Čo je to úrok a ako ho riešiť. Záujem o matematiku

Pokračujeme v štúdiu elementárnych problémov v matematike. Táto lekcia je o problémoch so záujmom. Zvážime niekoľko úloh a dotkneme sa aj tých bodov, ktoré neboli spomenuté skôr v štúdii záujmu, pretože spočiatku spôsobujú ťažkosti pri učení.

Väčšina úloh na percentá sa scvrkáva na nájdenie percenta z čísla, nájdenie čísla percentom, vyjadrenie v percentách ľubovoľnej časti alebo vyjadrenie v percentách vzťahu medzi viacerými predmetmi, číslami, veličinami.

Predbežné zručnosti Obsah lekcie

Metódy na nájdenie záujmu

Percento sa dá zistiť rôznymi spôsobmi. Najpopulárnejším spôsobom je vydeliť číslo 100 a výsledok vynásobiť požadovaným percentom.

Ak chcete napríklad nájsť 60 % z 200 rubľov, musíte týchto 200 rubľov najskôr rozdeliť na sto rovnakých častí:

200 rubľov: 100 = 2 ruble.

Keď číslo vydelíme 100, nájdeme jedno percento z tohto čísla. Takže rozdelením 200 rubľov na 100 častí sme automaticky našli 1% z dvesto rubľov, to znamená, že sme zistili, koľko rubľov je potrebných na jednu časť. Ako vidíte z príkladu, jedna časť (jedno percento) predstavuje 2 ruble.

1% z 200 rubľov - 2 ruble

Keď viete, koľko rubľov je v jednej časti (o 1%), môžete zistiť, koľko rubľov je v dvoch častiach, troch, štyroch, piatich atď. To znamená, že môžete nájsť ľubovoľný počet percent. Na tento účel stačí vynásobiť tieto 2 ruble požadovaným počtom dielov (v percentách). Poďme nájsť šesťdesiat kusov (60%)

2 ruble × 60 = 120 rubľov.

2 rubľov × 5 = 10 rubľov.

Nájsť 90 %

2 ruble × 90 = 180 rubľov.

nájsť 100 %

2 ruble × 100 = 200 rubľov.

100% je všetkých sto častí a všetky sú 200 rubľov.

Druhým spôsobom je reprezentovať percento ako obyčajný zlomok a nájsť tento zlomok z čísla, z ktorého chcete nájsť percento.

Napríklad nájdime rovnakých 60% z 200 rubľov. Najprv predstavme 60 % ako zlomok. 60 % je šesťdesiat častí zo sto, teda šesťdesiat stotín:

Teraz možno úlohu chápať ako « nájsť z 200rubľov" ... Toto je ten, ktorý sme študovali predtým. Pripomeňme, že ak chcete nájsť zlomok čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledok vynásobiť čitateľom zlomku.

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

Alebo vynásobte číslo zlomkom ():

Tretím spôsobom je vyjadrenie percenta ako desatinné číslo a vynásobenie čísla týmto desatinným číslom.

Napríklad nájdime rovnakých 60% z 200 rubľov. Po prvé, predstavujeme 60 % ako zlomok. 60 % percent je šesťdesiat dielov zo sto

Rozdeľme sa v tomto zlomku. Posuňte čiarku v čísle 60 o dve číslice doľava:

Teraz nájdeme 0,60 z 200 rubľov. Ak chcete nájsť desatinný zlomok čísla, musíte toto číslo vynásobiť desatinným zlomkom:

200 × 0,60 = 120 rubľov.

Daný spôsob zisťovania percent je najpohodlnejší, najmä ak je človek zvyknutý používať kalkulačku. Táto metóda vám umožňuje nájsť percento v jednom kroku.

Spravidla nie je ťažké vyjadriť percento v desatinných zlomkoch. Ak je percento dvojciferné, stačí pred percento pridať predponu „nulové celé čísla“ alebo ak je percento jednociferné, pridať „celá nula“ a ďalšiu nulu. Príklady:

60 % = 0,60 – priradené nulové celé čísla pred 60, pretože 60 je dvojciferné

6% = 0,06 - priradená nula celých čísel a pred číslom 6 ešte jedna nula, keďže číslo 6 je jednociferné.

Pri delení 100 sme použili metódu posunutia čiarky o dve číslice doľava. V odpovedi 0,60 je zachovaná nula za číslom 6. Ak však toto rozdelenie vykonáte rohom, nula zmizne - odpoveď je 0,6

Je potrebné si uvedomiť, že desatinné zlomky 0,60 a 0,6 sa rovnajú rovnakej hodnote:

0,60 = 0,6

V tom istom „rohu“ môžete pokračovať v delení donekonečna, zakaždým, keď k zvyšku priradíte nulu, ale bude to bezvýznamná akcia:

Percentá môžete vyjadriť ako desatinné číslo nielen delením 100, ale aj násobením. Samotný znak percenta (%) nahrádza násobiteľ 0,01. A ak vezmeme do úvahy, že počet percent a znak percenta sa píšu spolu, tak medzi nimi je „neviditeľný“ znak násobenia (×).

Takže záznam 45 % v skutočnosti vyzerá takto:

Nahraďte znak percenta faktorom 0,01

Toto násobenie číslom 0,01 sa vykoná posunutím čiarky o dve číslice doľava:

Problém 1... Rozpočet rodiny je 75 tisíc rubľov mesačne. 70% z nich sú peniaze, ktoré zarobil otec. Koľko mama zarobila?

Riešenie

Len 100 percent. Ak otec zarábal 70% peňazí, tak mama zarábala zvyšných 30% peňazí.

Úloha 2... Rozpočet rodiny je 75 tisíc rubľov mesačne. Z toho 70 % sú peniaze, ktoré zarába otec, a 30 % sú peniaze, ktoré zarába mama. Koľko peňazí všetci zarobili?

Riešenie

Nájdite 70 a 30 percent zo 75 tisíc rubľov. To určí, koľko peňazí každý zarobil. Pre pohodlie sa 70 % a 30 % zapíše ako desatinné zlomky:

75 × 0,70 = 52,5 (tisíc rubľov, ktoré otec zarobil)

75 × 0,30 = 22,5 (tisíc rubľov zarobených mamou)

Vyšetrenie

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

Odpoveď: 52,5 tisíc rubľov. otec zarobil, 22,5 rubľov. Mama zarobila.

Problém 3... Chlieb po vychladnutí stratí v dôsledku vyparovania vody až 4 % svojej hmotnosti. Koľko kilogramov sa vyparí, keď 12 ton chleba vychladne.

Riešenie

Preložme 12 ton na kilogramy. V jednej tone je tisíc kilogramov a v 12 tonách 12-krát viac:

1000 × 12 = 12 000 kg

Teraz nájdeme 4 % z 12 000. Získaný výsledok bude odpoveďou na problém:

12 000 × 0,04 = 480 kg

Odpoveď: keď vychladne 12 ton chleba, vyparí sa 480 kilogramov.

Problém 4... Sušením jablká stratia 84 % svojej hmotnosti. Koľko sušených jabĺk sa získa z 300 kg čerstvých jabĺk?

Nájdite 84 % z 300 kg

300: 100 × 84 = 252 kg

V dôsledku sušenia stratí 300 kg čerstvých jabĺk 252 kg svojej hmotnosti. Ak chcete odpovedať na otázku, koľko sušených jabĺk dostanete, musíte od 300 odpočítať 252

300 - 252 = 48 kg

Odpoveď: 300 kg čerstvých jabĺk vytvorí 48 kg sušených jabĺk.

Problém 5... Sójové semená obsahujú 20% oleja. Koľko oleja je v 700 kg sójových bôbov?

Riešenie

Nájdite 20 % zo 700 kg

700 × 0,20 = 140 kg

Odpoveď: 700 kg sóje obsahuje 140 kg oleja

Problém 6... Pohánka obsahuje 10% bielkovín, 2,5% tuku a 60% sacharidov. Koľko z týchto produktov obsahuje 14,4 centov pohánky?

Riešenie

Preveďte 14,4 centov na kilogramy. V jednom cente 100 kilogramov, v 14,4 centoch 14,4-krát viac

100 × 14,4 = 1440 kg

Nájdite 10 %, 2,5 % a 60 % z 1440 kg

1440 × 0,10 = 144 (kg bielkovín)

1440 × 0,025 = 36 (kg tuku)

1440 × 0,60 = 864 (kg sacharidov)

Odpoveď: 14,4 q pohánky obsahuje 144 kg bielkovín, 36 kg tuku, 864 kg sacharidov.

Problém 7... Pre stromčekovú škôlku žiaci nazbierali 60 kg semien duba, akácie, lipy a javora. Žalude tvorili 60 %, javorové semená 15 %, lipové semená 20 % všetkých semien a zvyšok tvorili semená akácie. Koľko kilogramov akáciových semienok študenti nazbierali?

Riešenie

Semená duba, akácie, lipy a javora berme na 100%. Od týchto 100 % odpočítajte percentá, ktoré vyjadrujú semená dubu, lipy a javora. Takže zistíme, koľko percent tvoria semená akácie:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

Teraz nájdeme semená akácie:

60 × 0,05 = 3 kg

Odpoveď: Školáci nazbierali 3 kg akáciových semienok.

Vyšetrenie:

60 x 0,60 = 36

60 × 0,15 = 9

60 x 0,20 = 12

60 × 0,05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

Problém 8... Muž kúpil jedlo. Mlieko stojí 60 rubľov, čo je 48% nákladov na všetky nákupy. Určte celkovú sumu peňazí vynaloženú na potraviny.

Riešenie

Toto je úloha nájsť číslo podľa jeho percenta, teda podľa jeho známej časti. Tento problém možno vyriešiť dvoma spôsobmi. Prvým je vyjadriť známy počet percent ako desatinný zlomok a nájsť neznáme číslo z tohto zlomku.

Vyjadrite 48 % ako desatinné číslo

48% : 100 = 0,48

S vedomím, že 0,48 je 60 rubľov, môžeme určiť súčet všetkých nákupov. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť neznáme číslo podľa desatinného zlomku:

60: 0,48 = 125 rubľov

To znamená, že celková suma peňazí vynaložených na potraviny je 125 rubľov.

Druhým spôsobom je najprv zistiť, koľko peňazí je v jednom percente, a potom výsledok vynásobiť 100

48% je 60 rubľov. Ak vydelíme 60 rubľov 48, potom zistíme, koľko rubľov je 1%

60: 48% = 1,25 rubľov

1% predstavuje 1,25 rubľov. Celkové percento 100. Ak vynásobíme 1,25 rubľov 100, dostaneme celkovú sumu peňazí vynaloženú na jedlo

1,25 × 100 = 125 rubľov

Problém 9... 35 % sušených sliviek pochádza z čerstvých sliviek. Koľko čerstvých sliviek potrebujete zobrať, aby ste získali 140 kg sušených? Koľko sušených sliviek získate zo 600 kg čerstvých sliviek?

Riešenie

Vyjadríme 35 % ako desatinný zlomok a z tohto zlomku nájdeme neznáme číslo:

35% = 0,35

140: 0,35 = 400 kg

Ak chcete získať 140 kg sušených sliviek, musíte si vziať 400 kg čerstvých.

Odpovedzme si na druhú otázku problému – koľko sušených sliviek vyjde zo 600 kg čerstvých? Ak 35% sušených sliviek pochádza z čerstvých sliviek, potom stačí nájsť týchto 35% zo 600 kg čerstvých sliviek

600 × 0,35 = 210 kg

Odpoveď: na získanie 140 kg sušených sliviek je potrebné vziať 400 kg čerstvých. Zo 600 kg čerstvých sliviek vyjde 210 kg sušených sliviek.

Problém 10... Asimilácia tukov ľudským telom je 95%. Počas mesiaca študent skonzumoval 1,2 kg tuku. Koľko tuku dokáže absorbovať jeho telo?

Riešenie

Preveďte 1,2 kg na gramy

1,2 × 1000 = 1200 g

Nájdite 95 % z 1200 g

1200 x 0,95 = 1140 g

Odpoveď: 1140 g tuku dokáže telo študenta vstrebať.

Vyjadrenie čísel v percentách

Percento, ako už bolo spomenuté, môže byť vyjadrené ako desatinný zlomok. Na to stačí vydeliť počet týchto percent číslom 100. Predstavme si napríklad 12 % ako desatinný zlomok:

Komentujte. Teraz nenájdeme percento niečoho, ale jednoducho to zapíšeme ako desatinný zlomok..

Ale možný je aj opačný proces. Desatinný zlomok môže byť vyjadrený ako percento. Ak to chcete urobiť, musíte vynásobiť tento zlomok 100 a dať znak percenta (%)

Prepíšte desatinné číslo 0,12 ako percento

0,12 x 100 = 12 %

Táto akcia sa nazýva v percentách alebo vyjadrenie čísel v stotinách.

Násobenie a delenie sú inverzné operácie. Napríklad, ak 2 × 5 = 10, potom 10: 5 = 2

Podobne možno delenie zapísať aj v opačnom poradí. Ak 10: 5 = 2, potom 2 × 5 = 10:

To isté sa stane, keď desatinný zlomok vyjadríme v percentách. Takže 12 % bolo vyjadrených ako desatinný zlomok takto: 12: 100 = 0,12, ale potom sa rovnakých 12 % „vrátilo“ pomocou násobenia, pričom sa zapísal výraz 0,12 × 100 = 12 %.

Podobne môžete v percentách vyjadriť akékoľvek iné čísla vrátane celých čísel. Vyjadrime napríklad v percentách číslo 3. Vynásobte toto číslo 100 a k výsledku pridajte znak percenta:

3 × 100 = 300 %

Veľké percentá ako 300 % môžu byť spočiatku mätúce, pretože ľudia sú zvyknutí počítať 100 % ako maximum. Z dodatočných informácií o zlomkoch vieme, že jeden celý objekt možno označiť jednotkou. Napríklad, ak existuje celý nerozrezaný koláč, potom ho možno označiť 1

Rovnaký koláč možno označiť ako 100% koláč. V tomto prípade bude 1 aj 100 % znamenať rovnaký celý koláč:

Tortu prekrojíme na polovicu. V tomto prípade sa jedna zmení na desatinné číslo 0,5 (pretože toto je polovica jednotky) a 100 % sa zmení na 50 % (keďže 50 je polovica zo sto).

Vráťme celú tortu späť, jednu jednotku a 100%

Nakreslíme ďalšie dva takéto koláče s rovnakými označeniami:

Ak je jeden koláč jednotkou, potom tri koláče sú tri jednotky. Každá torta je stopercentne celistvá. Ak k tomu pridáte tieto tri stovky, dostanete 300 %.

Preto pri prevode celých čísel na percentá tieto čísla vynásobíme 100.

Úloha 2... Vyjadrite číslo 5 v percentách

5 × 100 = 500 %

Problém 3... Vyjadrite číslo 7 v percentách

7 × 100 = 700 %

Problém 4... Vyjadrite číslo 7,5 v percentách

7,5 × 100 = 750 %

Problém 5... Vyjadrite číslo 0,5 v percentách

0,5 × 100 = 50 %

Problém 6... Vyjadrite číslo 0,9 v percentách

0,9 × 100 = 90 %

Príklad 7... Vyjadrite číslo 1,5 v percentách

1,5 × 100 = 150 %

Príklad 8... Vyjadrite číslo 2,8 v percentách

2,8 × 100 = 280 %

Problém 9... George ide zo školy domov. Prvých pätnásť minút prešiel 0,75 dráhy. Zvyšný čas prešiel zvyšných 0,25 ciest. Vyjadrite v percentách časti cesty, ktorú George prešiel.

Riešenie

0,75 × 100 = 75 %

0,25 × 100 = 25 %

Problém 10... Johna pohostili polovicou jablka. Vyjadrite túto polovicu v percentách.

Riešenie

Polovica jablka sa píše ako zlomok 0,5. Ak chcete tento zlomok vyjadriť v percentách, vynásobte ho 100 a k výsledku pridajte znak percenta.

0,5 × 100 = 50 %

Frakčné analógy

Hodnota vyjadrená v percentách má svoj protipól v podobe pravidelného zlomku. Takže analóg pre 50% je zlomok. Päťdesiat percent možno nazvať aj polovicou.

Analóg pre 25 % je zlomok. Dvadsaťpäť percent možno nazvať aj štvrtinou.

Analóg pre 20 % je zlomok. Dvadsať percent možno nazvať aj pätinou.

Analóg pre 40 % je zlomok.

Analóg pre 60 % je zlomok

Príklad 1... Päť centimetrov je 50 % decimetra alebo len polovica. Vo všetkých prípadoch hovoríme o rovnakej hodnote – päť centimetrov z desiatich

Príklad 2... Dva a pol centimetra je 25% decimetra alebo len štvrtina

Príklad 3... Dva centimetre sú 20 % decimetra resp

Príklad 4... Štyri centimetre sú 40 % decimetra resp

Príklad 5... Šesť centimetrov je 60 % decimetra resp

Zníženie a zvýšenie záujmu

Pri zvyšovaní alebo znižovaní hodnoty vyjadrenej v percentách sa používa predložka „on“.

Príklady:

Zvýšenie o 50 % znamená zvýšenie hodnoty 1,5-krát;
Zvýšenie o 100 % - znamená zvýšenie hodnoty 2-krát;
Zvýšiť o 200 % znamená zvýšiť trojnásobne;
Zníženie o 50 % - znamená zníženie hodnoty 2-krát;
Zníženie o 80 % znamená zníženie 5-krát.

Príklad 1... Desať centimetrov sa zvýšilo o 50 %. Koľko centimetrov ste dostali?

Na vyriešenie takýchto problémov musíte vziať počiatočnú hodnotu ako 100%. Počiatočná hodnota je 10 cm, 50 % z nich je 5 cm

Pôvodných 10 cm sa zväčšilo o 50 % (o 5 cm), čiže vyšlo 10 + 5 cm, teda 15 cm.

Analóg zväčšenia desiatich centimetrov o 50% je multiplikátor 1,5. Ak ním vynásobíte 10 cm, dostanete 15 cm

10 × 1,5 = 15 cm

Preto výrazy „zvýšiť o 50 %“ a „zvýšiť 1,5-krát“ hovoria to isté.

Príklad 2... Päť centimetrov sa zvýšilo o 100 %. Koľko centimetrov ste dostali?

Pôvodných päť centimetrov berme ako 100 %. Sto percent z týchto piatich centimetrov bude samotných 5 cm. Ak zväčšíte 5 cm o rovnakých 5 cm, dostanete 10 cm

Analógové zvýšenie o päť centimetrov o 100 % je faktor 2. Ak ním vynásobíte 5 cm, dostanete 10 cm

5 × 2 = 10 cm

Preto výrazy „zvýšiť o 100 %“ a „zvýšiť 2-krát“ znamenajú to isté.

Príklad 3... Päť centimetrov sa zvýšilo o 200 %. Koľko centimetrov ste dostali?

Pôvodných päť centimetrov berme ako 100 %. Dvesto percent je dva krát sto percent. To znamená, že 200 % z 5 cm bude 10 cm (5 cm na každých 100 %). Ak o týchto 10 cm zväčšíte 5 cm, dostanete 15 cm

Analógové zvýšenie o päť centimetrov o 200 % je faktor 3. Ak ním vynásobíte 5 cm, dostanete 15 cm

5 × 3 = 15 cm

Preto výrazy „zvýšiť o 200 %“ a „zvýšiť 3-krát“ hovoria to isté.

Príklad 4... Desať centimetrov bolo znížených o 50 %. Koľko centimetrov zostáva?

Pôvodných 10 cm berme ako 100 %. Päťdesiat percent z 10 cm je 5 cm. Ak zmenšíte 10 cm o týchto 5 cm, bude 5 cm

Analógom zmenšenia desiatich centimetrov o 50 % je predeľovač 2. Ak ním vydelíte 10 cm, dostanete 5 cm

10:2 = 5 cm

Preto výrazy „znížiť o 50 %“ a „znížiť 2-krát“ hovoria to isté.

Príklad 5... Desať centimetrov sa zmenšilo o 80 %. Koľko centimetrov zostáva?

Pôvodných 10 cm berme ako 100 %. 80 percent z 10 cm je 8 cm. Ak zmenšíte 10 cm o týchto 8 cm, budete mať 2 cm

Analógom zmenšenia desiatich centimetrov o 80 % je deliteľ 5. Ak ním vydelíte 10 cm, dostanete 2 cm

10:5 = 2 cm

Preto výrazy „znížiť o 80 %“ a „znížiť 5-krát“ hovoria to isté.

Pri riešení úloh na klesajúce a zvyšujúce sa percentá môžete hodnotu vynásobiť/vydeliť násobiteľom uvedeným v úlohe.

Problém 1... O koľko sa zmenila hodnota v percentách, ak sa zvýšila 1,5-krát?

Hodnota uvedená v úlohe môže byť označená ako 100 %. Potom vynásobte týchto 100 % koeficientom 1,5

100 % × 1,5 = 150 %

Teraz odpočítajte počiatočných 100 % od prijatých 150 % a získajte odpoveď na problém:

150% − 100% = 50%

Úloha 2... O koľko sa zmenila hodnota v percentách, ak sa znížila 4-krát?

Tentokrát dôjde k poklesu hodnoty, preto vykonáme delenie. Hodnota uvedená v probléme je označená ako 100 %. Potom vydeľte 100 % deliteľom 4

Odčítajme prijatých 25 % od počiatočných 100 % a získame odpoveď na problém:

100% − 25% = 75%

To znamená, že pri poklese hodnoty o 4-násobok klesla o 75 %.

Problém 3... O koľko sa zmenila hodnota, ak sa znížila 5-krát?

Hodnota uvedená v probléme je označená ako 100 %. Potom vydeľte 100 % deliteľom 5

Odčítajte výsledných 20 % od počiatočných 100 % a získajte odpoveď na problém:

100% − 20% = 80%

To znamená, že pri poklese hodnoty o 5-násobok sa znížila o 80 %.

Problém 4... O koľko sa zmenila hodnota v percentách, ak sa znížila 10-krát?

Hodnota uvedená v probléme je označená ako 100 %. Potom vydeľte 100 % deliteľom 10

Odčítajte prijatých 10 % od počiatočných 100 % a získajte odpoveď na problém:

100% − 10% = 90%

To znamená, že pri 10-násobnom poklese hodnoty klesla o 90 %.

Problém nájsť percento

Ak chcete niečo vyjadriť v percentách, musíte najskôr napísať zlomok, ktorý ukazuje, koľko je prvé číslo od druhého, potom tento zlomok rozdeliť a výsledok vyjadriť v percentách.

Povedzme napríklad, že je päť jabĺk. V tomto prípade sú dve jablká červené a tri zelené. Vyjadrime červené a zelené jablká v percentách.

Najprv musíte zistiť, akú časť tvoria červené jablká. Celkovo je päť jabĺk a dve červené. To znamená, že dve z piatich alebo dvoch pätín sú červené jablká:

Sú tam tri zelené jablká. To znamená, že tri z piatich alebo troch pätín sú zelené jablká:

Máme dva zlomky a. Rozdeľme sa v týchto zlomkoch

Dostali sme desatinné miesta 0,4 a 0,6. Teraz vyjadrime tieto desatinné zlomky v percentách:

0,4 × 100 = 40 %

0,6 × 100 = 60 %

To znamená, že 40 % sú červené jablká, 60 % sú zelené.

A všetkých päť jabĺk je 40 % + 60 %, teda 100 %

Úloha 2... Matka dala dvom synom 200 rubľov. Mama dala mladšiemu bratovi 80 rubľov a staršiemu 120 rubľov. Vyjadrite v percentách peniaze poskytnuté každému bratovi.

Riešenie

Mladší brat dostal 80 rubľov z 200 rubľov. Zapíšeme zlomok osemdesiatdvestina:

Starší brat dostal 120 rubľov z 200 rubľov. Zlomok stodvadsaťdvestina zapíšeme:

Máme zlomky a. Rozdeľme sa v týchto zlomkoch

Vyjadrime získané výsledky v percentách:

0,4 × 100 = 40 %

0,6 × 100 = 60 %

To znamená, že mladší brat dostal 40 % peňazí a starší brat 60 %.

Niektoré zlomky, ktoré ukazujú, koľko je prvé číslo od druhého, možno skrátiť.

Takže zlomky by sa mohli znížiť. Z toho by sa odpoveď na problém nezmenila:

Problém 3... Rozpočet rodiny je 75 tisíc rubľov mesačne. Z toho 52,5 tisíc rubľov. - peniaze zarobené otcom. 22,5 tisíc rubľov - peniaze zarobené mamou. Vyjadrite sa ako percento zo zarobených peňazí mamy a otca.

Riešenie

Táto úloha, rovnako ako predchádzajúca, je úlohou nájsť percento.

Vyjadrime v percentách peniaze, ktoré otec zarobil. Zarobil 52,5 tisíc rubľov zo 75 tisíc rubľov

Rozdeľme sa v tomto zlomku:

0,7 × 100 = 70 %

To znamená, že otec zarobil 70% peňazí. Ďalej je ľahké uhádnuť, že matka zarobila zvyšných 30% peňazí. Koniec koncov, 75 tisíc rubľov je 100% peňazí. Pre istotu urobíme kontrolu. Mama zarobila 22,5 tisíc rubľov. od 75 tisíc rubľov. Zlomok zapíšeme, vykonáme delenie a výsledok vyjadríme v percentách:

Problém 4... Študent cvičí príťahy na hrazde. Minulý mesiac mohol urobiť 8 príťahov v sérii. Tento mesiac dokáže urobiť 10 príťahov v sérii. O koľko percent zvýšil počet ťahov?

Riešenie

Zistite, o koľko viac príťahov študent urobí v aktuálnom mesiaci ako v minulosti

Zistite, aká časť sú dve príťahy z ôsmich príťahov. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer 2 ku 8

Rozdeľme sa v tomto zlomku

Vyjadrime výsledok v percentách:

0,25 × 100 = 25 %

To znamená, že študent zvýšil počet ťahov o 25%.

Tento problém sa dá vyriešiť druhou, rýchlejšou metódou – zistite, koľkokrát je 10 stiahnutí viac ako 8 stiahnutí a výsledok vyjadrite v percentách.

Ak chcete zistiť, koľkokrát je desať stiahnutí viac ako osem stiahnutí, musíte nájsť pomer 10 ku 8

Rozdeľte výsledný zlomok

Vyjadrime výsledok v percentách:

1,25 × 100 = 125 %

Miera ťahania je tento mesiac 125 %. Toto vyhlásenie treba chápať presne ako "Je 125 %", nie ako "Ukazovateľ sa zvýšil o 125 %"... Ide o dva rozdielne výroky vyjadrujúce rôzne veličiny.

Výrok „je 125 %“ by sa mal chápať ako „osem stiahnutí, čo je 100 % plus dve stiahnutia, čo je 25 % z ôsmich stiahnutí“. Graficky to vyzerá takto:

A porekadlo „zvýšené o 125 %“ treba chápať tak, že „k súčasným ôsmim príťahom, ktoré boli 100 %, pribudlo ďalších 100 % (8 ďalších príťahov) plus ďalších 25 % (2 príťahy). " Celkovo sa získa 18 ťahov.

100 % + 100 % + 25 % = 8 + 8 + 2 = 18 príťahov

Graficky toto vyhlásenie vyzerá takto:

Celkovo je to 225 %. Ak nájdeme 225 % z ôsmich stiahnutí, dostaneme 18 stiahnutí.

8 × 2,25 = 18

Problém 5... Minulý mesiac bol plat 19,2 tisíc rubľov. V aktuálnom mesiaci to bolo 20,16 tisíc rubľov. O koľko sa zvýšil plat?

Tento problém, rovnako ako predchádzajúci, možno vyriešiť dvoma spôsobmi. Prvým je najprv zistiť, o koľko rubľov sa zvýšil plat. Ďalej zistite, aká časť tohto zvýšenia je z platu za posledný mesiac

Zistite, o koľko rubľov sa zvýšil plat:

20,16 - 19,2 = 0,96 tisíc rubľov.

Zistite, aká časť z 0,96 tisíc rubľov. sa pohybuje od 19.2. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer 0,96 ku 19,2

Vykonajte delenie vo výslednom zlomku. Cestou si pamätajte:

Vyjadrime výsledok v percentách:

0,05 × 100 = 5 %

To znamená, že plat sa zvýšil o 5 %.

Vyriešme problém druhým spôsobom. Zistite, koľkokrát 20,16 tisíc rubľov. viac ako 19,2 tisíc rubľov. K tomu nájdeme pomer 20,16 ku 19,2

Rozdeľme vo výslednom zlomku:

Vyjadrime výsledok v percentách:

1,05 × 100 = 105 %

Plat je 105%. To znamená, že to zahŕňa 100%, čo predstavovalo 19,2 tisíc rubľov, plus 5%, čo je 0,96 tisíc rubľov.

100% + 5% = 19,2 + 0,96

Problém 6... Cena notebooku sa tento mesiac zvýšila o 5 %. Aká je jeho cena, ak minulý mesiac stála 18,3 tisíc rubľov?

Riešenie

Nález 5 % z 18,3:

18,3 × 0,05 = 0,915

Pridajte týchto 5 % k 18,3:

18,3 + 0,915 = 19,215 tisíc rubľov.

Odpoveď: cena notebooku je 19 215 tisíc rubľov.

Problém 7... Cena notebooku sa tento mesiac znížila o 10 %. Aká je jeho cena, ak minulý mesiac stála 16,3 tisíc rubľov?

Riešenie

Nájdite 10 % z 16.3:

16,3 x 0,10 = 1,63

Odpočítajte týchto 10 % od 16.3:

16,3 – 1,63 = 14,67 (tisíc rubľov)

Podobné úlohy možno stručne napísať:

16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (tisíc rubľov)

Odpoveď: cena notebooku je 14,67 tisíc rubľov.

Problém 8... Minulý mesiac bola cena notebooku 21 tisíc rubľov. Tento mesiac cena vzrástla na 22,05 tisíc rubľov. O koľko sa zvýšila cena?

Riešenie

Zistite, o koľko rubľov sa cena zvýšila

22,05 - 21 = 1,05 (tisíc rubľov)

Zistite, aká časť z 1,05 tisíc rubľov. je od 21 tisíc rubľov.

Výsledok vyjadrite v percentách

0,05 × 100 = 5 %

Odpoveď: cena notebooku sa zvýšila o 5 %

Problém 8... Robotník mal podľa plánu vyrobiť 600 dielov a vyrobil 900 dielov. Na koľko percent splnil plán?

Riešenie

Zistíme, koľkokrát je 900 dielov viac ako 600 dielov. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer 900 ku 600

Hodnota tohto zlomku je 1,5. Vyjadrime túto hodnotu v percentách:

1,5 × 100 = 150 %

To znamená, že pracovník splnil plán na 150 %. To znamená, že ho dokončil na 100 %, vyrobil 600 dielov. Potom vyrobil ďalších 300 dielov, čo je 50% pôvodného plánu.

Odpoveď: pracovník splnil plán na 150 %.

Percentuálne porovnanie

Hodnoty sme porovnávali mnohokrát rôznymi spôsobmi. Náš prvý nástroj bol rozdiel. Napríklad na porovnanie 5 rubľov a 3 rubľov sme si zapísali rozdiel 5−3. Po prijatí odpovede 2 by sa dalo povedať, že „päť rubľov je viac ako tri ruble za dva ruble“.

Odpoveď získaná ako výsledok odčítania v každodennom živote sa nenazýva „rozdiel“, ale „rozdiel“.

Takže rozdiel medzi piatimi a tromi rubľmi sú dva ruble.

Ďalším nástrojom, ktorý sme použili na porovnanie hodnôt, bol pomer. Pomer nám umožnil zistiť, koľkokrát je prvé číslo väčšie ako druhé (alebo koľkokrát prvé číslo obsahuje druhé).

Takže napríklad desať jabĺk je päťkrát viac ako dve jablká. Alebo inak povedané, desať jabĺk obsahuje dve jablká päťkrát. Toto porovnanie možno zapísať pomocou vzťahu

Hodnoty však možno porovnávať aj v percentách. Napríklad na porovnanie ceny dvoch tovarov nie v rubľoch, ale na vyhodnotenie toho, o koľko je cena jedného tovaru vyššia alebo nižšia ako cena druhého v percentách.

Na porovnanie hodnôt v percentách musí byť jedna z nich označená ako 100% a druhá na základe podmienok problému.

Napríklad zistime, o koľko percent je desať jabĺk viac ako osem jabĺk.

Pre 100% musíte určiť hodnotu, s ktorou niečo porovnávame. Porovnávame 10 jabĺk s 8 jablkami. Takže na 100% označujeme 8 jabĺk:

Teraz je našou úlohou porovnať, o koľko percent je 10 jabĺk viac ako týchto 8 jabĺk. 10 jabĺk je 8 + 2 jablká. To znamená, že pridaním ďalších dvoch jabĺk k ôsmim jablkám zvýšime 100 % o určitý počet percent. Aby sme zistili, ktoré z nich, určme, koľko percent z ôsmich jabĺk sú dve jablká

Pridaním týchto 25 % k ôsmim jablkám dostaneme 10 jabĺk. A 10 jabĺk je 8 + 2, teda 100 % a ďalších 25 %. Celkovo získame 125 %

To znamená, že desať jabĺk je viac ako osem jabĺk o 25 %.

Teraz poďme vyriešiť inverzný problém. Poďme zistiť, koľko percent osem jabĺk je menej ako desať jabĺk. Odpoveď okamžite naznačuje, že osem jabĺk je o 25 % menej. Avšak nie je.

Porovnávame osem jabĺk k desiatim jablkám. Dohodli sme sa, že na 100% berieme to, s čím porovnávame. Preto tentoraz berieme 10 jabĺk na 100%:

Osem jabĺk je 10−2, teda keď znížime 10 jabĺk o 2 jablká, znížime ich o určitý počet percent. Aby sme zistili, ktoré z nich, určme, koľko percent z desiatich jabĺk sú dve jablká

Odpočítaním týchto 20 % od desiatich jabĺk dostaneme 8 jabĺk. A 8 jabĺk je 10-2, teda 100 % a mínus 20 %. Celkovo dostaneme 80 %

To znamená, že osem jabĺk je o 20 % menej ako desať jabĺk.

Úloha 2... O koľko percent je 5 000 rubľov viac ako 4 000 rubľov?

Riešenie

Zoberme si 4000 rubľov za 100%. 5 tisíc viac ako 4 tisíc na 1 tisíc. To znamená, že zvýšením štyroch tisícok o tisícku zvýšime štyri tisícky o určité percento. Poďme zistiť, ktorý z nich. Aby sme to urobili, určme, ktorá časť tisíc je zo štyroch tisíc:

Vyjadrime výsledok v percentách:

0,25 × 100 = 25 %

1000 rubľov od 4000 rubľov je 25%. Ak pridáte týchto 25% k 4000, dostanete 5000 rubľov. To znamená, že 5 000 rubľov je o 25 % viac ako 4 000 rubľov

Problém 3... Koľko percent je 4 000 rubľov menej ako 5 000 rubľov?

Tentokrát porovnávame 4000 s 5000. Vezmime 5000 ako 100%. Päťtisíc je viac ako štyritisíc za tisíc rubľov. Zistite, aká časť tisíc je z päťtisíc

Tisíc z piatich tisíc je 20%. Ak odpočítame týchto 20% od 5 000 rubľov, dostaneme 4 000 rubľov.

To znamená, že 4 000 rubľov je o 20 % menej ako 5 000 rubľov

Problémy koncentrácie, zliatiny a zmesi

Povedzme, že existuje túžba urobiť nejaký druh šťavy. K dispozícii máme vodu a malinový sirup

Nalejte 200 ml vody do pohára:

Pridajte 50 ml malinového sirupu a výslednú tekutinu premiešajte. Výsledkom je 250 ml malinovej šťavy. (200 ml vody + 50 ml sirupu = 250 ml šťavy)

Koľko z výslednej šťavy tvorí malinový sirup?

Malinový sirup tvorí šťavu. Vypočítame tento pomer, dostaneme číslo 0,20. Toto číslo ukazuje množstvo rozpusteného sirupu vo výslednej šťave. Zavolajme na toto číslo koncentrácia sirupu.

Koncentrácia rozpustenej látky je pomer množstva rozpustenej látky alebo jej hmotnosti k objemu roztoku.

Koncentrácia sa zvyčajne vyjadruje v percentách. Vyjadrime koncentráciu sirupu v percentách:

0,20 × 100 = 20 %

Koncentrácia sirupu v malinovej šťave je teda 20%.

Látky v roztoku môžu byť heterogénne. Zmiešajte napríklad 3 litre vody a 200 g soli.

Hmotnosť 1 litra vody je 1 kg. Potom bude hmotnosť 3 litrov vody 3 kg. 3 kg preložíme na gramy, dostaneme 3 kg = 3000 g.

Teraz dajte 200 g soli do 3000 g vody a výslednú tekutinu premiešajte. Výsledkom je soľný roztok, ktorého celková hmotnosť bude 3000 + 200, to znamená 3200 g Nájdite koncentráciu soli vo výslednom roztoku. Aby sme to dosiahli, zistíme pomer hmotnosti rozpustenej soli k hmotnosti roztoku

To znamená, že zmiešaním 3 litrov vody a 200 g soli získate 6,25% roztok soli.

Podobne možno určiť množstvo látky v zliatine alebo v zmesi. Napríklad zliatina obsahuje cín s hmotnosťou 210 g a striebro s hmotnosťou 90 g. Potom bude hmotnosť zliatiny 210 + 90, teda 300 g. Zliatina bude obsahovať cín a striebro. Percento cínu bude 70% a striebra 30%

Keď sa zmiešajú dva roztoky, získa sa nový roztok pozostávajúci z prvého a druhého roztoku. Nový roztok môže mať inú koncentráciu látky. Užitočnou zručnosťou je schopnosť riešiť koncentračné problémy, zliatiny a zmesi. Vo všeobecnosti je zmyslom takýchto úloh sledovať zmeny, ku ktorým dochádza pri miešaní roztokov rôznych koncentrácií.

Zmiešajte dve malinové šťavy. Prvých 250 ml šťavy obsahuje 12,8 % malinového sirupu. A druhá šťava s objemom 300 ml obsahuje 15% malinového sirupu. Tieto dve šťavy nalejte do veľkého pohára a premiešajte. V dôsledku toho získame novú šťavu s objemom 550 ml.

Teraz určme koncentráciu sirupu vo výslednej šťave. Prvá scedená šťava s objemom 250 ml obsahovala 12,8 % sirupu. A 12,8 % z 250 ml je 32 ml. To znamená, že prvá šťava obsahovala 32 ml sirupu.

Druhá scedená šťava s objemom 300 ml obsahovala 15 % sirupu. A 15% z 300 ml je 45 ml. To znamená, že druhá šťava obsahovala 45 ml sirupu.

Pridáme množstvá sirupov:

32 ml + 45 ml = 77 ml

Týchto 77 ml sirupu obsahuje nová šťava, ktorá má objem 550 ml. Stanovme koncentráciu sirupu v tejto šťave. Na tento účel zistíme pomer 77 ml rozpusteného sirupu k objemu šťavy 550 ml:

To znamená, že zmiešaním 12,8 % malinovej šťavy s objemom 250 ml a 15 % malinovej šťavy s objemom 300 ml získate 14 % malinovej šťavy s objemom 550 ml.

Problém 1... Vo vode sú 3 roztoky morskej soli: prvý roztok obsahuje 10% soli, druhý obsahuje 15% soli a tretí obsahuje 20% soli. Zmieša sa 130 ml prvého roztoku, 200 ml druhého roztoku a 170 ml tretieho roztoku. Určte percento morskej soli vo výslednom roztoku.

Riešenie

Určte objem výsledného roztoku:

130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml

Keďže prvý roztok obsahoval 130 × 0,10 = 13 ml morskej soli, v druhom roztoku 200 × 0,15 = 30 ml morskej soli a v treťom - 170 × 0,20 = 34 ml morskej soli, výsledný roztok bude obsahovať 13 + 30 + 34 = 77 ml morskej soli.

Stanovme koncentráciu morskej soli vo výslednom roztoku. Aby sme to dosiahli, zistíme pomer 77 ml morskej soli k objemu roztoku 500 ml

To znamená, že výsledný roztok obsahuje 15,4 % morskej soli.

Úloha 2... Koľko gramov vody by sa malo pridať do 50 g roztoku obsahujúceho 8 % soli, aby sa získal 5 % roztok?

Riešenie

Upozorňujeme, že ak do existujúceho roztoku pridáte vodu, množstvo soli v ňom sa nezmení. Zmení sa iba jeho percento, pretože pridanie vody do roztoku povedie k zmene jeho hmotnosti.

Potrebujeme pridať také množstvo vody, aby osem percent soli bolo päť percent.

Určte, koľko gramov soli obsahuje 50 g roztoku. Na tento účel nájdeme 8 % z 50

50 g × 0,08 = 4 g

8% z 50 g sú 4 g. Inými slovami, na osem dielov zo sto pripadajú 4 gramy soli. Dáme pozor, aby tieto 4 gramy neboli na osem dielov, ale na päť dielov, teda 5 %

4 gramy – 5 %

Teraz, keď vieme, že na 5% roztok sú 4 gramy, môžeme nájsť hmotnosť celého roztoku. Na to potrebujete:

4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g

80 gramov roztoku je hmotnosť, pri ktorej 4 gramy soli budú predstavovať 5% roztok. A aby ste získali týchto 80 gramov, musíte k pôvodným 50 gramom pridať 30 gramov vody.

To znamená, že na získanie 5% roztoku soli je potrebné do existujúceho roztoku pridať 30 g vody.

Úloha 2... Hrozno obsahuje 91% vlhkosti a hrozienka 7%. Koľko kilogramov hrozna je potrebných na získanie 21 kilogramov hrozienok?

Riešenie

Hrozno sa skladá z vlhkosti a čistej látky. Ak čerstvé hrozno obsahuje 91 % vlhkosti, potom zvyšných 9 % bude čistou látkou tohto hrozna:

Hrozienka obsahujú 93 % čistej látky a 7 % vlhkosti:

Všimnite si, že v procese premeny hrozna na hrozienka zmizne iba vlhkosť tohto hrozna. Čistá látka zostáva nezmenená. Po premene hrozna na hrozienka budú mať výsledné hrozienka 7 % vlhkosti a 93 % čistej látky.

Stanovme si, koľko čistej látky obsahuje 21 kg hrozienok. Na to nájdeme 93 % z 21 kg

21 kg × 0,93 = 19,53 kg

Teraz sa vráťme k prvému obrázku. Našou úlohou bolo určiť, koľko hrozna musíte odobrať, aby ste získali 21 kg hrozienok. Čistá látka s hmotnosťou 19,53 kg bude tvoriť 9 % hrozna:

Teraz, keď vieme, že 9% čistej látky je 19,53 kg, môžeme určiť, koľko hrozna je potrebných na získanie 21 kg hrozienok. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť číslo podľa jeho percenta:

19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg

To znamená, že na získanie 21 kg hrozienok je potrebné vziať 217 kg hrozna.

Problém 3... V zliatine cínu a medi je meď 85%. Koľko zliatiny by ste mali prijať, aby obsahoval 4,5 kg cínu?

Riešenie

Ak zliatina obsahuje 85% medi, potom zostávajúcich 15% bude cín:

Otázka je, koľko zliatiny treba vziať, aby obsahovala 4,5 cínu. Keďže zliatina obsahuje 15 % cínu, na týchto 15 % pripadá 4,5 kg cínu.

A keďže vieme, že 4,5 kg zliatiny je 15 %, môžeme určiť hmotnosť celej zliatiny. Ak to chcete urobiť, musíte nájsť číslo podľa jeho percenta:

4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg

To znamená, že musíte odobrať 30 kg zliatiny, aby obsahovala 4,5 kg cínu.

Problém 4... Určité množstvo 12 % roztoku kyseliny chlorovodíkovej sa zmiešalo s rovnakým množstvom 20 % roztoku tej istej kyseliny. Nájdite koncentráciu výslednej kyseliny chlorovodíkovej.

Riešenie

Znázornime prvé riešenie vo forme priamky na obrázku a vyberte na ňom 12%.

Keďže počet roztokov je rovnaký, môžete vedľa neho nakresliť rovnaký obrázok, ktorý znázorňuje druhý roztok s obsahom kyseliny chlorovodíkovej 20 %.

Získali sme dvesto dielov roztoku (100 % + 100 %), z toho tridsaťdva dielov tvorí kyselina chlorovodíková (12 % + 20 %).

Určte, ktorá časť 32 častí je z 200 častí

To znamená, že pri zmiešaní 12 % roztoku kyseliny chlorovodíkovej s rovnakým množstvom 20 % roztoku tej istej kyseliny sa získa 16 % roztok kyseliny chlorovodíkovej.

Pre kontrolu si predstavme, že hmotnosť prvého roztoku bola 2 kg. Hmotnosť druhého roztoku bude tiež 2 kg. Potom, keď sa tieto roztoky zmiešajú, získajú sa 4 kg roztoku. V prvom roztoku kyseliny chlorovodíkovej bolo 2 x 0,12 = 0,24 kg a v druhom - 2 x 0,20 = 0,40 kg. Potom v novom roztoku kyseliny chlorovodíkovej bude 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Koncentrácia kyseliny chlorovodíkovej bude 16%

Úlohy na samostatné riešenie

na, nájdeme 60 % z čísla

Teraz počet zvýšime o nájdených 60 %, t.j. podľa čísla

odpoveď: nová hodnota je

Problém 12. Odpovedzte na nasledujúce otázky:

1) Vyčerpaných 80 % sumy. Koľko percent z tejto sumy zostáva?
2) Muži tvoria 75% všetkých továrenských robotníkov. Aké percento pracovníkov závodu tvoria ženy?
3) Dievčatá tvoria 40% triedy. Koľko percent v triede tvoria chlapci?

A Riešenie

Použime premennú. Nechať byť P toto je pôvodné číslo uvedené v probléme. Zoberme si toto počiatočné číslo P na 100%

Znížte tento pôvodný počet P o 50 %

Nové číslo je teraz 50 % pôvodného čísla. Zistite, koľkokrát je pôvodné číslo P viac ako nové číslo. Aby sme to dosiahli, nájdeme pomer 100 % ku 50 %

Pôvodné číslo je dvojnásobok nového. To je možné vidieť aj z obrázku. A aby sa nové číslo rovnalo pôvodnému, musíte ho zdvojnásobiť. A zdvojnásobenie čísla znamená jeho zvýšenie o 100 %.

To znamená, že nové číslo, ktoré je polovičné oproti pôvodnému, je potrebné zvýšiť o 100 %.

Vzhľadom na nové číslo sa berie aj ako 100 %. Takže na obrázku vyššie je nové číslo polovicou pôvodného čísla a je podpísané ako 50 %. Vo vzťahu k pôvodnému číslu je nové číslo polovičné. Ale ak to vezmeme do úvahy oddelene od originálu, treba to brať ako 100%.

Preto bolo na obrázku nové číslo, ktoré je znázornené ako čiara, pôvodne označené ako 50 %. Ale potom sme toto číslo označili ako 100%.

odpoveď: Ak chcete získať pôvodné číslo, musíte nové číslo zvýšiť o 100 %.

Problém 16. Minulý mesiac sa v meste stalo 15 nehôd.
Tento mesiac tento ukazovateľ klesol na 6. O koľko percent sa znížil počet nehôd?

Riešenie

Minulý mesiac sa stalo 15 nehôd. Tento mesiac 6. To znamená, že počet nehôd klesol o 9.
Berme 15 nehôd ako 100%. Znížením 15 nehôd o 9 ich znížime o určitý počet percent. Aby sme zistili aká, zisťujeme, ktorá časť z 9 nehôd je z 15 nehôd

odpoveď: koncentrácia výsledného roztoku je 12 %.

Úloha 18. Určité množstvo 11 % roztoku určitej látky sa zmiešalo s rovnakým množstvom 19 % roztoku tej istej látky. Nájdite koncentráciu výsledného roztoku.

Riešenie

Hmotnosť oboch riešení je rovnaká. Každé riešenie možno považovať za 100%. Po pridaní roztokov získate 200% roztok. Prvý roztok obsahoval 11 % látky a druhý 19 % látky. Potom vo výslednom 200% roztoku bude 11% + 19% = 30% látky.

Určite koncentráciu výsledného roztoku. Aby sme to urobili, zistíme, akú časť tvorí tridsať častí látky z dvesto častí látky:

1,10. To znamená, že cena za prvý mesiac bude 1,10.

V druhom mesiaci sa cena zvýšila aj o 10 %. Pripočítajte desať percent z tejto ceny k aktuálnej cene 1,10, dostaneme 1,10 + 0,10 x 1,10. Tento súčet sa rovná výrazu 1,21 . To znamená, že cena na druhý mesiac bude 1,21.

V treťom mesiaci sa cena zvýšila aj o 10 %. Pripočítajte k aktuálnej cene 1,21 desať percent z tejto ceny, dostaneme 1,21 + 0,10 x 1,21. Táto suma sa rovná 1,331 . Potom bude cena za tretí mesiac 1,331.

Vypočítajme rozdiel medzi novou a starou cenou. Ak bola pôvodná cena 1, tak sa zvýšila o 1,331 - 1 = 0,331. Vyjadrite tento výsledok v percentách, dostaneme 0,331 × 100 = 33,1 %

odpoveď: za 3 mesiace vzrástli ceny potravín o 33,1 %.

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

, sériu článkov o osobných financiách.

Dnes budeme hovoriť o záujme.

Je nemožné investovať bez toho, aby sme pochopili, čo je to úrok a ako sa vypočítava ziskovosť.

S jednoduchým úrokom spravidla nie sú žiadne problémy, každý, kto aspoň raz držal peniaze na vklade v banke, chápe, že napríklad úroková sadzba 10% ročne na vklad 50 000 rubľov. dá 5000 príjem ročne.

Je ťažšie pochopiť efekt zloženého úročenia a je veľmi dôležitý pri dlhodobom investovaní, t.j. keď sa investuje s cieľom zabezpečiť finančnú slobodu.

V skutočnosti sa pri zloženom úročení úrokový výnos reinvestuje, čím sa zvyšuje veľkosť vkladu. Tu je príklad, povedzme, že máte 100 000 rubľov. a na nich dostanete 10% z príjmu, t.j. 10 000 RUB v roku.

V prvom roku ste dostali 10 000 rubľov. a váš príspevok sa zvýšil o týchto 10 000, čo predstavuje 110 000 rubľov.

V druhom roku bude váš príjem už 10% zo 110 000 rubľov, t.j. 11 000 rubľov, ktoré tiež pridáte k vkladu, ktorý sa stáva 110 000 + 11 000 = 121 000 rubľov.

Tretí rok: vašich 121 000 rubľov opäť prináša 10 %, čo je v rubľoch 12 100 rubľov, a váš príspevok na konci tretieho roka bude 121 000 + 12 100 = 133 100 rubľov.

Atď.

Vo formalizovanej forme sa zložený úrok píše takto:

FV = PV (1 + r) ^ n

kde FV- budúcu hodnotu vkladu;PV- počiatočné náklady na zálohu;r- miera návratnosti (ziskovosti);n- počet období.

Skontrolujte vzorec pre náš príklad FV = 10 000 (1 + 0,1) ^ 3 = 133 100 rubľov. Ako vidíte, všetko do seba zapadlo 🙂

Keď investujete dlhodobo, hodnota zloženého úroku sa dramaticky zvyšuje.

Predstavte si taký príklad, ak mlieko zdražie o 10% ročne, koľko bude stáť o 20 rokov? Ak dnes mlieko stojí 30 rubľov za liter, potom za predpokladu zvýšenia nákladov na mlieko o 10% ročne bude mlieko stáť o 20 rokov FV = 30 (1 + 0,1) ^ 20 = 201 rubľov 82 kopejok!

Tento príklad, mimochodom, veľmi dobre ukazuje potrebu investícií, zachovania ich kapitálu, keďže sa odpisujú rovnakým spôsobom podľa vzorca zloženého úroku.

Tento vzorec sa nazýva aj „Rothschildova formula“, „diablov vzorec“ av angličtine a vo finančných kruhoch sa nazýva „compounding“.

Všetko na zemi sa mení podľa vzorca zloženého úročenia: inflácia, rast spotreby ropy alebo pšenice, mení sa obyvateľstvo zeme atď.

Keď investujete, úrok pracuje pre vás, tu je príklad.Už som citoval o dôchodkoch:

Akú sumu dokáže nahromadiť priemerný Rus, ak každý investuje 3000 rubľov? mesiac po dobu 30 rokov? Predpokladajme, že jeho investícia porastie o 5 % ročne a návratnosť investície bude 17 % ročne.

Za 30 rokov sa nahromadí 32 022 812 rubľov. Takto vám funguje zložené úročenie, ktoré funguje ako páka na zvýšenie vašej investície.

Ale funguje to aj proti tomu, keď si beriete napríklad úvery.

V zásade existujú programy, ktoré umožňujú vypočítať zložené úroky a súvisiace anuitné vzorce (anuita je séria platieb, ktoré sú rovnaké (alebo sa menia podľa vzoru) a sú od seba vzdialené na rovnaké časové obdobie, príklad s akumuláciou 3 000 rubľov za mesiac vyššou a mesačnou rovnakou splátkou úveru v priebehu času).

Môžete to vyskúšať sami, ja používamtu je taký program pre iPad , je to zadarmo, tam maju moznosti aj pre Android.

Na obrázku je príklad výpočtu výšky splátok úveru pomocou tohto programu.

Tam si môžete vyskúšať aj iné finančné výpočty, napríklad vypočítať zložené úroky a anuity.

Skúste, hlavnou vecou je pochopiť samotný princíp.

Záujem o matematiku. Záujmové úlohy.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Záujem o matematiku.

Čo záujem o matematiku? Ako vyriešiť záujmové úlohy? Tieto otázky sa vynoria, žiaľ, zrazu... Keď si absolvent prečíta zadanie USE. A zmiatli ho. Ale márne. Sú to veľmi jednoduché koncepty.

Jediné, čo si treba zapamätať, je železo – čo je jedno percento ... Tento koncept je hlavný kľúč k riešeniu problémov so záujmom a k práci so záujmom vo všeobecnosti.

Jedno percento je stotina čísla ... A to je všetko. Už niet múdrosti.

Rozumná otázka - a stý diel aký dátum ? Ale číslo uvedené v zadaní. Ak hovorí o cene, jedno percento je jedna stotina ceny. Keď už hovoríme o rýchlosti, jedno percento je jedna stotina rýchlosti. Atď. Je jasné, že samotné číslo je vždy 100%. A ak tam samotné číslo nie je, potom ani percentá nedávajú zmysel ...

Ďalšia vec je, že v zložitých problémoch bude samotné číslo tak skryté, že ho nenájdete. Ale ešte nemierime na ťažké. Zaoberáme sa percent v matematike.

Nadarmo slová nezdôrazňujem jedno percento, stotina... Pamätanie si toho, čo je jedno percento, ľahko nájdete dve percentá, tridsaťštyri, sedemnásť a sto dvadsaťšesť! Nájdete toľko, koľko potrebujete.

A to je mimochodom hlavná zručnosť na riešenie problémov so záujmom.

Vyskúšajme?

Nájdime 3 % zo 400. Najprv nájdime jedno percento... Bude to stotina, t.j. 400/100 = 4. Jedno percento sú 4. A koľko percent potrebujeme? Tri. Vynásobíme teda 4 tromi. Dostávame 12. To je všetko. Tri percentá zo 400 sú 12.

5 % z 20 je 20 delené 100 (jedna stotina – 1 %) a vynásobené piatimi (5 %):

5 % z 20 bude 1. To je všetko.

Jednoduchšie to už nemôže byť. Poďme rýchlo, kým nezabudneme, poďme cvičiť!

Zistite, koľko to bude:
5% z 200 rubľov.
8 % z 350 kilometrov.
120% z 10 litrov.
15 % zo 60 stupňov.
4 % sú výborní študenti z 25 študentov.
10% chudobných študentov z 20 ľudí.

Odpovede (v úplnom neporiadku): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Tieto čísla predstavujú počet rubľov, titulov, študentov atď. Nenapísal som koľko vecí, aby bolo zaujímavejšie rozhodnúť ...

A ak potrebujeme písať NS % z nejakého čísla, napríklad z 50? Áno, všetko je po starom. Koľko je jedno percento z 50? Presne tak, 50/100 = 0,5. A máme tieto percentá - NS... No, vynásobme 0,5 x NS! Chápeme to NS % od 50 je - 0,5x.

Dúfam, že áno záujem o matematiku rozumieš. A môžete ľahko nájsť ľubovoľný počet percent z akéhokoľvek čísla. Je to jednoduché. Teraz ste schopní urobiť asi 60% všetkých úloh pre zaujímavosť! Už viac ako polovicu. No, dokončíme zvyšok? Dobre, čokoľvek poviete!

Pri problémoch s úrokmi sa často stretávame s opačnou situáciou. Je nám dané magnitúdy (čokoľvek), ale musíte nájsť úrok ... Tento jednoduchý proces zvládneme aj my.

3 ľudia zo 120 – aké je to percento? Neviem? Tak to nechaj tak NS percent.

Poďme počítať NS % od 120 ľudí. U ľudí. Dáme to. 120 vydeľte 100 (vypočítajte 1 %) a vynásobte NS(vypočítať NS %). Dostávame 1.2 NS.

Pochopme výsledok.

NS percent od 120 ľudí je to 1.2 NS človek ... A máme troch takýchto ľudí. Zostáva rovnať:

Pamätáme si, že pre X sme zobrali počet percent. Čiže 3 ľudia zo 120 ľudí sú 2,5 %.

To je všetko.

Dá sa to aj inak. Vychádzajte s jednoduchou vynaliezavosťou, bez akýchkoľvek rovníc. My si myslíme koľko krát 3 osoby menej ako 120? Vydeľte 120 3 a získajte 40. Takže 3 je 40-krát menej ako 120.

Požadovaný počet ľudí v percentách bude rovnaké množstvo menej ako 100 %. Veď 120 ľudí je 100%. Vydeľte 100 40, 100/40 = 2,5

To je všetko. Získali 2,5 %.

Existuje aj spôsob proporcií, ale ten je v podstate v skrátenej forme rovnaký. Všetky tieto metódy sú správne. Keďže je to pre vás pohodlnejšie, je to známejšie, je to zrozumiteľnejšie – zvážte to.

Opäť trénujeme.

Vypočítajte, koľko percent je:
3 ľudia z 12.
10 rubľov od 800.
4 učebnice zo 160 kníh.
24 správnych odpovedí na 32 otázok.
2 uhádnuté odpovede na 32 otázok.
9 zásahov z 10 výstrelov.

Odpovede (v neporiadku): 75 %, 25 %, 90 %, 1,25 %, 2,5 %, 6,25 %.

V procese výpočtov môžete naraziť na zlomky. Vrátane tých nepohodlných, ako napríklad 1,333333 ... A kto ti povedal, aby si používal kalkulačku? Sám? nie. počítať bez kalkulačky , ako je napísané v téme "Zlomky". Záujem je všelijakého...

Takže sme zvládli prechod z hodnôt na percentá a naopak. Môžete prevziať úlohy.

Záujmové úlohy.

Na skúške sú veľmi obľúbené záujmové úlohy. Od najjednoduchších po najzložitejšie. V tejto časti pracujeme s jednoduchými úlohami. V jednoduchých úlohách musíte spravidla prejsť od percent k hodnotám, o ktorých sa hovorí v úlohe. Na ruble, kilogramy, sekundy, metre atď. Alebo naopak. Už vieme ako. Potom je úloha jasná a ľahko riešiteľná. neveríš mi? Presvedčte sa sami.
Dajme si takúto úlohu.

„Jazda autobusom stojí 14 rubľov. V dňoch školských prázdnin bola pre študentov zavedená zľava 25 %. Koľko stojí autobus počas školských prázdnin?"

ako sa rozhodnúť? Ak zistíme, koľko 25% v rubľoch- potom nie je o čom rozhodovať. Odpočítajte zľavu z pôvodnej ceny – a je to!

Ale už vieme, ako to spoznať! Koľko bude jedno percento od 14 rubľov? Stotina časť. To znamená, že 14/100 = 0,14 rubľov. A takýchto percent máme 25. Vynásobme teda 0,14 rubľov 25. Dostaneme 3,5 rubľov. To je všetko. Stanovili sme výšku zľavy v rubľoch, zostáva zistiť nové cestovné:

14 – 3,5 = 10,5.

Desať a pol rubľov. Toto je odpoveď.

Len čo prešli z úroku na ruble, všetko bolo jednoduché a jasné. Ide o všeobecný prístup k riešeniu záujmových problémov.

Samozrejme, nie všetky úlohy sú rovnako elementárne. Sú aj zložitejšie. Len premýšľajte! Teraz ich vyriešime. Problém je, že opak je pravdou. Dostali sme nejaké hodnoty, ale musíme nájsť percentá. Napríklad takáto úloha:

„Predtým Vasya správne vyriešil dva problémy na percento z dvadsiatich. Po preštudovaní témy na jednej užitočnej stránke začal Vasya správne riešiť 16 problémov z 20. O koľko percent Vasja zmúdrel? 20 vyriešených problémov považujeme za stopercentnú inteligenciu."

Keďže otázka sa týka záujmu (a nie rubľov, kilogramov, sekúnd atď.), Potom sa obrátime na záujem. Zistite, koľko percent Vasya vyriešil predtým zaujímalo by ma, koľko percent po - a je to vo vreci!

Počítame. Dve úlohy z 20 – koľko percent? 2 je menej ako 20 10 krát, však? Preto počet úloh v percentách bude 10-krát menej ako 100 %. To znamená, že 100/10 = 10.

desať %. Áno, Vasya sa trochu rozhodol ... Na skúške nie je čo robiť. Teraz však zmúdrel a vyriešil 16 problémov z 20. Vypočítame, koľko to bude? Koľkokrát je 16 menej ako 20? Na rovinu a nepovieš... Budeme sa musieť rozdeliť.

5/4 krát. Teraz vydelíme 100 5/4:

Tu. 80% je už solídnych. A hlavná vec nie je limit!

Ale to ešte nie je odpoveď! Prečítali sme si problém ešte raz, aby sme sa z ničoho nič nepomýlili. Áno, pýtame sa koľko percent múdrejší Vasya? No je to jednoduché. 80 % - 10 % = 70 %. 70 %.

70% je správna odpoveď.

Ako vidíte, v jednoduchých úlohách stačí preložiť dané hodnoty na percentá alebo dané percentá na hodnoty, pretože je všetko jasné. Je jasné, že v úlohe môžu byť aj ďalšie zvončeky a píšťalky. Ktoré často nemajú nič spoločné s percentami. Tu je hlavnou vecou pozorne si prečítať stav a krok za krokom, pomaly, rozložiť skladačku. O tom si povieme v ďalšej téme.

V problémoch s úrokmi je však jeden vážny prepad! Mnohí do toho spadnú, áno... Tento prepad vyzerá celkom nevinne. Napríklad tu je hádanka.

„Krásny notebook stál v lete 40 rubľov. Pred začiatkom školského roka predajca zvýšil cenu o 25 %. Nákup notebookov sa však natoľko zhoršil, že znížil cenu o 10 %. Aj tak to neberú! Cenu musel znížiť o ďalších 15 %. Tu sa obchod začal! Aká bola konečná cena notebooku?"

No, ako? Základné?

Ak ste rýchlo a radostne odpovedali „40 rubľov!“, potom ste boli prepadnutí ...

Trik je v tom, že percentá sa vždy počítajú z niečo .

Takže počítame. Koľko rubľov Nafúkol predajca cenu? 25% zo 40 rubľov - to je 10 rubľov. To znamená, že notebook, ktorý zdražel, začal stáť 50 rubľov. To je pochopiteľné, však?

A teraz musíme znížiť cenu o 10% z 50 rubľov. Od 50, nie 40! 10% z 50 rubľov je 5 rubľov. V dôsledku toho po prvom znížení ceny notebook začal stáť 45 rubľov.

Zvažujeme druhé zníženie ceny. 15% zo 45 rubľov ( od 45, nie 40 alebo 50! ) Je 6,75 rubľov. Preto je konečná cena notebooku:

45 - 6,75 = 38,25 rubľov.

Ako vidíte, prepad je v tom, že úroky sa počítajú zakaždým z novej ceny. Z toho posledného. Je to tak takmer vždy. Ak úloha na postupné zvyšovanie-znižovanie hodnoty nie je uvedená ako obyčajný text, z čoho počítajte percentá, musíte ich počítať od poslednej hodnoty. A to je pravda. Ako predajca vie, koľkokrát tento notebook zdražel, pred ním klesol a koľko stál na samom začiatku ...

Mimochodom, teraz sa možno pýtate, prečo bola posledná fráza napísaná v hádanke o inteligentnom Vasyovi? Toto: " Napočítame 20 vyriešených problémov pre stopercentnú inteligenciu “? Zdá sa, a tak je všetko jasné ... Uh-uh ... Ako to povedať. Ak táto fráza neexistuje, Vasya môže počítať svoje počiatočné úspechy ako 100%. Teda dva vyriešené problémy. A 16 úloh je osemkrát viac. Tie. 800%! Vasya bude môcť celkom oprávnene hovoriť o svojej vlastnej múdrosti až na 700%!

A na 100% zvládnete aj 16 úloh. A získajte novú odpoveď. Tiež správne...

Preto záver: najdôležitejšou vecou pri záujmových úlohách je jasne definovať, od ktorého jedného alebo druhého percenta sa má počítať.

To je mimochodom tiež potrebné v živote. Kde sa používa úrok. V obchodoch, bankách, pri všetkých druhoch akcií. A potom očakávate 70% zľavu a dostanete 7%. A nie zľavy, ale vyššie ceny... A to všetko úprimne, prepočítal.

No, máte predstavu o percentách v matematike. Povedzme si to najdôležitejšie.

Praktické rady:

1. V úlohách pre zaujímavosť – prejdite od záujmu ku konkrétnym hodnotám. Alebo, ak je to potrebné, od konkrétnych hodnôt po percentá. Pozorne sme si prečítali úlohu!

2. Veľmi pozorne študujeme, z čoho treba počítať percentá. Ak to nie je uvedené v čistom texte, potom je to nevyhnutne implicitné. Keď sa hodnota mení postupne, percentá sa preberajú z poslednej hodnoty. Pozorne sme si prečítali problém!

3. Po vyriešení úlohy si ju znova prečítame. Je možné, že ste našli prechodnú odpoveď, nie definitívnu. Pozorne sme si prečítali problém!

Vyriešte niekoľko problémov so záujmom. Takpovediac na konsolidáciu. V týchto úlohách som sa snažil zhromaždiť všetky hlavné ťažkosti, ktoré čakajú na tie rozhodujúce. Tie hrable, na ktoré sa najčastejšie šliape. Tu sú:

1. Elementárna logika v analýze jednoduchých problémov.

2. Správna voľba hodnoty, od ktorej chcete percentá počítať. Koľko ľudí na to narazilo! Existuje však veľmi jednoduché pravidlo...

3. Percento úroku. Je to maličkosť, ale je to naozaj trápne...

4. A ešte jedny vidly. Spojenie percent so zlomkami a dielmi. Prekladať ich jeden do druhého.

„Matematickej olympiády sa zúčastnilo 50 ľudí. 68 % študentov riešilo málo problémov. 75% zvyšku vyriešilo problém primerane a zvyšok - veľa problémov. Koľko ľudí vyriešilo veľa problémov?"

Prompt. Ak získate čiastkových študentov, je to nesprávne. Pozorne si prečítajte problém, je tam jedno dôležité slovo ... Ďalší problém:

„Vasya (áno, tá!) má veľmi rada šišky s džemom. Ktoré sa pečú v pekárni, jednu zastávku od domova. Šišky stoja 15 rubľov za kus. Keď bolo k dispozícii 43 rubľov, Vasya išiel do pekárne autobusom za 13 rubľov. A v pekárni bola akcia "Zľava na všetko - 30%!!!". Otázka: Koľko ďalších šišiek si Vasya nemohol kúpiť pre svoju lenivosť (mohol ísť pešo, však?) “

Krátke hádanky.

Koľko percent je 4 menej ako 5?

O koľko percent je 5 viac ako 4?

Dlhá úloha...

Kolya dostal prácu na jednoduchej práci súvisiacej s výpočtom úrokov. Počas rozhovoru šéf s úlisným úsmevom ponúkol Kolyovi dve možnosti odmeňovania. Podľa prvej možnosti bola Kolyovi okamžite pridelená sadzba 15 000 rubľov mesačne. Podľa druhého Kolju, ak bude súhlasiť, prvé 2 mesiace bude vyplácaná mzda znížená o 50 %. Ako začiatočník. Potom mu ale zvýšia znížený plat až o 80%!

Kolja navštívil jednu užitočnú stránku na internete ... Preto po šiestich sekundách rozmýšľania s miernym úsmevom zvolil prvú možnosť. Šéf sa usmial a stanovil pre Kolju stály plat na 17 000 rubľov.

Otázka: Koľko peňazí za rok (v tisícoch rubľov) vyhral Kolja na tomto rozhovore? V porovnaní s najhorším prípadom? A ešte jedna vec: že sa celý čas usmievali!?)

Opäť krátka úloha.

Nájdite 20 % z 50 %.

Opäť dlho.)

Rýchlik №205 "Krasnojarsk - Anapa" zastavil na stanici "Syzran-Gorod". Vasilij a Kirill išli do obchodu kúpiť zmrzlinu pre Lenu a hamburger pre seba. Keď nakúpili všetko, čo potrebovali, upratovač obchodu povedal, že ich vlak sa už rozbehol... Vasilij a Kirill sa rýchlo a rýchlo rozbehli a podarilo sa im naskočiť do vozňa. Otázka: mal by za týchto podmienok majster sveta v behu čas naskočiť do koča?
Veríme, že za normálnych podmienok beží majster sveta o 30% rýchlejšie ako Vasilij a Kirill. Túžba dobehnúť auto (bolo posledné), pohostiť Lenu zmrzlinou a zjesť hamburger však zvýšila ich rýchlosť o 20 %. A zmrzlina s hamburgerom v rukách šampióna a papučami na nohách by mu znížila rýchlosť o 10% ...

Ale problém bez záujmu... Zaujímalo by ma, prečo je tu?)

Určte, koľko váži 3/4 jablka, ak celé jablko váži 200 gramov?

A posledný.

V rýchliku č. 205 „Krasnojarsk – Anapa“ vyriešili spolucestujúci rébus. Lena uhádla 2/5 všetkých slov a Vasilij uhádol jednu tretinu zostávajúcich. Potom sa pripojil Kirill a vyriešil 30% celého naskenovaného slova! Seryozha uhádol posledných 5 slov. Koľko slov bolo v skenovacom slove? Je pravda, že Lena hádala najviac slov?

Odpovede sú v tradičnom neporiadku a bez názvov jednotiek. Kde sú šišky, kde sú študenti, kde sú ruble s úrokmi - to si ty sám ...

desať; 50; Áno; 4; dvadsať; nie; 54; 2; 25; 150.

Tak ako? Ak všetko do seba zapadá, gratulujeme! Záujem nie je váš problém. Pokojne môžete ísť pracovať do banky.)

Niečo je zle? Nefunguje? Neviete, ako rýchlo vypočítať percentá z čísla? Nepoznáte veľmi jednoduché a priamočiare pravidlá? Z čoho počítať napríklad úroky? Alebo ako prevediete zlomky na percentá?

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Peniaze sú v našich životoch tak pevne zakorenené, že sa všetci – bez ohľadu na vek, pohlavie a spôsob zárobku z času na čas ocitáme v situácii, keď sme nútení robiť rozhodnutia, ktoré si vyžadujú finančné kalkulácie. A potom závisí od našej schopnosti operovať s konkrétnymi finančnými kategóriami, aká zisková bude možnosť, ktorú sme si vybrali. V tomto článku sa pozrieme na hlavné kategórie finančnej matematiky a ukážeme si, ako pomocou nich robiť správne rozhodnutia v najrôznejších situáciách.

Záujem. Zložené úročenie. Kapitalizácia úrokov (spájanie)

Úrok je príjem získaný ako platba za požičanie peňazí v akejkoľvek forme. Percentá môžu byť vyjadrené v absolútnom a relatívnom vyjadrení. Absolútna forma je konkrétna suma za konkrétne obdobie. Relatívna - vo forme úrokovej sadzby viazanej na určité obdobie (rok, mesiac alebo deň). Na výpočet naakumulovanej sumy (S), ktorou rozumieme sumu istiny plus naakumulovaný úrok, musíte použiť nasledujúci vzorec:

(1) S = P * (1 + i * n),
kde P je suma, z ktorej sa pripisuje úrok, i je úroková sadzba, N je počet období časového rozlíšenia.

Príklad
Dali ste svojmu priateľovi pôžičku vo výške 10 000 $ na 3 mesiace, za podmienok, ktoré sľubuje, že vám bude platiť 2% mesačne. Je potrebné vypočítať sumu, ktorú dostanete na konci pôžičky. Získame 10 000 * (1 + 2 % * 3) = 10 600 $.

Často sa možno stretnúť so situáciou, keď sa úrok neplatí, ale pripočítava sa k investovanej sume a od nového obdobia sa k sume pripisuje s prihliadnutím na predtým pripočítaný úrok. Takéto úroky sa nazývajú komplexné a proces výpočtu úrokov z úrokov sa nazýva kapitalizácia úrokov. V prípade zloženého úroku sa naakumulovaná suma vypočíta inak:

(2) S = P * (1 + i) ^ n,
kde význam písmen je rovnaký ako vo vzorci vyššie a znak "^" znamená umocnenie.

Aký je rozdiel medzi zloženým a jednoduchým úrokom? Ak rast jednoduchého úroku nastáva lineárne (o rovnakú sumu každé obdobie), potom zložené úročenie rastie exponenciálne (každé nasledujúce obdobie je výška úroku väčšia ako predchádzajúca). Vďaka tomuto efektu je suma úročená na dlhé obdobie mnohonásobne vyššia ako rast sumy úročenej jednoduchou úrokovou sadzbou. Nižšie sú uvedené výsledky rastu vkladu (6% ročne) s jednoduchým a zloženým úrokom. Ak najprv zostane rozdiel malý, neskôr dosiahne kritickú hodnotu. Takže po dobu 80 rokov na vklade s jednoduchým úrokom dosiahne 58 000 dolárov, zatiaľ čo vklad s komplexným - 1 057 960 dolárov.

V praxi sa často vyskytuje prax, pri ktorej sa obdobie na výpočet úroku líši od celého čísla. V takejto situácii má vzorec na výpočet vzniknutej sumy jednoduchým percentom podobu:

(3) S = P* (1 + i * d / 365),
kde d je obdobie časového rozlíšenia úrokov, vyjadrené v dňoch.

Existujú aj situácie, keď je úroková sadzba vyjadrená v ročnom vyjadrení, ale úrok sa pripisuje mesačne. V takýchto prípadoch bude vzorec na výpočet naakumulovanej sumy (spravidla sa v tomto prípade používa zložený úrok) vyzerať takto:

(4) S = P * (1 + i / m) ^ (n * m),
kde m je počet období výpočtu úrokov v rámci obdobia (zvyčajne sa pre počet mesiacov v roku používa 12).

A nakoniec si všimnime, že bez ohľadu na typ úroku je možné všetky vzorce na výpočet naakumulovanej sumy zredukovať na všeobecnú formu:

(5) S = P * k,
kde k je akruálny koeficient, ktorý sa počíta rôznymi spôsobmi v závislosti od typu použitého úroku. Tento záver nám výrazne uľahčí pochopenie následných matematických operácií.

Diskontovanie a jeho podstata

Pojem úrok, o ktorom sme hovorili vyššie, odráža časovú hodnotu peňazí. Inými slovami, vzhľadom na skutočnosť, že peniaze, ktoré dnes vlastníme, nám môžu zajtra priniesť príjem v dôsledku ich umiestnenia v určitom percente, budúce peňažné príjmy majú nižšiu súčasnú hodnotu. Na tomto princípe je založená matematická operácia nazývaná diskontovanie. Diskontovanie znamená privedenie budúcich platieb na súčasnú hodnotu a vo svojom význame je operáciou inverznou k pripisovaniu úrokov. To znamená, že diskontovanie považuje budúce platby za akumulovanú sumu (S) a úlohou investora je vypočítať ich súčasnú hodnotu (P) na základe úrokovej sadzby, ktorú má k dispozícii (i). V závislosti od typu úroku bude vzorec zľavy vyzerať takto: príp

(6) P = S / (1 + i * n)

(7) P = S / (1 + i)^ n

Úlohou diskontu je ukázať nám, koľko peňazí, ktoré dostaneme v budúcnosti, stojí dnes, aby sme nepreplatili budúce platby v zmysle investičnej alternatívy, ktorú máme k dispozícii. Poďme sa pozrieť na niekoľko bežných operácií, ktoré využívajú zľavu.

Akvizícia toku budúcich platieb (účtovné transakcie)
Na nákup sa navrhuje dlhopis s nominálnou hodnotou 1 000 USD s úrokovou sadzbou 6% ročne, pričom úrok sa platí štvrťročne a splatenie - na konci roka. Úlohou je vypočítať súčasnú hodnotu záväzku na základe diskontnej sadzby 15% ročne.

Riešenie
Spočítajme si štvrťročné úrokové výnosy a stavajmev programe Excel tabuľka peňažných tokov. Nájdite súčasnú hodnotu pomocou vstavaného vzorca NPV. Pri diskontnej sadzbe 15 % ročne je teda súčasná hodnota tohto finančného záväzku 916,22 USD

Poznámka

2) Do vzorca NPV namiesto úrokovej sadzby vložíme ročné percento vydelené 12

Finančná rovnocennosť
Zmluvné strany sa dohodnú na podmienkach platby za kancelársky priestor. Cena priestorov je 24 000 dolárov. Predávajúci súhlasí s platbou na splátky za týchto podmienok: 8.000,-$ ihneď, zvyšok v rovnakých splátkach do 4 mesiacov. Je však pripravený zvážiť dlhší splátkový kalendár, ak mu predávajúci ponúkne vysokú sumu za predávané priestory.

Riešenie
Úvodné podmienky splátkového kalendára premietneme do tabuľky v Exceli. Simulujme v tej istej tabuľke ponuku s rastúcimi mesačnými platbami, v dôsledku čoho sa cena priestorov zvýši na 24 400 dolárov. Vypočítajme súčasnú hodnotu každej opcie, aby sme porovnali ich ekvivalenciu na základe úrokovej sadzby rovnajúcej sa 10 % ročne. Z výpočtu vyplýva, že druhá možnosť aj pri vyššej obstarávacej cene je pre kupujúceho výhodnejšia ako prvá

Konsolidácia platieb
Konsolidácia platieb je operácia na spojenie viacerých platobných záväzkov do jednej platby (S0) v určitom čase (T0). Zvláštnosťou tejto operácie je, že všetky platby, ktoré sa očakávajú, že prídu skôr ako tento dátum, sa počítajú podľa časového rozlíšenia a tie, ktoré sa očakávajú po nej - diskontovaním. V závislosti od typu použitého úroku vyzerá konsolidačný vzorec takto:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 - Тn))

(9) S = ∑ Pn * (1 + i) ^ (T0 - Ta))

Príklad
Otvorili ste bankový vklad vo výške 10 000 USD na 12 mesiacov pri 10 % ročne. Koľko peňazí musíte vložiť na účet na 14 mesiacov, aby ste po 3 rokoch mali na účte 15 000 $.

Riešenie
Predstavme si problém vo forme konsolidácie platieb, kde existujúci príspevok bude vyjadrený kladným číslom a suma očakávaná v budúcnosti bude záporná. Ak vezmeme do úvahy, že úrok sa počíta pri zloženej úrokovej sadzbe, dostaneme nasledujúci výpočet 10 000 * (1 + 10 % / 12) ^ (14-0) - 15 000 * (1 + 10 % / 12) ^ (14-36) = 11 232 - 12 496 = -1 264 $.

Stanovenie vnútornej návratnosti

V podnikaní a investovaní často dochádza k situáciám, keď investor pozná budúce platby a výšku investícií a potrebuje vypočítať tempo rastu, pri ktorom sa výška budúcich platieb znížená na súčasnú hodnotu bude číselne rovnať výška investícií. Akumulačný koeficient, pre ktorý je táto podmienka splnená, sa nazýva vnútorná návratnosť (IRR). Na výpočet vnútornej miery návratnosti sa používa vstavaná funkcia programu Excel - IRR.

Príklad
Investor zvažuje investičný návrh, ktorým je majetková účasť na otvorení pizzerie (pozri tu). Poznáme: a) výšku požadovanej investície; b) finančný plán (predpoveď peňažných tokov); c) schému rozdelenia peňažných tokov. Súhrn investičného návrhu (pozri tabuľku) obsahuje 6 možností výnosu. Je potrebné určiť celkovú ziskovosť investičného návrhu preporovnanie s inými investičnými možnosťami.

Riešenie
Zostavme si v Exceli tabuľku peňažných tokov, ktoré investor dostane podľa finančného plánu (pozri tabuľku). Vypočítajme si vnútornú mieru návratnosti pomocou vstavaného vzorca IRR, kde všetky hodnoty platieb vrátane počiatočnej investície uvádzame ako rozsah hodnôt. Výsledná hodnota vnútornej návratnosti (IRR) = 38,47 %. Celková očakávaná návratnosť posudzovaného investičného návrhu je teda 38,47 % ročne.

Poznámka
1) V obdobiach, keď neexistujú žiadne platby, zadajte „0“.
2) Na získanie ročnej miery IRR sa výsledná hodnota vynásobí 12.

Anuita (finančný nájom)
Tok platieb, z ktorých všetky sú kladné hodnoty a časové intervaly medzi platbami sú rovnaké, sa nazýva anuita alebo finančná renta. Napríklad anuita je postupnosť prijímania úrokov z dlhopisu, platieb zo spotrebiteľského úveru, pravidelných príspevkov podľa zmlúv o kapitálovom poistení a výplaty dôchodkov. Anuity sú charakterizované nasledujúcimi parametrami: 1) výška každej jednotlivej platby; 2) interval medzi platbami; 3) trvanie platieb (existujú trvalé anuity); 4) úroková sadzba. Vzhľadom na zložitosť výpočtového vzorca je najlepšie použiť na výpočet rôznych zložiek anuity vstavané vzorce v Exceli. Zoberme si tie hlavné.

Pri výpočte úveru sa používajú vzorce: PMT (vypočíta výšku mesačnej splátky), CPMP (vypočíta výšku splátky istiny v rámci konkrétnej mesačnej splátky), PRPLT (vypočíta výšku úroku ako súčasť konkrétnej mesačnej splátky).

Príklad
Je potrebné vypočítať mesačnú splátku a zostaviť splátkový kalendár pôžičky, suma je 10 000 $, úroková sadzba 20%, doba splatnosti je 20 mesiacov.

Riešenie
Na výpočet platby používame vzorec PMT. Namiesto úrokovej sadzby dosadíme mesačnú hodnotu (ročná hodnota vydelená 12), ako súčasnú hodnotu uvádzame výšku úveru, budúcu hodnotu - uvádzame 0. Rovnaké hodnoty používame pre OSPLT a PRPLT vzorce, v ktorých sa mení len poradové číslo bodky. Získané hodnoty sú prezentované vo forme tabuľky:

Rovnaký vzorec PMT možno použiť na výpočet mesačných splátok na akumuláciu sumy do daného časového bodu. Aby sme to dosiahli, na miesto súčasnej hodnoty vložíme sumu počiatočnej platby a na miesto budúcej hodnoty požadovanú sumu.

Príklad
Máte 25 rokov. Otvorili ste si dôchodkový sporiaci účet s úrokovou sadzbou 6 % ročne a uložili ste naň svoje úspory vo výške 10 000 USD. Vypočítame výšku mesačnej splátky, ktorú si musíte odložiť, aby ste do veku 45 rokov dostali sumu 100 000 $.

Riešenie
Používame funkciu PMT. Ako úrokovú sadzbu označujeme 6% / 12, počet období je 20 * 12, súčasná hodnota je 10 000 USD, budúca hodnota je 100 000 USD. V tomto prípade bude vyplnený vzorec vyzerať takto = PMT (6 % / 12; 20 * 12; 10 000; 100 000). Dostaneme sumu mesačného poplatku 288 $.

Ako ste si všimli, vo vyššie uvedených príkladoch sme vypočítali výšku mesačnej splátky, ostatné parametre anuity nám boli známe. Excel nám umožňuje vypočítať ďalšie parametre anuity – súčasnú hodnotu, budúcu hodnotu, počet opakujúcich sa platieb. Poďme sa pozrieť, ako tieto vzorce fungujú.

Príklad výpočtu súčasnej hodnoty
Do 10. narodenín svojho syna ste sa rozhodli založiť sporiaci účet, aby ste ušetrili 10 000 dolárov na jeho 18. narodeniny. Aká je počiatočná platba, ktorú musíte vykonať na tento účet, ak plánované mesačné splátky sú 50 USD?

Riešenie
Používame funkciu PS. Ako úrokovú sadzbu uvádzame 6% / 12, počet platieb je 8 * 12, pravidelná platba je 50 USD, budúca hodnota je mínus 10 000 USD. V tomto prípade bude vyplnený vzorec vyzerať takto = PS (6 % / 12; 8 * 12; 50; -10000). Výsledná hodnota počiatočnej platby je 2390 USD.

Poznámka
Záporná hodnota vo vzorcoch PS a BS znamená „dostanem“, kladná hodnota znamená „plačem“.

Príklad výpočtu budúcej hodnoty a počtu platieb
Dvaja kamaráti sa rozhodli zabezpečiť si doplnkový dôchodok. Na tento účel si každý z nich otvoril sporiaci účet s výnosom 6% ročne, jeden poskytol počiatočný príspevok vo výške 3 000 USD a druhý - 5 000 USD. Prvý má 25, druhý 30, obaja chcú ísť do dôchodku do 45. Obaja sú ochotní odpočítať si 50 dolárov mesačne. Je potrebné vypočítať výšku ich dôchodkových úspor a počet mesiacov, počas ktorých sa dôchodok naakumuluje z akumulovaných prostriedkov, ak sú platby dôchodkov plánované vo výške 150 USD.

Riešenie
Najprv si vypočítajme výšku dôchodkových úspor. Na to používame vzorec BS. V prvom prípade bude počet platieb 20 * 12, v druhom - 15 * 12, súčasná hodnota v prvom prípade je 3 000 USD, v druhom - 5 000 USD, úroková sadzba v oboch prípadoch bude 6 % / 12 a opakovaná platba - 50 $ ... Zostavený vzorec v prvom prípade bude vyzerať = BS (6 % / 12; 20 * 12; 50; 3 000), v druhom = BS (6 % / 12; 15 * 12; 50; 5 000). V prvom prípade budú dôchodkové úspory 33 032 dolárov, v druhom 26 811 dolárov. Teraz vypočítajme obdobie, počas ktorého môže akumulovaná suma poskytnúť vyššie uvedené platby dôchodkov. Na tento účel použijeme funkciu NPER, kde ako úrokovú sadzbu uvedieme 6% / 12, ako sumu platby nastavíme 150 $ a získané hodnoty nahradíme súčasnou hodnotou. Dostaneme sumu v mesiacoch - 149 za prvý a 128 za druhý.

Poznámka
Záporná hodnota vo vzorci znamená, že prijímame platby, ak sa vzorec použije na výpočet platieb, ktoré sa majú zaplatiť, výsledná hodnota bude kladná.

Perpetual anuity (perpetuity) a Gordon model

Osobitným prípadom anuity je sled platieb, ktorých trvanie nie je podmienene určené, a preto sa táto anuita považuje za večnú. Príkladom večnej anuity môžu byť konzoly – druh cenných papierov (dlhopisov), z ktorých sa neobmedzene účtuje úrok, no nominálna hodnota sa nevracia. V praxi sú takéto cenné papiere pomerne zriedkavé. Častejším príkladom večnej renty sú výplaty dividend, ktoré niektoré spoločnosti dlhodobo vyplácajú svojim akcionárom. Na výpočet nákladov na trvalú anuitu sa používa Gordonov model:

(10) S = P * (1 + g) / (r - g) , kde S sú náklady na anuitu, P je súčasná platba, g je miera rastu bežnej platby, r je miera návratnosti.

Vyššie uvedené vzorce sú hlavným zoznamom nástrojov na výpočty rôzneho druhu a umožňujú vykonávať výpočty vo vzťahu k akejkoľvek situácii. V komentároch k tomuto článku môžete popísať situácie, ktoré si vyžadujú finančné výpočty a ja sa pokúsim ukázať, ako vám pri ich riešení pomôže vyššie uvedený matematický aparát.

Pri príprave článku boli použité materiály z učebnice „Finančná matematika.“ Shirshova E.V., N.I. Petrik, Tutygina A.G., Menshikova TV, Moskva, ed. Knorus, 2010

Uvažujme o príklade:

Cena chladničky v obchode sa zvýšila o. Aká bola cena, ak chladnička pôvodne stála RUB?

Riešenie:

Na začiatok určme, koľko rubľov sa zmenilo (v tomto prípade zvýšilo) náklady na chladničku.

Podľa stavu - zapnuté.

Ale z čoho?

Samozrejme, od samotných počiatočných nákladov na chladničku - rubľov.

Ukazuje sa, že musíme nájsť z rub:

Teraz vieme, že cena sa zvýšila o RUB.

Zostáva iba, podľa pravidla, pridať sumu zmeny k počiatočným nákladom:

Nová cena rubľov.

Ďalší príklad(skúste to vyriešiť sami):

Kniha "Matematika pre figuríny" v obchode stojí RUB. Počas akcie sa všetky knihy predávajú so zľavou

Koľko budete musieť zaplatiť za túto knihu teraz?

Riešenie:

Čo je to zľava, asi viete? Zľava v znamená, že cena tovaru bola znížená o

O koľko sa znížila cena knihy (v rubľoch)?

Z počiatočných nákladov v rubľoch musíte nájsť:

Cena sa znížila, čo znamená, že od počiatočných nákladov musíte odpočítať, o koľko sa znížila:

Nová cena rubľov.

Jednoduché, však?

Existuje však spôsob, ako toto riešenie ešte zjednodušiť a skrátiť!

Uvažujme o príklade:

Zvýšte číslo o.

Čo sa rovná od?

Ako sme už skôr zistili, bude.

Teraz zväčšíme samotné číslo x o túto hodnotu:

Ukazuje sa, že v dôsledku toho sme pridali k desatinnému zápisu a vynásobili číslom.

Zovšeobecnme toto pravidlo:

Predpokladajme, že musíme zvýšiť číslo o.

z čísla je.

Potom bude nové číslo:.

Zvýšime číslo napríklad o:

Teraz to skúste sami:

Zvýšte číslo o
Zvýšte číslo o
O koľko percent je číslo väčšie ako číslo?

Riešenia:

3) Nechajte požadované množstvo percent rovná sa.

To znamená, že ak zvýšite číslo o, získate:

Odpoveď na.

Ak je potrebné zmenšiť číslo x, všetko je rovnaké:

Pravidlo teda znie:

Príklady:

1) Znížte číslo o.

2) Zapnuté koľko percent je číslo menšie ako číslo?

3) Cena zľavneného produktu sa rovná p. Aká je cena bez zľavy?

Riešenia:

2) Počet sa znížil o x percent a dostal:

Odpoveď na.

3) Nech je cena bez zľavy. Ukazuje sa, že x bolo znížené o a dostalo:

Nakoniec sa pozrime na ďalší typ úloh, ktoré často spôsobujú zmätok.

Riešenie zložitých problémov pre zaujímavosť

Číslo je väčšie ako číslo o. zapnuté koľko percent je číslo menšie ako číslo?

Aká zvláštna otázka: samozrejme!

Správny?

Ale nie.

Ak je napríklad hmotnosť jednej skrine o 25 kg väčšia ako hmotnosť inej skrine, potom je hmotnosť druhej skrine nepochybne o 25 kg menšia ako hmotnosť prvej.

Nos percent tak to nepôjde!

Skutočne, v prvom prípade, keď hovoríme, že číslo je väčšie ako číslo, počítame z čísla; a v druhom prípade, keď povieme, že číslo je menšie ako číslo, počítame od čísla. A keďže sa čísla líšia, budú sa líšiť aj tieto čísla!

Aby sme tento problém vyriešili správne, napíšme podmienku vo forme rovnice:

Číslo je väčšie ako číslo o. To znamená, že ak sa číslo zvýši o, dostaneme číslo:

Teraz napíšme otázku v tomto tvare: ak sa číslo a zníži o percent, dostaneme číslo:

Vyjadrime číslo z rovnosti (1):

A nahradiť v (2):

Z toho vyplýva, že:

Takže dostaneme, že číslo je menšie ako číslo!

Takéto úlohy sa často vyskytujú pri skúške.

Napríklad:

V pondelok akcie spoločnosti zdraželi o určité číslo percent, a v utorok o rovnaké číslo klesla percent... Vďaka tomu začali stáť menej ako pri otvorení obchodovania v pondelok. zapnuté koľko percent zdraželi akcie firmy v pondelok?

Riešenie:

Nech je akciová cena v pondelok rovnaká a požadované množstvo percent, zapísaný ako desatinný zlomok (teda už delený) sa rovná.

Zapíšme si vzorec, aká je hodnota akcie po raste ceny:

Okrem toho je známe, že táto konečná cena je nižšia ako pôvodná cena. To znamená, že ak znížime o, dostaneme:

Predtým vyjadrený náhradník:

Podľa zdravého rozumu je vhodné len kladné rozhodnutie:

Pripomeňme si teraz, že ide zatiaľ len o desatinný zápis požadovaného množstva. percent, teda túto sumu percent deleno. Preložiť do úrok, musíte vynásobiť 100%: