Mis on algebralise murru määratlus. Põhimõisted

§ 1 Algebralise murru mõiste

Algebraline murd on avaldis

kus P ja Q on polünoomid; P on algebralise murru lugeja, Q on algebralise murru nimetaja.

Siin on mõned näited algebralistest murdudest:

Iga polünoom on algebralise murru erijuht, sest iga polünoomi saab kirjutada kui

Näiteks:

Algebralise murru väärtus sõltub muutujate väärtusest.

Näiteks arvutame murdosa väärtuse

1)

2)

Esimesel juhul saame:

Pange tähele, et seda murdosa saab vähendada:

Seega on algebralise murru väärtuse arvutamine lihtsustatud. Kasutame seda ära.

Teisel juhul saame:

Nagu näete, on muutujate väärtuste muutumisega algebralise murdosa tähendus muutunud.

§ 2 Algebralise murru muutujate lubatud väärtused

Mõelge algebralisele murdosale

Väärtus x = -1 on selle murdosa jaoks kehtetu, sest selle x väärtuse juures oleva murdosa nimetaja kaob. Selle muutuja väärtusega on algebraline murd mõttetu.

Seega on algebralise murru muutujate lubatud väärtused need muutujate väärtused, mille puhul murdosa nimetaja ei kao.

Lahendame paar näidet.

Milliste muutuja väärtuste puhul pole algebraline murd mõtet:

Muutujate kehtetute väärtuste leidmiseks võrdsustatakse murdosa nimetaja nulliga ja leitakse vastava võrrandi juured.

Milliste muutuja väärtuste korral on algebraline murd võrdne nulliga:

Murd on null, kui lugeja on null. Võrdlustame oma murdosa lugeja nulliga ja leiame saadud võrrandi juured:

Seega, kui x = 0 ja x = 3, pole sellel algebralisel murdarvul mõtet, mis tähendab, et peame need muutuja väärtused vastusest välja jätma.

Niisiis õppisite selles õppetükis algebralise murru põhimõisteid: murdosa lugejat ja nimetajat, samuti algebralise murru muutujate lubatavaid väärtusi.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. klass. Kell 14 1. osa Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. - 9. väljaanne, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215 lk.: ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. klass. Kell 14 2. osa Probleemiraamat haridusasutustele / A.G. Mordkovitš, T.N. Mishustina, E.E. Tultšinskaja. - 8. väljaanne, - M .: Mnemosina, 2006 - 239lk.
3. Algebra. 8. klass. Testitööd õppeasutuste õpilastele L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovich 2. väljaanne, Kustutatud. - M .: Mnemosina 2009 .-- 40ndad.
4. Algebra. 8. klass. Iseseisev töö õppeasutuste õpilastele: A.G. õpiku juurde. Mordkovich, L.A. Aleksandrov, toim. A.G. Mordkovitš. 9. väljaanne, kustutatud. - M .: Mnemosina 2013 .-- 112s.

Selles õppetükis käsitletakse algebralise murru kontseptsiooni. Inimene kohtub murdosadega kõige lihtsamates elusituatsioonides: kui on vaja objekt mitmeks osaks jagada, näiteks lõigata kooki võrdselt kümneks inimeseks. Ilmselgelt saavad kõik tüki koogist. Sel juhul seisame silmitsi arvulise murru mõistega, kuid võimalik on olukord, kus objekt on jagatud teadmata arvuks osadeks, näiteks x-ga. Sel juhul tekib murdosa avaldise mõiste. Täisarvuliste avaldistega (mis ei sisalda muutujatega avaldisteks jagunemist) ja nende omadustega tutvusite juba 7. klassis. Järgmisena käsitleme ratsionaalse murdosa kontseptsiooni ja muutujate lubatavaid väärtusi.

Ratsionaalsed väljendid jagunevad tervik- ja murdavaldised.

Definitsioon.Ratsionaalne murdosa- vormi murdosa avaldis, kus on polünoomid. - lugeja nimetaja.

Näitedratsionaalsed väljendid:- murdosa avaldised; - terved väljendid. Näiteks esimeses avaldises toimib see lugeja ja nimetajana.

Tähendus algebraline murd nagu keegi algebraline avaldis, sõltub selles sisalduvate muutujate arvväärtusest. Täpsemalt, esimeses näites sõltub murdosa väärtus muutujate väärtustest ja teises ainult muutuja väärtusest.

Mõelge esimesele tüüpilisele probleemile: väärtuse arvutamine ratsionaalne murdosa selles sisalduvate muutujate erinevate väärtuste jaoks.

Näide 1. Arvutage murdosa väärtus punktides a), b), c)

Lahendus. Asendage muutujate väärtused näidatud murdosaga: a), b), c) - pole olemas (kuna te ei saa nulliga jagada).

Vastus: a) 3; b) 1; c) ei ole olemas.

Nagu näete, on iga murru puhul kaks tüüpilist ülesannet: 1) murdarvu arvutamine, 2) leidmine kehtivad ja kehtetud väärtused tähestikulised muutujad.

Definitsioon.Kehtivad muutuja väärtused- muutujate väärtused, mille jaoks avaldis on mõttekas. Kutsutakse välja muutujate kõigi lubatud väärtuste kogum ODZ või domeeni.

Literaalsete muutujate väärtus võib olla kehtetu, kui nende väärtuste murdosa nimetaja on null. Kõigil muudel juhtudel kehtivad muutujate väärtused, kuna murdosa saab arvutada.

Näide 2.

Lahendus. Et see avaldis oleks mõttekas, on vajalik ja piisav, et murdosa nimetaja ei võrduks nulliga. Seega on kehtetud ainult need muutuja väärtused, mille puhul nimetaja on võrdne nulliga. Murru nimetaja, nii et lahendame lineaarvõrrandi:

Seega, kui muutuja väärtus, ei ole murrul mõtet.

Vastus: -5.

Näite lahendus hõlmab muutujate valede väärtuste leidmise reeglit - murdosa nimetaja on võrdne nulliga ja leitakse vastava võrrandi juured.

Vaatame mõnda sarnast näidet.

Näide 3. Määrake, milliste muutuja väärtuste juures pole murrul mõtet .

Lahendus..

Vastus..

Näide 4. Määrake, milliste muutuja väärtuste juures pole murrul mõtet.

Lahendus..

Selle probleemi kohta on ka teisi sõnastusi - leida domeeni või avaldise kehtivate väärtuste vahemik (ODZ)... See tähendab - leidke kõik muutujate kehtivad väärtused. Meie näites on need kõik väärtused, välja arvatud. Määratluspiirkonda on mugav kujutada numbriteljel.

Selleks torkame sellele punkti, nagu on näidatud joonisel:

Riis. üks

Sellel viisil, murdosa domeen on kõik numbrid peale 3.

Vastus..

Näide 5. Määrake, milliste muutuja väärtuste juures pole murrul mõtet.

Lahendus..

Esitame saadud lahendi arvuteljel:

Riis. 2

Vastus..

Näide 6.

Lahendus.... Oleme saanud kahe muutuja võrdsuse, toome numbrilised näited: või jne.

Joonistage see lahendus Descartes'i koordinaatsüsteemis:

Riis. 3. Funktsioonigraafik

Selle graafiku ühegi punkti koordinaadid ei kuulu murdosa vastuvõetavate väärtuste vahemikku.

Vastus..

Vaadeldavate näidete puhul puutusime kokku olukorraga, kus toimus nulliga jagamine. Mõelge nüüd juhtumile, kus tekib huvitavam tüübijaotuse olukord.

Näide 7. Määrake, milliste muutujate väärtuste juures pole murrul mõtet.

Lahendus..

Selgub, et murdosa jaoks pole mõtet. Kuid võib väita, et see pole nii, sest: .

Võib tunduda, et kui lõppavaldis on võrdne 8 at, siis saab arvutada ka algse ja seetõttu on see mõttekas at. Kui aga asendame selle algse väljendiga, saame – sellel pole mõtet.

Vastus..

Selle näite üksikasjalikumaks mõistmiseks lahendame järgmise ülesande: milliste väärtuste korral võrdub määratud murd nulliga?

Kuid sel ajal sõnastasime selle "lihtsustatud" kujul, mis on mugav ja piisav tavaliste murdudega töötamiseks. Käesolevas artiklis vaatleme murdosa peamist omadust, mida rakendatakse algebralistele murdudele (st murdudele, mille lugeja ja nimetaja on polünoomid, mõnes algebraõpikus nimetatakse selliseid murde mitte algebralisteks, vaid ratsionaalseteks murdudeks). Esiteks formuleerime algebralise murru põhiomadus, põhjendame seda ja pärast seda loetleme selle peamised rakendusvaldkonnad.

Leheküljel navigeerimine.

Sõnastus ja põhjendus

Alustuseks tuletame meelde, kuidas sõnastati harilike murdude jaoks murru põhiomadus: kui hariliku murru lugeja ja nimetaja samaaegselt korrutada või jagada mõne naturaalarvuga, siis murru väärtus ei muutu. Sellele väitele vastavad võrdsused ja (mis kehtivad ka vormi ja ümberkorraldatud osade puhul), kus a, b ja m on mõned.

Tegelikult ei pea rääkima lugeja ja nimetaja jagamisest arvuga - seda juhtumit katab vormi võrdsus. Näiteks võrdsust saab õigustada jagamise kaudu, kasutades võrdsust kui , kuid seda saab põhjendada ka võrdsuse alusel ... Seetõttu seostame edaspidi murru põhiomaduse võrdsusega (ja), mitte ei peatu võrdsusel (ja).

Nüüd näitame, et murru põhiomadus kehtib ka murdude kohta, mille lugeja ja nimetaja on. Selleks tõestame, et kirjalik võrdsus kehtib mitte ainult naturaalarvude, vaid ka mistahes reaalarvude puhul. Teisisõnu tõestame, et võrdsus kehtib mis tahes reaalarvude a, b ja m korral ning b ja m on nullist erinevad (muidu seisame silmitsi nulliga jagamisega).

Olgu murd a / b arvu z kirje, st. Tõestame, et murd vastab ka arvule z ehk siis tõestame seda. See tõestab võrdsust.

Väärib märkimist, et kui algebralisel murul on murdosa koefitsiendid, siis selle lugeja ja nimetaja korrutamine ei ole kindel arv, võimaldab teil minna täisarvu koefitsientide juurde ja seeläbi selle vormi lihtsustada. Näiteks, ... Ja algebralise murru liikmete märkide muutmise reeglid põhinevad lugeja ja nimetaja korrutamisel miinus ühega.

Teine kõige olulisem murdosa põhiomaduse rakendusvaldkond on algebraliste murdude vähendamine. Üldjuhul toimub tühistamine kahes etapis: esiteks faktoriseeritakse lugeja ja nimetaja, mis võimaldab leida ühise teguri m ja seejärel võrdsuse alusel üleminek vormi murdosale. a / b ilma selle ühise tegurita viiakse läbi. Näiteks algebraline murd pärast lugeja ja nimetaja faktoriseerimist on kujul www.site, sealhulgas sisemised materjalid ja väliskujundus, seda ei saa mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguse omaniku eelneva kirjaliku loata.

Kui õpilane astub keskkooli, jaguneb matemaatika 2 õppeaineks: algebra ja geomeetria. Mõisteid tuleb aina juurde, ülesanded on aina keerulisemad. Mõnel on raskusi murdude tajumisega. Jätsin selle teema esimese õppetunni vahele ja voilaa. murrud? Küsimus, mis piinab kogu koolielu.

Algebralise murru mõiste

Alustame määratlusega. Under algebraline murd mõistetakse avaldist P / Q, kus P on lugeja ja Q on nimetaja. Tähestikuline kirje võib peita numbri, arvavaldise, numbrilis-tähestikulise avaldise.

Enne algebraliste murdude lahendamise mõtlemist peate kõigepealt mõistma, et selline avaldis on osa tervikust.

Tavaliselt on tervik 1. Arv nimetajas näitab, mitmeks osaks ühik on jagatud. Lugeja on vajalik selleks, et teada saada, kui palju elemente võetakse. Murruriba vastab jagamismärgile. Lubatud on kirjutada murdosa avaldis matemaatilise tehtena "Jagamine". Sel juhul on lugejaks dividend, nimetajaks jagajaks.

Harilike murdude põhireegel

Kui õpilased seda teemat koolis uurivad, tuuakse neile kinnituseks näiteid. Nende õigeks lahendamiseks ja keerulistest olukordadest erinevate väljapääsude leidmiseks peate rakendama murdude põhiomadust.

See kõlab nii: Kui korrutada nii lugeja kui ka nimetaja sama arvu või avaldisega (mitte nulliga), siis hariliku murru väärtus ei muutu. Selle reegli erijuhtum on avaldise mõlema osa jagamine sama arvu või polünoomiga. Selliseid teisendusi nimetatakse identseteks võrdusteks.

Allpool vaatleme, kuidas lahendada algebraliste murdude liitmist ja lahutamist, murdude korrutamist, jagamist ja tühistamist.

Matemaatikatehted murdudega

Mõelge, kuidas lahendada algebralise murru põhiomadus, kuidas seda praktikas rakendada. Kui teil on vaja kahte murdu korrutada, liita, jagada üksteisega või lahutada, peate alati järgima reegleid.

Seega tuleks liitmise ja lahutamise operatsiooni jaoks leida lisategur, et viia avaldised ühisele nimetajale. Kui algselt on murrud antud samade Q-avaldistega, siis tuleb see üksus ära jätta. Kui ühisosa on leitud, kuidas lahendada algebralisi murde? Lugejate liitmine või lahutamine. Aga! Tuleb meeles pidada, et kui murru ees on märk "-", pööratakse kõik lugejas olevad märgid ümber. Mõnikord ei tohiks te mingeid asendusi ja matemaatilisi tehteid teha. Piisab murru ees oleva märgi muutmisest.

Sageli kasutatakse sellist mõistet nagu fraktsioonide vähendamine... See tähendab järgmist: kui lugeja ja nimetaja jagatakse muu avaldisega kui üks (mõlema osa jaoks sama), siis saadakse uus murd. Dividend ja jagaja on küll varasematest väiksemad, kuid murdude põhireegli kohaselt jäävad need algse näitega võrdseks.

Selle toimingu eesmärk on saada uus taandamatu avaldis. Selle probleemi saab lahendada, vähendades lugejat ja nimetajat suurima ühisteguri võrra. Toimingu algoritm koosneb kahest punktist:

1. GCD leidmine murru mõlema osa jaoks.
2. Lugeja ja nimetaja jagamine leitud avaldisega ja eelmisega võrdse taandumatu murdosa saamine.

Allpool on tabel, mis loetleb valemid. Mugavuse huvides saate selle printida ja sülearvutis kaasas kanda. Et aga edaspidi kontroll- või eksamit lahendades ei tekiks raskusi algebraliste murdude lahendamise küsimuses, tuleb need valemid pähe õppida.

Mitmed näited lahendustega

Teoreetilisest vaatenurgast vaadeldakse küsimust, kuidas lahendada algebralisi murde. Artiklis toodud näited aitavad teil materjali paremini omastada.

1. Teisendage murrud ja viige need ühise nimetajani.

2. Teisendage murde ja viige need ühise nimetajani.

Pärast teoreetilise osa läbimist ja praktiliste küsimuste läbimõtlemist ei tohiks enam tekkida.

Paragrahvis 42 öeldi, et kui polünoomide jagamist ei saa täielikult teostada, siis jagatis kirjutatakse murdavaldise kujul, milles dividend on lugeja ja jagaja on nimetaja.

Näited murdosa avaldistest:

Murruavaldise lugeja ja nimetaja võivad ise olla murdavaldised, näiteks:

Murdalgebralistest avaldistest tuleb kõige sagedamini tegeleda nendega, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid (eelkõige ja monomiaalid). Iga sellist avaldist nimetatakse algebraliseks murdeks.

Definitsioon. Algebralist avaldist, mis on murd, mille lugejaks ja nimetajaks on polünoomid, nimetatakse algebraliseks murdeks.

Nagu aritmeetikas, nimetatakse algebralise murru lugejat ja nimetajat murdosa liikmeteks.

Tulevikus, olles uurinud algebraliste murdude toiminguid, saame identsete teisenduste abil teisendada mis tahes murdavaldise algebraliseks murdeks.

Algebraliste murdude näited:

Pange tähele, et täisarvulise avaldise, see tähendab polünoomi, saab kirjutada murruna, selleks piisab, kui kirjutada see avaldis lugejasse ja nimetajasse 1. Näiteks:

2. Tähtede lubatud tähendused.

Tähed, mis sisalduvad ainult lugejas, võivad omandada mis tahes väärtused (välja arvatud juhul, kui probleemi tingimus toob kaasa täiendavaid piiranguid).

Nimetajas sisalduvate tähtede puhul on lubatud ainult need väärtused, mis nimetajat ei kao. Seetõttu eeldame edaspidi alati, et algebralise murru nimetaja ei ole võrdne nulliga.