab lahendada kahel viisil. Esimene on kõigepealt välja selgitada, mitu rubla on palk tõusnud. Järgmiseks uurige, milline osa sellest tõusust on viimase kuu palgast

Uurime, mitu rubla on palk tõusnud:

20,16 - 19,2 = 0,96 tuhat rubla.

Uurime välja, milline osa 0,96 tuhandest rublast. ulatub 19.2. Selleks leiame suhte 0,96 kuni 19,2

Teostame saadud murdos jagamise. Teel pidage meeles:

Väljendame tulemust protsentides:

0,05 × 100 = 5%

See tähendab, et palk on tõusnud 5%.

Lahendame probleemi teisel viisil. Uurige, mitu korda 20,16 tuhat rubla. rohkem kui 19,2 tuhat rubla. Selleks leiame suhte 20,16 kuni 19,2

Jagame saadud murdosaga:

Väljendame tulemust protsentides:

1,05 × 100 = 105%

Töötasu on 105%. See tähendab, et see sisaldab 100%, mis moodustas 19,2 tuhat rubla, pluss 5%, mis on 0,96 tuhat rubla.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Probleem 6... Sülearvuti hind on sel kuul tõusnud 5%. Mis on selle hind, kui eelmisel kuul maksis see 18,3 tuhat rubla?

Lahendus

5% leidmine 18,3-st:

18,3 × 0,05 = 0,915

Lisage see 5% 18,3-le:

18,3 + 0,915 = 19,215 tuhat rubla.

Vastus: sülearvuti hind on 19 215 tuhat rubla.

Probleem 7... Sülearvuti hind on sel kuul langenud 10%. Mis on selle hind, kui eelmisel kuul maksis see 16,3 tuhat rubla?

Lahendus

Leidke 10% 16.3-st:

16,3 x 0,10 = 1,63

Lahutage see 10% 16,3-st:

16,3 - 1,63 = 14,67 (tuhat rubla)

Sarnased ülesanded võib lühidalt kirjutada:

16,3 – (16,3 × 0,10) = 14,67 (tuhat rubla)

Vastus: sülearvuti hind on 14,67 tuhat rubla.

Probleem 8... Eelmisel kuul oli sülearvuti hind 21 tuhat rubla. Sel kuul on hind tõusnud 22,05 tuhande rublani. Kui palju on hind tõusnud?

Lahendus

Määrake, kui palju rubla hind on tõusnud

22.05 - 21 = 1,05 (tuhat rubla)

Uurime välja, milline osa 1,05 tuhandest rublast. on alates 21 tuhandest rublast.

Avaldame tulemuse protsentides

0,05 × 100 = 5%

Vastus: sülearvuti hind tõusis 5%

Probleem 8... Töömees pidi plaani järgi valmistama 600 detaili ja tema tegi 900 detaili. Mitme protsendi võrra ta plaani täitis?

Lahendus

Saame teada, mitu korda on 900 osa rohkem kui 600 osa. Selleks leiame suhte 900 kuni 600

Selle murdosa väärtus on 1,5. Väljendame seda väärtust protsentides:

1,5 × 100 = 150%

See tähendab, et töötaja täitis plaani 150%. See tähendab, et ta lõpetas selle 100%, olles tootnud 600 osa. Seejärel tegi ta veel 300 osa, mis on 50% esialgsest plaanist.

Vastus: töötaja täitis plaani 150%.

Protsendi võrdlus

Oleme väärtusi mitu korda erineval viisil võrrelnud. Meie esimene tööriist oli erinevus. Nii et näiteks 5 rubla ja 3 rubla võrdlemiseks panime kirja vahe 5–3. Saanud vastuse 2, võiks öelda, et "viis rubla on rohkem kui kolm rubla kahe rubla eest."

Argielus lahutamise tulemusena saadud vastust ei nimetata mitte "erinevuseks", vaid "erinevuseks".

Niisiis, viie ja kolme rubla vahe on kaks rubla.

Järgmine tööriist, mida väärtuste võrdlemiseks kasutasime, oli suhe. Suhe võimaldas meil teada saada, mitu korda on esimene arv suurem kui teine (või mitu korda esimene arv sisaldab teist).

Nii et näiteks kümme õuna on viis korda rohkem kui kaks õuna. Või teisiti öeldes, kümme õuna sisaldab viis korda kahte õuna. Selle võrdluse saab kirjutada seose abil

Kuid väärtusi saab võrrelda protsentides. Näiteks võrrelda kahe kauba hinda mitte rublades, vaid hinnata, kui palju on ühe kauba hind rohkem või vähem kui teise hind protsentides.

Väärtuste võrdlemiseks protsentides tuleb üks neist määrata 100% ja teine põhineda probleemi tingimustes.

Näiteks uurime, mitme protsendi võrra on kümme õuna rohkem kui kaheksa õuna.

100% jaoks peate määrama väärtuse, millega me midagi võrdleme. Me võrdleme 10 õuna 8 õunaga. Niisiis, 100% jaoks määrame 8 õuna:

Nüüd on meie ülesanne võrrelda, mitme protsendi võrra on 10 õuna rohkem kui need 8 õuna. 10 õuna on 8 + 2 õuna. See tähendab, et lisades kaheksale õunale veel kaks õuna, suurendame 100% teatud arvu protsenti. Et teada saada, milline neist, teeme kindlaks, mitu protsenti kaheksast õunast on kaks õuna

Lisades selle 25% kaheksale õunale, saame 10 õuna. Ja 10 õuna on 8 + 2, see tähendab 100% ja veel 25%. Kokku saame 125%

See tähendab, et kümme õuna on 25% võrra rohkem kui kaheksa õuna.

Nüüd lahendame pöördülesande. Uurime, mitu protsenti kaheksa õuna on vähem kui kümme õuna. Vastus annab kohe mõista, et kaheksa õuna on 25% vähem. Siiski ei ole.

Me võrdleme kaheksat õuna kümne õunaga. Leppisime kokku, et võtame 100% seda, millega võrdleme. Seetõttu võtame seekord 100% 10 õuna:

Kaheksa õuna on 10-2, st kui 10 õuna vähendatakse 2 õuna võrra, siis vähendame neid teatud arvu protsendi võrra. Et teada saada, milline neist, teeme kindlaks, mitu protsenti kümnest õunast on kaks õuna

Lahutades selle 20% kümnest õunast, saame 8 õuna. Ja 8 õuna on 10–2, see tähendab 100% ja miinus 20%. Kokku saame 80%

See tähendab, et kaheksa õuna on 20% vähem kui kümme õuna.

2. ülesanne... Mitme protsendi võrra on 5000 rubla rohkem kui 4000 rubla?

Lahendus

Võtame 4000 rubla 100% eest. 5 tuhat rohkem kui 4 tuhat 1 tuhande kohta. See tähendab, et nelja tuhande võrra tuhande võrra suurendades suurendame nelja tuhande võrra teatud protsendi võrra. Uurime välja, milline. Selleks määrame kindlaks, milline tuhande osa on neljast tuhandest:

Väljendame tulemust protsentides:

0,25 × 100 = 25%

1000 rubla alates 4000 rubla on 25%. Kui lisate selle 25% 4000-le, saate 5000 rubla. See tähendab, et 5000 rubla on 25% rohkem kui 4000 rubla

Probleem 3... Mitu protsenti on 4000 rubla vähem kui 5000 rubla?

Seekord võrdleme 4000 5000-ga. Võtame 5000 kui 100%. Viis tuhat on tuhande rubla eest rohkem kui neli tuhat. Uurige, mis osa tuhandest on viiest tuhandest

Tuhat viiest tuhandest on 20%. Kui lahutate 5000 rublast selle 20%, saame 4000 rubla.

See tähendab, et 4000 rubla on 20% vähem kui 5000 rubla

Kontsentratsiooniprobleemid, sulamid ja segud

Ütleme nii, et tekib tahtmine mingit mahla teha. Meie käsutuses on vesi ja vaarikasiirup

Valage klaasi 200 ml vett:

Lisage 50 ml vaarikasiirupit ja segage saadud vedelik. Selle tulemusena saame 250 ml vaarikamahla. (200 ml vett + 50 ml siirupit = 250 ml mahla)

Kui suur osa saadud mahlast on vaarikasiirup?

Vaarikasiirup moodustab mahla. Arvutame selle suhte, saame arvu 0,20. See arv näitab saadud mahlas lahustunud siirupi kogust. Helistame sellele numbrile siirupi kontsentratsioon.

Soluudi kontsentratsioon on lahustunud aine koguse või selle massi suhe lahuse ruumalasse.

Kontsentratsiooni väljendatakse tavaliselt protsentides. Avaldame siirupi kontsentratsiooni protsentides:

0,20 x 100 = 20%

Seega on siirupi kontsentratsioon vaarikamahlas 20%.

Lahuses olevad ained võivad olla heterogeensed. Näiteks segage 3 liitrit vett ja 200 g soola.

1 liitri vee mass on 1 kg. Siis on 3 liitri vee mass 3 kg. Tõlgime 3 kg grammidesse, saame 3 kg = 3000 g.

Nüüd pane 200 g soola 3000 g vette ja sega saadud vedelik läbi. Tulemuseks on soolalahus, mille kogumass on 3000 + 200 ehk 3200 g. Leiame soola kontsentratsiooni saadud lahuses. Selleks leiame lahustunud soola massi ja lahuse massi suhte

See tähendab, et kui segate 3 liitrit vett ja 200 g soola, saate 6,25% soolalahuse.

Samamoodi saab määrata aine koguse sulamis või segus. Näiteks sisaldab sulam tina massiga 210 g ja hõbedat massiga 90 g. Siis on sulami mass 210 + 90 ehk 300 g. Sulam sisaldab tina ja hõbedat. Tina osakaal on 70% ja hõbeda 30%

Kahe lahuse segamisel saadakse uus lahus, mis koosneb esimesest ja teisest lahusest. Uues lahuses võib aine kontsentratsioon olla erinev. Kasulik oskus on oskus lahendada kontsentratsiooni-, sulami- ja seguprobleeme. Üldiselt on selliste ülesannete eesmärk jälgida muutusi, mis tekivad erineva kontsentratsiooniga lahuste segamisel.

Sega kaks vaarikamahla. Esimene 250 ml mahl sisaldab 12,8% vaarikasiirupit. Ja teine mahl mahuga 300 ml sisaldab 15% vaarikasiirupit. Valage need kaks mahla suurde klaasi ja segage. Selle tulemusena saame uue 550 ml mahla.

Nüüd määrame siirupi kontsentratsiooni saadud mahlas. Esimene nõrutatud mahl mahuga 250 ml sisaldas 12,8% siirupit. Ja 12,8% 250 ml-st on 32 ml. See tähendab, et esimene mahl sisaldas 32 ml siirupit.

Teine nõrutatud mahl mahuga 300 ml sisaldas 15% siirupit. Ja 15% 300 ml-st on 45 ml. See tähendab, et teises mahlas oli 45 ml siirupit.

Lisame siirupite kogused:

32 ml + 45 ml = 77 ml

See 77 ml siirupit sisaldub uues mahlas, mille maht on 550 ml. Määrame siirupi kontsentratsiooni selles mahlas. Selleks leiame 77 ml lahustunud siirupi ja 550 ml mahla mahu suhte:

See tähendab, et kui segate 12,8% vaarikamahla mahuga 250 ml ja 15% vaarikamahla mahuga 300 ml, saate 14% vaarikamahla mahuga 550 ml.

Probleem 1... Meresoola vees on 3 lahust: esimene lahus sisaldab 10% soola, teine 15% soola ja kolmas 20% soola. Segati 130 ml esimest lahust, 200 ml teist lahust ja 170 ml kolmandat lahust. Määrake saadud lahuses meresoola protsent.

Lahendus

Määrake saadud lahuse maht:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Kuna esimene lahus sisaldas 130 × 0,10 = 13 ml meresoola, teine lahus 200 × 0,15 = 30 ml meresoola ja kolmas - 170 × 0,20 = 34 ml meresoola, sisaldab saadud lahus 13 + 30 + 34 = 77 ml meresoola.

Määrame saadud lahuses meresoola kontsentratsiooni. Selleks leiame 77 ml meresoola ja 500 ml lahuse mahu suhte

See tähendab, et saadud lahus sisaldab 15,4% meresoola.

2. ülesanne... Mitu grammi vett tuleb lisada 50 g 8% soola sisaldavale lahusele, et saada 5% lahus?

Lahendus

Pange tähele, et kui lisate olemasolevale lahusele vett, siis soola kogus selles ei muutu. Muutub ainult selle protsent, kuna vee lisamine lahusele muudab selle massi.

Vett tuleb lisada nii palju, et kaheksa protsenti soolast saaks viis protsenti.

Määrake, mitu grammi soola sisaldab 50 g lahus. Selle jaoks leiame 8% 50-st

50g × 0,08 = 4g

8% 50 g-st on 4 g Ehk siis kaheksa osa kohta sajast on 4 grammi soola. Teeme nii, et need 4 grammi poleks kaheksaks, vaid viieks osaks ehk 5%

4 grammi - 5%

Nüüd, teades, et 5% lahuse kohta on 4 grammi, saame leida kogu lahuse massi. Selleks vajate:

4g: 5 = 0,8g
0,8 g × 100 = 80 g

80 grammi lahust on mass, mille juures 4 grammi soola moodustab 5% lahuse. Ja nende 80 grammi saamiseks peate esialgsele 50 grammile lisama 30 grammi vett.

See tähendab, et 5% soolalahuse saamiseks peate olemasolevale lahusele lisama 30 g vett.

2. ülesanne... Viinamarjad sisaldavad 91% niiskust ja rosinad 7%. Mitu kilogrammi viinamarju kulub 21 kilogrammi rosina tootmiseks?

Lahendus

Viinamarjad koosnevad niiskusest ja puhtast ainest. Kui värsked viinamarjad sisaldavad 91% niiskust, siis ülejäänud 9% moodustavad nende viinamarjade puhta aine:

Rosinad sisaldavad 93% puhast ainet ja 7% niiskust:

Pange tähele, et viinamarjade rosinateks muutmisel kaob ainult selle viinamarja niiskus. Puhas aine jääb muutumatuks. Pärast seda, kui viinamarjad muutuvad rosinateks, on saadud rosinates 7% niiskust ja 93% puhast ainet.

Teeme kindlaks, kui palju puhast ainet sisaldab 21 kg rosinaid. Selle jaoks leiame 93% 21 kg-st

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Nüüd läheme tagasi esimese pildi juurde. Meie ülesandeks oli määrata, kui palju viinamarju on vaja võtta, et saada 21 kg rosinaid. 19,53 kg kaaluv puhas aine moodustab 9% viinamarjadest:

Nüüd, teades, et 9% puhtast ainest on 19,53 kg, saame kindlaks teha, kui palju viinamarju on vaja 21 kg rosinate saamiseks. Selleks peate leidma arvu selle protsendi järgi:

19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg

See tähendab, et 21 kg rosinate saamiseks peate võtma 217 kg viinamarju.

Probleem 3... Tina ja vase sulamis on vaske 85%. Kui palju sulamit tuleks võtta, et sisaldada 4,5 kg tina?

Lahendus

Kui sulam sisaldab 85% vaske, siis ülejäänud 15% on tina:

Küsimus on selles, kui palju tuleks sulamit võtta, et see sisaldaks 4,5 tina. Kuna sulam sisaldab 15% tina, siis 4,5 kg tina moodustab need 15%.

Ja teades, et 4,5 kg sulamit on 15%, saame määrata kogu sulami massi. Selleks peate leidma arvu selle protsendi järgi:

4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg

See tähendab, et peate võtma 30 kg sulamit, et see sisaldaks 4,5 kg tina.

Probleem 4... Teatud kogus 12% vesinikkloriidhappe lahust segati sama koguse sama happe 20% lahusega. Leidke saadud vesinikkloriidhappe kontsentratsioon.

Lahendus

Kujutame esimest lahendust joonisel sirgjoonena ja valime sellele 12%.

Kuna lahuste arv on sama, saate selle kõrvale joonistada sama joonise, illustreerides teist lahust vesinikkloriidhappe sisaldusega 20%.

Saime kakssada osa lahust (100% + 100%), millest kolmkümmend kaks osa on vesinikkloriidhape (12% + 20%)

Määrake, milline osa 32 osast on 200 osast

See tähendab, et 12% vesinikkloriidhappe lahuse segamisel sama koguse sama happe 20% lahusega saadakse 16% vesinikkloriidhappe lahus.

Kontrollimiseks kujutame ette, et esimese lahuse mass oli 2 kg. Teise lahuse mass on samuti 2 kg. Seejärel nende lahuste segamisel saadakse 4 kg lahust. Esimeses vesinikkloriidhappe lahuses oli 2 × 0,12 = 0,24 kg ja teises - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Siis on uues vesinikkloriidhappe lahuses 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Vesinikkloriidhappe kontsentratsioon on 16%.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

kohta, leiame 60% arvust

Nüüd tõstame arvu leitud 60% võrra, s.o. numbri järgi

Vastus: uus väärtus on

Ülesanne 12. Vasta järgmistele küsimustele:

1) Kulutas 80% summast. Kui palju protsenti sellest summast alles on?
2) Mehed moodustavad 75% kõigist vabrikutöölistest. Kui suur protsent tehase töötajatest on naised?
3) Tüdrukud moodustavad 40% klassist. Mitu protsenti klassist on poisse?

A Lahendus

Kasutame muutujat. Lase P see on algne number, millele probleemis viidatakse. Võtame selle algnumbri P 100% eest

Vähendage seda algset arvu P 50% võrra

Uus number on nüüd 50% algsest numbrist. Uurige, mitu korda on algne arv P rohkem kui uus number. Selleks leiame suhte 100% ja 50%

Algne number on kaks korda suurem kui uus. Seda on isegi pildilt näha. Ja selleks, et uus arv oleks võrdne originaaliga, peate selle kahekordistama. Ja arvu kahekordistamine tähendab selle suurendamist 100%.

See tähendab, et uut numbrit, mis on pool esialgsest numbrist, tuleb 100% suurendada.

Arvestades uut numbrit, on seegi võetud 100%. Seega on näidatud joonisel uus number pool algsest numbrist ja on allkirjastatud 50%. Algse numbri suhtes on uus arv pool. Aga kui käsitleda seda originaalist eraldi, siis tuleb seda võtta 100%.

Seetõttu märgiti joonisel uueks numbriks, mis on kujutatud joonena, algselt 50%. Kuid siis määrasime selle numbri 100%.

Vastus: algse numbri saamiseks tuleb uut numbrit 100% võrra suurendada.

Probleem 16. Eelmisel kuul juhtus linnas 15 liiklusõnnetust.
Sel kuul on see näitaja langenud 6-ni. Mitme protsendi võrra on õnnetuste arv vähenenud?

Lahendus

Eelmisel kuul juhtus 15 õnnetust. Sel kuul 6. See tähendab, et õnnetuste arv vähenes 9 võrra.
Võtame 15 õnnetust 100%. Vähendades 15 õnnetust 9 võrra, vähendame neid teatud protsendi võrra. Et teada saada, milline neist, selgitame välja, milline osa 9 õnnetusest on pärit 15 õnnetusest

Vastus: saadud lahuse kontsentratsioon on 12%.

Ülesanne 18. Teatud kogus teatud aine 11% lahust segati sama koguse sama aine 19% lahusega. Leidke saadud lahuse kontsentratsioon.

Lahendus

Mõlema lahuse mass on sama. Iga lahendust võib võtta kui 100%. Pärast lahuste lisamist saate 200% lahuse. Esimene lahus sisaldas 11% ja teine 19% ainet. Siis on saadud 200% lahuses 11% + 19% = 30% ainet.

Määrake saadud lahuse kontsentratsioon. Selleks selgitame välja, milline osa ainest moodustab kolmkümmend osa kahesajast aineosast:

1,10. See tähendab, et esimese kuu hinnaks saab 1.10.

Teisel kuul tõusis hind samuti 10%. Lisage praegusele 1,10-le sellest hinnast kümme protsenti, saame 1,10 + 0,10 x 1,10. See summa võrdub avaldisega 1,21 . See tähendab, et teise kuu hinnaks saab 1,21.

Kolmanda kuuga tõusis hind samuti 10%. Kui praegusele hinnale 1,21 lisada kümme protsenti sellest hinnast, saame 1,21 + 0,10 x 1,21. See summa on 1,331 . Siis saab kolmanda kuu hinnaks 1.331.

Arvutame välja uue ja vana hinna vahe. Kui alghind oli 1, siis see tõusis 1,331 võrra - 1 = 0,331. Väljendage see tulemus protsentides, saame 0,331 × 100 = 33,1%

Vastus: 3 kuuga tõusid toiduained 33,1%.

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta märguandeid saama

, artiklisari isiklike rahanduse kohta.

Täna räägime huvist.

Investeerida ei saa, kui ei mõista, mis on intress ja kuidas kasumlikkust arvutatakse.

Lihtsa intressiga reeglina probleeme pole, kõik, kes vähemalt korra pangas hoiul raha hoidsid, saavad aru, et näiteks 50 000 rubla suuruse hoiuse intressimäär on 10% aastas. annab 5000 tulu aastas.

Liitintressi mõjust on keerulisem aru saada ja see on väga oluline just pikaajalise investeerimise puhul, s.o. kui investeeringuid tehakse eesmärgiga tagada finantsvabadus.

Tegelikult reinvesteeritakse liitintressiga intressitulu, mis suurendab hoiuse suurust. Siin on näide, oletame, et teil on 100 000 rubla. ja nende pealt saad 10% sissetulekust, st. 10 000 RUB aastal.

Esimesel aastal saite 10 000 rubla. ja teie panus on suurenenud nende 10 000 võrra, moodustades 110 000 rubla.

Teisel aastal on teie sissetulek juba 10% 110 000 rubla, s.o. 11 000 rubla, mille lisate ka deposiidile, mis muutub 110 000 + 11 000 = 121 000 rubla.

Kolmas aasta: teie 121 tuhat rubla toob jälle 10%, mis rublades on 12 100 rubla, ja teie panus kolmanda aasta lõpus on 121 000 + 12 100 = 133 100 rubla.

Jne.

Formaaliseeritud kujul kirjutatakse liitintress järgmiselt:

FV = PV (1 + r) ^ n

kus FV- hoiuse tulevane väärtus;PV- tagatisraha esialgne maksumus;r- tootlus (kasumlikkus);n- perioodide arv.

Noh, kontrollige meie näite valemit FV = 10000 (1 + 0,1) ^ 3 = 133 100 rubla. Nagu näha, läks kõik kokku 🙂

Kui investeerite pikka aega, tõuseb liitintressi väärtus hüppeliselt.

Kujutage ette seda näidet, kui piima hind tõuseb 10% aastas, siis kui palju see 20 aasta pärast maksab? Kui täna maksab piim 30 rubla liiter, siis eeldades, et piima hind tõuseb 10% aastas, maksab 20 aasta pärast piim FV = 30 (1 + 0,1) ^ 20 = 201 rubla 82 kopikat!

See näide, muide, näitab väga hästi vajadust investeerida, säilitada oma kapitali, kuna neid amortiseeritakse samamoodi liitintressi valemi järgi.

Seda valemit nimetatakse ka "Rothschildi valemiks", "devil's valemiks" ning inglise keeles ja finantsringkondades nimetatakse seda "compounding".

Kõik maa peal muutub liitintressi valemi järgi: inflatsioon, nafta või nisu tarbimise kasv, maailma rahvaarv muutub jne.

Kui investeerite, töötab huvi teie jaoks, siin on näide.Olen pensionide kohta varem viidanud:

Millise summa suudab keskmine venelane koguda, kui ta investeerib igaüks 3000 rubla? kuus 30 aastat? Oletame, et tema investeeringute kasv on 5% aastas ja investeeringutasuvus on 17% aastas.

30 aastaga koguneb 32 022 812 rubla. Nii toimib liitintress teie jaoks, toimides teie investeeringu suurendamise hoovana.

Aga see töötab ka vastu, kui võtad näiteks laenu.

Põhimõtteliselt on olemas programmid, mis võimaldavad arvutada liitintressi ja sellega seotud annuiteedi valemeid (annuiteet on maksete jada, mis on ühesugused (või muutuvad vastavalt mustrile) ja on üksteisest sama perioodi jooksul eraldatud, näide 3000 rubla kogunemisega kuus suurem ja igakuise võrdse laenu tagasimaksega aja jooksul).

Võite ise proovida, mina kasutansiin on selline programm iPadile , see on tasuta, seal on valikud ka Androidi jaoks.

Joonisel on näide laenumaksete summa arvutamisest selle programmi abil.

Samuti on võimalik proovida muid finantsarvutusi, näiteks arvutada liitintresse ja annuiteete.

Proovige, peamine on põhimõttest endast aru saada.

Huvi matemaatika vastu. Huviprobleemid.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga ..."
Ja neile, kes on "väga ühtlased ...")

Huvi matemaatika vastu.

Mis on juhtunud huvi matemaatika vastu? Kuidas lahendada huvipakkuvaid ülesandeid? Need küsimused tekivad paraku ootamatult ... Kui koolilõpetaja loeb USE ülesannet. Ja nad ajavad ta segadusse. Aga asjata. Need on väga lihtsad mõisted.

Ainus, mida meeles pidada, on raud – mis on üks protsent ... See kontseptsioon on peavõti huviga probleemide lahendamisele ja üldiselt huviga töötamisele.

Üks protsent on üks sajandik arvust ... Ja ongi kõik. Pole enam tarkust.

Mõistlik küsimus – ja sajanda osa mis kuupäev ? Aga ülesandes viidatud number. Kui seal on kirjas hind, on üks protsent hinnast üks sajandik. Kui rääkida kiirusest, siis üks protsent on üks sajandik kiirusest. Jne. On selge, et kõnealune number ise on alati 100%. Ja kui numbrit ennast seal pole, pole ka protsentidel mõtet ...

Teine asi on see, et keeruliste ülesannete korral peidetakse number ise nii palju, et te seda ei leia. Kuid me ei sihi veel rasket. Me tegeleme protsenti matemaatikas.

Ma ei rõhuta sõnu asjata üks protsent, üks sajandik... Meenutades, mis on üks protsent, leiate hõlpsalt kaks protsenti ja kolmkümmend neli ja seitseteist ja sada kakskümmend kuus! Leiad nii palju kui vaja.

Ja see, muide, on probleemide huviga lahendamise peamine oskus.

Proovime?

Leiame 3% 400-st. Esiteks leiame üks protsent... Sellest saab üks sajandik, s.o. 400/100 = 4. Üks protsent on 4. Ja mitu protsenti me vajame? Kolm. Nii et me korrutame 4 kolmega. Saame 12. See on kõik. Kolm protsenti 400-st on 12.

5% 20-st jagatakse 20 100-ga (üks sajandik - 1%) ja korrutatakse viiega (5%):

5% 20-st on 1. See on kõik.

See ei saaks olla lihtsam. Teeme seda kiiresti, enne kui unustame, harjutame!

Uurige, kui palju see on:
5% 200 rublast.
8% alates 350 kilomeetrist.
120% alates 10 liitrist.
15% 60 kraadist.
4% on tublid õpilased 25 õpilasest.
10% vaeseid õpilasi 20 inimesest.

Vastused (täielikult segaduses): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Need numbrid on rublade, kraadide, üliõpilaste jne arv. Ma ei kirjutanud, kui palju asju, nii et oli huvitavam otsustada ...

Ja kui meil on vaja kirjutada X% mõnest numbrist, näiteks 50-st? Jah, kõik on sama. Kui palju on üks protsent 50-st? Täpselt nii, 50/100 = 0,5. Ja meil on need protsendid - X... Noh, korrutame 0,5-ga X! Me saame sellest aru X% alates 50 on see - 0,5x.

Loodetavasti on huvi matemaatika vastu saad aru. Ja saate hõlpsalt leida mis tahes arvu protsente. See on lihtne. Nüüd saate huvi pärast umbes 60% kõigist ülesannetest teha! Juba üle poole. Noh, kas me lõpetame ülejäänud? Olgu, mida iganes sa ütled!

Huviprobleemide korral tuleb sageli kokku vastupidine olukord. Meile on antud suurusjärgus (mis iganes), aga sa pead leidma huvi ... Õpetame ka seda lihtsat protsessi.

3 inimest 120-st – kui suur on protsent? Ei tea? No las siis olla X protsenti.

Arvutame X% alates 120 inimesest. Inimestel. Me suudame seda teha. Jagage 120 100-ga (arvutage 1%) ja korrutage X(arvutama X%). Saame 1.2 X.

Saagem tulemusest aru.

X protsenti 120 inimeselt on see 1,2 X Inimene ... Ja selliseid inimesi on meil kolm. Jääb üle samastada:

Mäletame, et X jaoks võtsime protsendi arvu. Nii et 3 inimest 120 inimesest on 2,5%.

See on kõik.

Seda saab teha muul viisil. Saa hakkama lihtsa leidlikkusega, ilma igasuguste võrranditeta. Me kaalume kui mitu korda 3 inimest alla 120? Jagage 120 3-ga ja saate 40. Seega on 3 40 korda väiksem kui 120.

Vajalik inimeste arv protsentides saab olema sama palju vähem kui 100%. 120 inimest on ju 100%. Jagage 100 40-ga, 100/40 = 2,5

See on kõik. Sai 2,5%.

On ka proportsioonide viis, kuid see on sisuliselt sama ka vähendatud versioonis. Kõik need meetodid on õiged. Kuna see on teile mugavam, on see tuttavam, see on arusaadavam - arvestage sellega.

Teeme jälle trenni.

Arvutage, mitu protsenti on:
3 inimest 12-st.
10 rubla alates 800.
4 õpikut 160 raamatust.
24 õiget vastust 32 küsimusele.
2 arvatud vastust 32 küsimusele.
9 tabamust 10 viskest.

Vastused (segades): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

Arvutuste käigus võite kohata murdosasid. Kaasa arvatud ebamugavad, näiteks 1,333333 ... Ja kes käskis teil kalkulaatorit kasutada? Üksi? Ära. Count ilma kalkulaatorita nagu on kirjutatud teemas "Murdud". Huvi on igasuguseid...

Seega oleme omandanud ülemineku väärtustelt protsentidele ja vastupidi. Saate ülesandeid enda peale võtta.

Huviprobleemid.

Eksamil on huviprobleemid väga populaarsed. Kõige lihtsamast kuni kõige keerulisemani. Selles jaotises töötame lihtsate ülesannetega. Lihtsate ülesannete puhul peate reeglina minema protsendilt nende väärtusteni, mida ülesandes käsitletakse. Rubladesse, kilogrammidesse, sekunditesse, meetritesse jne. Või vastupidi. Me juba teame, kuidas. Pärast seda saab probleem selgeks ja seda on lihtne lahendada. Ei usu mind? Vaata ise.
Olgu meil selline ülesanne.

“Bussisõit maksab 14 rubla. Koolivaheaegadel kehtestati õpilastele 25% soodustus. Kui palju maksab buss koolivaheajal?"

Kuidas otsustada? Kui me saame teada, kui palju 25% rublades- siis pole midagi otsustada. Lahutage alghinnast allahindlus – ja ongi kõik!

Aga me juba teame, kuidas seda ära tunda! Kui palju tahtmist üks protsent alates 14 rubla? Sajas osa. See tähendab, et 14/100 = 0,14 rubla. Ja selliseid protsente on meil 25. Nii et korrutame 0,14 rubla 25-ga. Saame 3,5 rubla. See on kõik. Oleme kehtestanud soodustuse summa rublades, jääb üle välja selgitada uus piletihind:

14 – 3,5 = 10,5.

Kümme ja pool rubla. See on vastus.

Niipea kui intressidelt rubladele üle läksid, muutus kõik lihtsaks ja selgeks. See on üldine lähenemine probleemide lahendamisele huviga.

Muidugi ei ole kõik ülesanded ühtviisi elementaarsed. On raskemaid. Lihtsalt mõtle! Me lahendame need nüüd. Raskus seisneb selles, et tõsi on vastupidi. Meile on antud mingid väärtused, aga me peame leidma protsendid. Näiteks selline ülesanne:

"Varem lahendas Vasya kaks ülesannet õigesti protsendiga kahekümnest. Pärast teema uurimist ühel kasulikul saidil hakkas Vasya 20-st ülesandest õigesti lahendama 16. Mitme protsendi võrra sai Vasya targemaks? Peame 20 lahendatud probleemi sajaprotsendilise intelligentsuse jaoks.

Kuna küsimus puudutab intressi (mitte rublasid, kilogramme, sekundeid jne), siis pöördume intresside poole. Uurige, mitu protsenti Vasya lahendas enne huvitav mitu protsenti pärast - ja see on kotis!

Me loeme. Kaks ülesannet 20-st – kui palju see protsenti on? 2 on vähem kui 20 korda 10 korda, eks? Seega ülesannete arv protsentides on 10 korda väiksem kui 100%. See tähendab, et 100/10 = 10.

10%. Jah, Vasya otsustas natuke ... Eksamil pole midagi teha. Aga nüüd on ta targemaks saanud ja lahendab 16 ülesannet 20-st. Mõtleme, kui palju see läheb? Mitu korda on 16 väiksem kui 20? Otsekohe ja te ei ütle ... Peame jagama.

5/4 korda. Noh, nüüd jagame 100 5/4-ga:

Siin. 80% on juba tahke. Ja peamine asi pole piir!

Aga see pole veel vastus! Lugesime probleemi uuesti läbi, et mitte ootamatult eksida. Jah, meilt küsitakse kui palju protsenti targem Vasja? Noh, see on lihtne. 80% - 10% = 70%. 70%.

70% on õige vastus.

Nagu näete, piisab lihtsate ülesannete puhul antud väärtuste tõlkimisest protsentidesse või antud protsendid väärtusteks, kui kõik selgub. On selge, et ülesandes võib olla täiendavaid kellasid ja vilesid. Millel pole sageli protsentidega midagi pistmist. Siin on peamine tingimus hoolikalt läbi lugeda ja samm-sammult, aeglaselt, pusle lahti teha. Sellest räägime järgmises teemas.

Aga huviprobleemides on üks tõsine varitsus! Paljud satuvad sellesse, jah ... See varitsus tundub üsna süütu. Näiteks siin on pusle.

“Ilus märkmik maksis suvel 40 rubla. Enne kooliaasta algust tõstis müüja hinda 25%. Märkmike ost läks aga nii kehvaks, et ta langetas hinda 10%. Nad ei võta seda nagunii! Ta pidi hinda alandama veel 15%. Siit kauplemine algas! Mis oli märkmiku lõplik hind?"

No kuidas? Elementaarne?

Kui vastasite kiiresti ja rõõmsalt “40 rubla!”, siis sattusite varitsusse ...

Nipp seisneb selles, et protsente arvutatakse alati alates midagi .

Nii et me arvestame. Kui palju rublad Kas müüja paisutas hinda? 25% alates 40 rubla - see on 10 rubla. See tähendab, et kallinenud sülearvuti hakkas maksma 50 rubla. See on arusaadav, eks?

Ja nüüd peame hinda 50 rublalt 10% langetama. Alates 50, mitte 40! 10% 50 rublast on 5 rubla. Järelikult hakkas märkmik pärast esimest hinnaalandust maksma 45 rubla.

Kaalume teist hinnaalandust. 15% 45 rublast ( alates 45, mitte 40 ega 50! ) on 6,75 rubla. Seetõttu on sülearvuti lõplik hind:

45 - 6,75 = 38,25 rubla.

Nagu näha, siis varitsus seisneb selles, et intressi arvestatakse iga kord uuest hinnast. Viimasest. See on peaaegu alati nii. Kui väärtuse järjestikuse suurendamise-vähenemise probleem ei ole lihttekstis esitatud, millest loe protsendid, pead need lugema viimasest väärtusest. Ja see on tõsi. Kuidas müüja teab, mitu korda see märkmik kallines, enne teda langes ja kui palju see alguses maksis ...

Muide, nüüd võiksite mõelda, miks viimane fraas nutika Vasya kohta mõistatusse kirjutati? See: " Me loeme sajaprotsendilise intelligentsuse jaoks 20 lahendatud probleemi ”? Tundub, ja nii on kõik selge ... Uh-uh ... Kuidas öelda. Kui seda fraasi pole, võib Vasya lugeda oma esialgsed õnnestumised 100%. See tähendab, et kaks lahendatud probleemi. Ja 16 ülesannet on kaheksa korda rohkem. Need. 800%! Vasya saab täiesti õigustatult rääkida omaenda tarkusest kuni 700%!

Ja 16 ülesannet saab ka 100% võtta. Ja saada uus vastus. Õige ka...

Siit järeldus: huviülesannete juures on kõige tähtsam selgelt määratleda, millest üks või teine protsent tuleb arvestada.

See, muide, on elus vajalik. Kus kasutatakse intressi. Poodides, pankades, igasugustel kampaaniatel. Ja siis ootate 70% allahindlust, kuid saate 7%. Ja mitte allahindlusi, vaid kõrgemaid hindu... Ja ausalt öeldes tegi ta valearvestuse.

Noh, teil on matemaatika protsentidest ettekujutus. Toome välja kõige olulisema.

Praktilised nõuanded:

1. Huviülesannetes – mine huvist konkreetsete väärtuste juurde. Või vajadusel konkreetsetelt väärtustelt protsentideni. Lugesime ülesande hoolikalt läbi!

2. Õpime väga hoolikalt, millest peate protsendid kokku lugema. Kui see pole lihttekstis öeldud, on see tingimata kaudne. Kui väärtust muudetakse järjestikku, eeldatakse, et protsendid pärinevad viimasest väärtusest. Lugesime probleemi hoolikalt läbi!

3. Olles ülesande lahendamise lõpetanud, lugesime selle uuesti läbi. Võimalik, et olete leidnud vahepealse, mitte lõpliku vastuse. Lugesime probleemi hoolikalt läbi!

Lahendage mitu huviprobleemi. Nii-öelda konsolideerimiseks. Nendes ülesannetes püüdsin kokku koguda kõik peamised raskused, mis määravad ees ootavad. Need rehad, millele kõige sagedamini astutakse. Siin nad on:

1. Elementaarne loogika lihtsate ülesannete analüüsimisel.

2. Väärtuse õige valik, millest soovite protsenti lugeda. Kui palju inimesi selle peale komistas! Kuid on väga lihtne reegel ...

3. Intressi protsent. See on tühiasi, kuid see on tõesti piinlik ...

4. Ja veel üks hark. Protsentide seostamine murdude ja osadega. Nende teineteisesse tõlkimine.

“Matemaatikaolümpiaadist võttis osa 50 inimest. 68% õpilastest lahendas vähe ülesandeid. 75% jäänutest lahendas selle mõõdukalt ja ülejäänud - palju probleeme. Kui paljud inimesed on palju probleeme lahendanud?

Vihje. Kui saate murdosa õpilasi, on see vale. Lugege probleem hoolikalt läbi, seal on üks oluline sõna ... Teine probleem:

“Vasya (jah, see!) Talle meeldivad väga moosiga sõõrikud. Mida küpsetatakse kodust ühe peatuse kaugusel asuvas pagariäris. Sõõrikud maksavad 15 rubla tükk. Kui 43 rubla oli saada, läks Vasja pagariärisse bussiga 13 rubla eest. Ja pagariäris toimus aktsioon "Allahindlus kõigele - 30% !!!". Küsimus: kui palju täiendavaid sõõrikuid ei saanud Vasya oma laiskuse tõttu osta (ta oleks võinud kõndida, eks?) "

Lühikesed ülesanded.

Mitu protsenti on 4 väiksem kui 5?

Mitu protsenti on 5 rohkem kui 4?

Pikk ülesanne...

Kolja sai tööd intressi arvestamisega seotud lihttööl. Intervjuu ajal pakkus kavala naeratusega boss Koljale tasumiseks kahte varianti. Esimese variandi kohaselt määrati Koljale kohe intressimäär 15 000 rubla kuus. Teise Kolja sõnul makstakse tema nõusolekul esimesed 2 kuud 50% võrra vähendatud palka. Nagu algaja. Siis aga tõstavad nad tema alandatud palka lausa 80%!

Kolya külastas Internetis üht kasulikku saiti ... Seetõttu valis ta pärast kuue sekundilist mõtlemist kerge naeratusega esimese võimaluse. Ülemus naeratas vastu ja määras Koljale alaliseks palgaks 17 000 rubla.

Küsimus: kui palju raha aastas (tuhandetes rublades) Kolja sellel intervjuul võitis? Võrreldes halvima juhtumiga? Ja veel üks asi: et nad naeratasid kogu aeg!?)

Jällegi lühike ülesanne.

Leia 20% 50%.

Jälle pikk.)

Ekspressrong nr 205 "Krasnojarsk - Anapa" tegi peatuse Syzran-gorodi jaamas. Vassili ja Kirill läksid jaama poodi Lenale jäätist ja endale hamburgerit ostma. Kui nad kõik vajaliku ostsid, ütles poe koristaja, et nende rong on juba käima läinud... Vassili ja Kirill jooksid kiiresti ja kiiresti ning jõudsid vagunisse hüpata. Küsimus: kas jooksu maailmameistril oleks sellistes tingimustes aega vankrisse hüpata?
Usume, et tavatingimustes jookseb maailmameister 30% kiiremini kui Vassili ja Kirill. Kuid soov autole järele jõuda (see oli viimane), Lenat jäätisega kostitada ja hamburgerit süüa tõstis nende kiirust 20%. Ja jäätis hamburgeriga meistri käes ja sussid jalas vähendaks tema kiirust 10% ...

Kuid probleem ilma huvita ... Huvitav, miks ta siin on?)

Määrake, kui palju kaalub 3/4 õunast, kui terve õun kaalub 200 grammi?

Ja viimane.

Kiirrongis nr 205 "Krasnojarsk - Anapa" lahendasid kaasreisijad skannimissõna. Lena arvas ära 2/5 kõigist sõnadest ja Vassili arvas ära kolmandiku ülejäänud sõnadest. Siis ühendas Kirill ja lahendas 30% kogu skannitud sõnast! Seryozha arvas ära viimased 5 sõna. Mitu sõna oli skannimissõnas? Kas on tõsi, et Lena arvas kõige rohkem sõnu?

Vastused on traditsioonilises segaduses ja ilma üksuste nimedeta. Kus on sõõrikud, kus on õpilased, kus on intressiga rublad - see oled sina ise ...

10; 50; Jah; 4; kakskümmend; Ei; 54; 2; 25; 150.

Kuidas siis on? Kui kõik sobib - palju õnne! Huvi ei ole teie probleem. Võite julgelt panka tööle minna.)

Midagi on valesti? Ei tööta? Kas te ei tea, kuidas arvude protsente kiiresti arvutada? Kas te ei tea väga lihtsaid ja arusaadavaid reegleid? Millest näiteks intresse lugeda? Või kuidas teisendada murde protsentideks?

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Kiire valideerimise testimine. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Raha on meie elus nii tugevalt juurdunud, et me kõik – olenemata vanusest, soost ja sissetulekute teenimise viisist – leiame end aeg-ajalt olukorrast, kus oleme sunnitud tegema rahalisi kalkulatsioone nõudvaid otsuseid. Ja siis sõltub meie võimest opereerida konkreetsete finantskategooriatega, kui tulus on meie valitud variant. Selles artiklis vaatleme finantsmatemaatika peamisi kategooriaid ja näitame teile, kuidas neid kasutada õigete otsuste tegemiseks väga erinevates olukordades.

Huvi. Liitintress. Intressi kapitaliseerimine (kaasnev)

Intress on mis tahes kujul raha laenamise eest tasumiseks saadud tulu. Protsente saab väljendada absoluut- ja suhtelistes väärtustes. Absoluutvorm on konkreetne summa konkreetse perioodi kohta. Suhteline - teatud perioodiga (aasta, kuu või päev) seotud intressimäära kujul. Kogunenud summa (S) arvutamiseks, mille all peame silmas põhisummat pluss kogunenud intress, peate kasutama järgmist valemit:

(1) S = P * (1 + i * n),
kus P on summa, millelt intressi koguneb, i on intressimäär, N on tekkeperioodide arv.

Näide
Andsite oma sõbrale 3 kuuks laenu summas 10 000 dollarit, mille tingimustel lubab ta teile maksta 2% kuus. On vaja välja arvutada summa, mille laenutähtaja lõpus saate. Saame 10 000 * (1 + 2% * 3) = 10 600 $.

Tihti võib ette tulla olukord, kus intresse ei maksta, vaid lisatakse investeeritud summale ning uuest perioodist hakatakse summalt arvestama, võttes arvesse varem lisandunud intressi. Sellist intressi nimetatakse kompleksseks ja intresside arvutamise protsessi nimetatakse intressi kapitaliseerimiseks. Liitintressi puhul arvutatakse kogunenud summa erinevalt:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
kus tähtede tähendus on sama, mis ülaltoodud valemis ja märk "^" tähendab astendamist.

Mis vahe on liitintressil ja lihtintressil? Kui lihtintressi kasv toimub lineaarselt (iga perioodi sama summa võrra), siis liitintress kasvab eksponentsiaalselt (igal järgneval perioodil on intressisumma suurem kui eelmisel). Sellest tulenevalt on pikaks perioodiks liitintressiga arvestatav summa kordades suurem lihtintressiga arvestatava summa kasvust. Allpool on toodud hoiuse (6% aastas) kasvu tulemused koos liht- ja liitintressiga. Kui alguses jääb erinevus väikeseks, siis hiljem saavutatakse kriitiline väärtus. Niisiis ulatub lihtintressiga hoius 80 aastaks 58 000 dollarini, keerukama hoius aga 1 057 960 dollarini.

Praktikas on sageli praktika, kus intressi arvutamise periood erineb täisarvust. Sellises olukorras on kogunenud summa lihtsa protsendiga arvutamise valem järgmine:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
kus d on intresside kogumise periood, väljendatuna päevades.

On ka olukordi, kus intressimäär on väljendatud aastas, kuid intressi koguneb igakuiselt. Sellistel juhtudel näeb kogunenud summa arvutamise valem (reeglina kasutatakse sel juhul liitintressi) järgmine:

(4) S = P * (1 + i / m) ^ (n * m),
kus m on intressiarvestusperioodide arv perioodi sees (tavaliselt kasutatakse kuude arvu kohta aastas 12).

Ja lõpuks, pangem tähele, et olenemata intressi tüübist saab kõik kogunenud summa arvutamise valemid taandada üldisele kujule:

(5) S = P * k,
kus k on tekkekoefitsient, mida arvutatakse mitmel viisil, olenevalt kasutatud intressi tüübist. See järeldus hõlbustab oluliselt meie arusaamist järgnevatest matemaatilistest operatsioonidest.

Allahindlus ja selle olemus

Intressi mõiste, millest me eespool rääkisime, peegeldab raha ajaväärtust. Teisisõnu, kuna see raha, mida täna omame, võib homme tuua meile tulu teatud protsendi ulatuses nende paigutamise tulemusena, on tulevased sularahalaekumised väiksema hetkeväärtusega. Sellel põhimõttel põhineb matemaatiline tehe, mida nimetatakse diskonteerimiseks. Diskonteerimine tähendab tulevaste maksete viimist nüüdisväärtusse ja on oma tähenduses intresside tekkele vastupidine tehing. See tähendab, et diskonteerimisel käsitletakse tulevasi makseid akumuleeritud summana (S) ja investori ülesanne on arvutada nende nüüdisväärtus (P) tema käsutuses oleva intressimäära alusel (i). Sõltuvalt huvi tüübist näeb allahindluse valem välja järgmine: või

(6) P = S / (1 + i * n)

(7) P = S / (1 + i)^ n

Diskonteerimise ülesanne on näidata meile, kui palju on täna väärt raha, mida me tulevikus saame, et mitte maksta tulevaste maksete eest meile kättesaadava investeerimisalternatiivi silmas pidades üle. Vaatame mõnda levinud toimingut, mis kasutavad allahindlust.

Tulevaste maksete voo omandamine (raamatupidamistehingud)
Ostmiseks pakutakse võlakirja nimiväärtusega 1000 dollarit intressimääraga 6% aastas, mille intressimakseid tehakse kord kvartalis ja lunastada - aasta lõpus. Ülesandeks on diskontomäära 15 alusel arvutada kohustuse nüüdisväärtus% aastas.

Lahendus
Arvutame kvartali intressitulu ja ehitameprogrammis Excel rahavoogude tabel. Leidke nüüdisväärtus sisseehitatud NPV valemi abil. Seega, diskontomääraga 15% aastas, on selle finantskohustuse nüüdisväärtus 916,22 dollarit

Märge

2) NPV valemis paneme intressimäära asemel aastaprotsendi jagatud 12-ga

Rahaline samaväärsus
Pooled lepivad kokku büroopinna tasumise tingimustes. Ruumide hind on 24 000 dollarit. Müüja nõustub osamaksetena tasumisega järgmistel tingimustel: 8000$ kohe, ülejäänud võrdsete osamaksetena 4 kuu jooksul. Küll on ta valmis kaaluma pikemat järelmaksu, kui müüja pakub talle müüdavate pindade eest suure summa.

Lahendus
Kajastagem järelmaksu esialgsed tingimused tabeli kujul Excelis. Simuleerime samas tabelis kasvavate kuumaksetega pakkumist, mille tulemusena tõuseb ruumide hind 24 400 dollarini. Arvutame välja iga valiku nüüdisväärtuse, et võrrelda nende samaväärsust intressimäära alusel, mis on 10% aastas. Arvestus näitab, et teine variant on isegi kõrgema ostuhinnaga ostjale tulusam kui esimene

Maksete konsolideerimine
Maksete konsolideerimine on toiming mitme maksekohustuse liitmiseks üheks makseks (S0) teatud ajahetkel (T0). Selle toimingu eripära seisneb selles, et kõik maksed, mis eeldatavasti laekuvad sellest kuupäevast varem, arvutatakse akretsiooni teel ja pärast seda oodatavad on arvutatud diskonteerimise teel. Sõltuvalt kasutatavast huvitüübist näeb konsolideerimisvalem välja järgmine:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 - Тn))

(9) S = ∑ Pn * (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Näide
Avasite 10 000 dollari suuruse pangahoiuse 12 kuuks 10% aastas. Kui palju raha peate kontole 14 kuuks kandma, et 3 aasta pärast oleks teie kontol 15 000 dollarit.

Lahendus
Kujutagem ette probleemi maksete konsolideerimise näol, kus olemasolev sissemakse väljendatakse positiivse arvuna ja tulevikus oodatav summa on negatiivne. Arvestades, et intressi arvestatakse liitintressimääraga, saame järgmise arvutuse 10 000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15 000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11 232 - 12 496 = -1 264 $.

Sisemise tulumäära määramine

Ettevõtluses ja investeerimises tuleb sageli ette olukordi, kus investor teab tulevasi makseid ja investeeringute suurust ning tal on vaja arvutada kasvutempo, mille juures tulevaste maksete summa nüüdisväärtusele taandatuna on arvuliselt võrdne investeeringute summa. Akumulatsioonikoefitsienti, mille puhul see tingimus on täidetud, nimetatakse sisemiseks tootluseks (IRR). Sisemise tulumäära arvutamiseks kasutatakse Exceli programmi sisseehitatud funktsiooni - IRR.

Näide
Investor kaalub investeerimisettepanekut, milleks on aktsiaosalus pizzeria avamisel (vt siit). Teame: a) taotletava investeeringu suurust; b) finantsplaan (rahavoogude prognoos); c) rahavoogude jaotamise skeem. Investeerimisettepaneku kokkuvõte (vt tabel) sisaldab 6 kasumlikkuse võimalust. On vaja kindlaks määrata investeerimisettepaneku kogukasumlikkusvõrreldes teiste investeerimisvõimalustega.

Lahendus
Ehitame Excelisse rahavoogude tabeli, mille investor finantsplaani järgi saab (vt tabel). Arvutame sisemise tootluse, kasutades sisseehitatud IRR-i valemit, kus väärtusvahemikuna märgime kõik makse väärtused, sealhulgas alginvesteeringu. Saadud sisemise tulumäära (IRR) väärtus = 38,47%. Seega on vaadeldava investeerimisettepaneku eeldatav kogutootlus 38,47% aastas.

Märge
1) Perioodidel, mil makseid pole, pane "0".
2) Aastase IRR-i määra saamiseks korrutatakse saadud väärtus 12-ga.

Annuiteedi (finantsüür)
Maksete voogu, mis kõik on positiivsed väärtused ja maksete vahelised ajavahemikud on samad, nimetatakse annuiteediks või finantsüüriks. Näiteks annuiteet on võlakirjalt intressi laekumise, tarbimislaenu maksete, kogumiskindlustuslepingute regulaarsete sissemaksete ja pensionide maksmise jada. Annuiteete iseloomustavad järgmised parameetrid: 1) iga üksiku makse suurus; 2) maksete vaheline intervall; 3) maksete kestus (olemas on püsiannuiteedid); 4) intressimäär. Arvutusvalemi keerukuse tõttu on annuiteedi erinevate komponentide arvutamiseks kõige parem kasutada sisseehitatud Exceli valemeid. Vaatleme peamisi.

Laenu arvutamisel kasutatakse valemeid: PMT (arvutab kuumakse summa), OSPLT (arvutab põhivõla tagasimakse summa konkreetse kuumakse osana), PRPLT (arvutab osana intressisumma konkreetse kuumakse).

Näide
Vaja on arvutada kuumakse ja koostada laenu maksegraafik, summa 10 000 dollarit, intressimäär 20%, tähtaeg 20 kuud.

Lahendus
Makse arvutamiseks kasutame PMT valemit. Intressimäära asemel asendame igakuise väärtuse (aastaväärtus jagatud 12-ga), nüüdisväärtusena märgime laenusumma, tulevikuväärtuse - märgime 0. Kasutame samu väärtusi OSPLT ja PRPLT valemid, milles muutub ainult perioodi järjekorranumber. Saadud väärtused on esitatud tabeli kujul:

Sama PMT valemit saab kasutada igakuiste osamaksete arvutamiseks, et koguda summa teatud ajahetkeni. Selleks paneme praeguse väärtuse asemele esmase makse summa ja tulevase väärtuse asemele vajaliku summa.

Näide
Olete 25-aastane. Avasite pensionikogumiskonto, mille intressimäär on 6% aastas, ja deponeerisite sellele oma säästud summas 10 000 dollarit. Arvutame igakuise makse summa, mille peate kõrvale panema, et saada 45-aastaseks 100 000 dollarit.

Lahendus
Kasutame PMT funktsiooni. Intressimäärana märgime 6% / 12, perioodide arv on 20 * 12, praegune väärtus on 10 000 dollarit, tulevane väärtus on 100 000 dollarit. Sel juhul näeb täidetud valem välja selline = PMT (6% / 12; 20 * 12; 10000; 100 000). Saame kuutasu summaks 288 dollarit.

Nagu märkasite, arvutasime ülaltoodud näidetes kuumakse suuruse, teadsime annuiteedi muid parameetreid. Excel võimaldab meil arvutada annuiteedi muid parameetreid - nüüdisväärtus, tulevikuväärtus, korduvate maksete arv. Vaatame, kuidas need valemid töötavad.

Nüüdisväärtuse arvutamise näide
Oma poja 10. sünnipäevaks otsustasite avada hoiukonto, et tema 18. sünnipäeval säästa 10 000 dollarit. Mis on esialgne makse, mille peate sellele kontole tegema, kui igakuised osamaksed on 50 dollarit?

Lahendus
Kasutame PS-funktsiooni. Intressimäärana märgime 6% / 12, maksete arv on 8 * 12, perioodiline makse on 50 dollarit, tulevane väärtus on miinus 10 000 dollarit. Sel juhul näeb täidetud valem välja selline = PS (6% / 12; 8 * 12; 50; -10000). Esialgse makse tulemuseks on 2390 dollarit.

Märge
Negatiivne väärtus PS ja BS valemites tähendab "ma saan", positiivne väärtus tähendab "ma nutan".

Näide tulevase väärtuse ja maksete arvu arvutamisest
Kaks sõpra otsustasid endale lisapensioni kindlustada. Selleks avas igaüks neist hoiukonto, mille tootlus oli 6%, üks tegi sellele esialgse sissemakse summas 3000 dollarit ja teine - 5000 dollarit. Esimene on 25, teine 30, mõlemad tahavad 45-aastaselt pensionile jääda. Mõlemad on nõus maha arvama 50 dollarit kuus. Kui pensionimakseid planeeritakse 150 dollari suuruses summas, on vaja välja arvutada nende pensionisäästude suurus ja nende kuude arv, mil kogunenud vahenditest pension koguneb.

Lahendus
Kõigepealt arvutame välja pensionisäästu suuruse. Selleks kasutame BS valemit. Esimesel juhul on maksete arv 20 * 12, teisel - 15 * 12, nüüdisväärtus esimesel juhul on 3000 dollarit, teisel - 5000 dollarit, intressimäär on mõlemal juhul 6 % / 12 ja perioodiline makse - 50 dollarit ... Kokkupandud valem näeb esimesel juhul välja selline: = BS (6% / 12; 20 * 12; 50; 3000), teisel = BS (6% / 12; 15 * 12; 50; 5000). Esimesel juhul on pensionisääst 33 032 dollarit, teisel - 26 811 dollarit. Nüüd arvutame välja perioodi, mille jooksul kogunenud summaga saab ülaltoodud pensionimakseid teha. Selleks kasutame funktsiooni NPER, kus märgime intressimääraks 6% / 12, määrame maksesummaks 150 $ ja asendame saadud väärtused nüüdisväärtusena. Summa saame kuudes - esimese eest 149 ja teise eest 128.

Märge
Negatiivne väärtus valemis näitab, et saame makseid, kui valemit kasutatakse tasumisele kuuluvate maksete arvutamiseks, on saadud väärtus positiivne.

Perpetuaalne annuiteet (perpetuity) ja Gordoni mudel

Annuiteedi erijuhtum on maksete jada, mille kestus ei ole tinglikult määratud ja seetõttu loetakse seda annuiteeti igaveseks. Igavese annuiteedi näiteks võivad olla konsoolid – väärtpaberite (võlakirjade) liik, millelt võetakse intressi määramata aja jooksul, kuid mille nimiväärtust ei tagastata. Praktikas on sellised väärtpaberid üsna haruldased. Levinum püsiannuiteedi näide on dividendimaksed, mida mõned ettevõtted maksavad pikka aega oma aktsionäridele. Püsikindlustuse maksumuse arvutamiseks kasutatakse Gordoni mudelit:

(10) S = P * (1 + g) / (r - g) , kus S on annuiteedi maksumus, P on jooksev makse, g on jooksva makse kasvutempo, r on tootlus.

Ülaltoodud valemid on mitmesuguste arvutuste tegemiseks mõeldud tööriistade põhiloend ja võimaldavad teil teha arvutusi igas olukorras. Selle artikli kommentaarides saate kirjeldada olukordi, mis nõuavad finantsarvutusi, ja ma püüan näidata, kuidas ülaltoodud matemaatiline aparaat teid nende lahendamisel aitab.

Artikli koostamisel kasutati materjale õpikust "Finantsmatemaatika" Shirshova E.V., N.I. Petrik, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moskva, toim. Knorus, 2010

Vaatleme näidet:

Külmkapi hind poes on tõusnud võrra. Mis oli hind, kui külmkapp maksis algselt RUB?

Lahendus:

Alustuseks teeme kindlaks, mitu rubla on külmiku maksumust muutnud (antud juhul suurendanud).

Tingimuste järgi - sees.

Aga millest?

Muidugi alates külmiku esialgsest maksumusest - rublad.

Selgub, et peame rubriigist leidma:

Nüüd teame, et hind on RUB võrra tõusnud.

Jääb vaid reegli kohaselt lisada esialgsele kulule muudatuse summa:

Uus hind rublades.

Veel üks näide(proovige see ise lahendada):

Raamat "Matemaatika mannekeenidele" maksab poes RUB. Kampaania ajal müüakse kõiki raamatuid allahindlusega

Kui palju peate nüüd selle raamatu eest maksma?

Lahendus:

Mis on allahindlus, ilmselt teate? Allahindlus tähendab, et kauba maksumus on vähenenud

Kui palju on raamatu maksumus langenud (rublades)?

Selle esialgsest maksumusest rublades peate leidma:

Hind on langenud, mis tähendab, et peate esialgsest maksumusest lahutama selle võrra, kui palju see on langenud:

Uus hind rublades.

Lihtne, kas pole?

Kuid on võimalus seda lahendust veelgi lihtsamaks ja lühemaks muuta!

Vaatleme näidet:

Suurendage arvu võrra.

Millega võrdub alates?

Nagu varem teada saime, saab see olema.

Nüüd suurendame arvu x ennast selle summa võrra:

Selgub, et selle tulemusena lisasime kümnendmärgistuse ja korrutasime arvuga.

Üldistame seda reeglit:

Oletame, et peame arvu suurendama.

numbrist on.

Siis saab uueks numbriks:.

Näiteks suurendame arvu:

Proovi nüüd ise:

Suurendage arvu võrra
Suurendage arvu võrra
Mitu protsenti on arvust suurem?

Lahendused:

3) Laske vajalik kogus protsenti võrdub.

See tähendab, et kui suurendate arvu võrra, saate:

Vastus sellele.

Kui arvu x tuleb vähendada, on kõik sama:

Nii et reegel on:

Näited:

1) Vähendage arvu.

2) Sees kui palju protsenti kas number on arvust väiksem?

3) Allahinnatud toote hind võrdub p. Mis on hind ilma allahindluseta?

Lahendused:

2) Arvu vähendati x võrra protsenti ja sai:

Vastus sellele.

3) Olgu hind ilma allahindluseta. Selgub, et x-i vähendati ja see sai:

Lõpuks vaatleme teist tüüpi ülesandeid, mis sageli segadust tekitavad.

Huvi huvides keeruliste probleemide lahendamine

Arv on suurem kui arv võrra. peal kui palju protsenti kas number on arvust väiksem?

Milline kummaline küsimus: loomulikult edasi!

eks?

Kuid mitte.

Kui näiteks ühe kapi mass on 25 kg suurem kui teise, siis on teise kapi mass kahtlemata 25 kg väiksem kui esimese oma.

Nina protsenti see ei tööta!

Tõepoolest, esimesel juhul, kui me ütleme, et arv on arvust suurem, arvestame arvust; ja teisel juhul, kui ütleme, et arv on arvust väiksem, siis arvestame arvust. Ja kuna numbrid on erinevad, siis on ka need numbrid erinevad!

Selle ülesande õigeks lahendamiseks kirjutame tingimuse võrrandi kujul:

Arv on suurem kui arv võrra. See tähendab, et kui arvu suurendada, saame arvu:

Nüüd kirjutame küsimuse sellisel kujul: kui arvu a vähendatakse võrra protsenti, saame numbri:

Avaldame arvu võrdsusest (1):

Ja asenda (2):

Sellest järeldub, et:

Seega saame, et arv on arvust väiksem!

Selliseid ülesandeid tuleb eksamil sageli ette.

Näiteks:

Esmaspäeval on ettevõtte aktsiad teatud numbri võrra kallinenud protsenti, ja teisipäeval langes sama palju protsenti... Selle tulemusena hakkasid need maksma vähem kui esmaspäeval kauplemise avamisel. peal kui palju protsenti kas ettevõtte aktsiad tõusid esmaspäeval?

Lahendus:

Olgu aktsia hind esmaspäeval võrdne ja vajalik kogus protsenti, kirjutatud kümnendmurruna (st juba jagatud) võrdub.

Paneme valemiga kirja, mis on aktsia väärtus pärast hinnatõusu:

Pealegi on see lõpphind teadaolevalt väiksem kui alghind. See tähendab, et kui me vähendame, saame:

Varem väljendatud asendus:

Terve mõistuse järgi sobib ainult positiivne otsus:

Tuletagem nüüd meelde, et see on seni vaid vajaliku koguse kümnendmärk protsenti st see summa protsenti jagatuna. Keele tõlkimiseks huvi, peate korrutama 100% -ga: