Čo je definícia algebraického zlomku. Základné pojmy

§ 1 Pojem algebraického zlomku

Algebraický zlomok je výraz

kde P a Q sú polynómy; P je čitateľ algebraického zlomku, Q je menovateľ algebraického zlomku.

Tu je niekoľko príkladov algebraických zlomkov:

Akýkoľvek polynóm je špeciálny prípad algebraického zlomku, pretože každý polynóm možno zapísať ako

Napríklad:

Hodnota algebraického zlomku závisí od hodnoty premenných.

Vypočítajme napríklad hodnotu zlomku

V prvom prípade dostaneme:

Všimnite si, že tento zlomok možno znížiť:

Výpočet hodnoty algebraického zlomku je teda zjednodušený. Využime to.

V druhom prípade dostaneme:

Ako vidíte, so zmenou hodnôt premenných sa význam algebraického zlomku zmenil.

§ 2 Prípustné hodnoty premenných algebraického zlomku

Zvážte algebraický zlomok

Hodnota x = -1 je pre tento zlomok neplatná, pretože menovateľ zlomku pri tejto hodnote x zaniká. Pri tejto hodnote premennej je algebraický zlomok bezvýznamný.

Prípustné hodnoty premenných algebraického zlomku sú teda tie hodnoty premenných, pre ktoré menovateľ zlomku nezmizne.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov.

Pre aké hodnoty premennej algebraický zlomok nedáva zmysel:

Na nájdenie neplatných hodnôt premenných sa menovateľ zlomku rovná nule a nájdu sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pri akých hodnotách premennej sa algebraický zlomok rovná nule:

Zlomok je nula, ak je čitateľ nula. Dajme rovnítko medzi čitateľa nášho zlomku nule a nájdime korene výslednej rovnice:

Pre x = 0 a x = 3 teda tento algebraický zlomok nedáva zmysel, čo znamená, že tieto hodnoty premennej musíme z odpovede vylúčiť.

Takže v tejto lekcii ste sa naučili základné pojmy algebraického zlomku: čitateľ a menovateľ zlomku, ako aj prípustné hodnoty premenných algebraického zlomku.

Zoznam použitej literatúry:

Mordkovich A.G. "Algebra" ročník 8. O 14.00 h 1. časť Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. - 9. vydanie, Rev. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 215 s.: chor.
Mordkovich A.G. "Algebra" ročník 8. O 14:00 2. časť Problémová kniha pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulčinskaja. - 8. vyd., - M .: Mnemosina, 2006 - 239s.
Algebra. 8. trieda. Testovacie práce pre študentov vzdelávacích inštitúcií L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovich 2. vyd., Vymazané. - M .: Mnemosina 2009 .-- 40. roky.
Algebra. 8. trieda. Samostatná práca pre študentov vzdelávacích inštitúcií: k učebnici A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovič. 9. vydanie, Vymazané. - M .: Mnemosina 2013 .-- 112s.

Táto lekcia pojednáva o koncepte algebraického zlomku. S zlomkami sa človek stretáva v najjednoduchších životných situáciách: keď je potrebné rozdeliť predmet na niekoľko častí, napríklad rozkrojiť tortu rovnako na desať ľudí. Je zrejmé, že každý dostane kúsok koláča. V tomto prípade sa stretávame s konceptom číselného zlomku, je však možná situácia, keď je objekt rozdelený na neznámy počet častí, napríklad x. V tomto prípade vzniká koncept zlomkového výrazu. S celočíselnými výrazmi (neobsahujúcimi delenie na výrazy s premennými) a ich vlastnosťami ste sa stretli už v 7. ročníku. Ďalej zvážime koncept racionálneho zlomku, ako aj prípustné hodnoty premenných.

Racionálne výrazy sa delia na celé a zlomkové výrazy.

Definícia.Racionálny zlomok- zlomkové vyjadrenie tvaru, kde sú mnohočleny. - menovateľ čitateľa.

Príkladyracionálne vyjadrenia:- zlomkové výrazy; - celé výrazy. Napríklad v prvom výraze pôsobí ako čitateľ a menovateľ.

Význam algebraický zlomok ako ktokoľvek iný algebraický výraz, závisí od číselnej hodnoty tých premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Najmä v prvom príklade závisí hodnota zlomku od hodnôt premenných a v druhom iba od hodnoty premennej.

Zvážte prvý typický problém: výpočet hodnoty racionálny zlomok pre rôzne hodnoty premenných v ňom zahrnutých.

Príklad 1 Vypočítajte hodnotu zlomku v bode a), b), c)

Riešenie. Dosaďte hodnoty premenných do uvedeného zlomku: a), b), c) - neexistuje (pretože nemôžete deliť nulou).

odpoveď: a) 3; b) 1; c) neexistuje.

Ako vidíte, pre každý zlomok existujú dva typické problémy: 1) výpočet zlomku, 2) nájdenie platné a neplatné hodnoty abecedné premenné.

Definícia.Platné hodnoty premenných- hodnoty premenných, pre ktoré má výraz zmysel. Volá sa množina všetkých prípustných hodnôt premenných ODZ alebo doména.

Hodnota doslovných premenných môže byť neplatná, ak je menovateľ zlomku týchto hodnôt nula. Vo všetkých ostatných prípadoch sú hodnoty premenných platné, pretože zlomok možno vypočítať.

Príklad 2

Riešenie. Aby tento výraz dával zmysel, je potrebné a postačujúce, aby sa menovateľ zlomku nerovnal nule. Neplatné teda budú iba tie hodnoty premennej, pri ktorých sa menovateľ rovná nule. Menovateľ zlomku, takže vyriešme lineárnu rovnicu:

Preto, keď je hodnota premennej, zlomok nedáva zmysel.

odpoveď: -5.

Riešenie príkladu zahŕňa pravidlo na nájdenie neplatných hodnôt premenných - menovateľ zlomku sa rovná nule a nájdu sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pozrime sa na niekoľko podobných príkladov.

Príklad 3 Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel .

Riešenie..

Odpoveď..

Príklad 4 Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Existujú aj iné formulácie tohto problému - nájsť doména alebo rozsah platných hodnôt výrazu (ODZ)... To znamená - nájsť všetky platné hodnoty premenných. V našom príklade sú to všetky hodnoty okrem. Je vhodné znázorniť oblasť definície na číselnej osi.

Aby sme to dosiahli, vypichneme naň bod, ako je znázornené na obrázku:

Ryža. jeden

Touto cestou, doména zlomku budú všetky čísla okrem 3.

Odpoveď..

Príklad 5. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Výsledné riešenie znázornime na číselnej osi:

Ryža. 2

Odpoveď..

Príklad 6.

Riešenie.... Získali sme rovnosť dvoch premenných, uvedieme číselné príklady: alebo atď.

Nakreslite toto riešenie do karteziánskeho súradnicového systému:

Ryža. 3. Graf funkcií

Súradnice ktoréhokoľvek bodu na tomto grafe nie sú zahrnuté v rozsahu prijateľných hodnôt zlomku.

Odpoveď..

V uvažovaných príkladoch sme narazili na situáciu, kedy došlo k deleniu nulou. Teraz zvážte prípad, keď nastane zaujímavejšia situácia typového rozdelenia.

Príklad 7. Stanovte, pri akých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Ukazuje sa, že zlomok nedáva zmysel. Dá sa však tvrdiť, že to tak nie je, pretože: .

Môže sa zdať, že ak je výsledný výraz rovný 8 at, potom sa dá vypočítať aj pôvodný, a teda dáva zmysel at. Ak to však dosadíme do pôvodného výrazu, dostaneme – nemá to zmysel.

Odpoveď..

Aby sme tento príklad pochopili podrobnejšie, vyriešme nasledujúci problém: pri akých hodnotách sa zadaný zlomok rovná nule?

V tom čase sme to však formulovali v „zjednodušenej“ forme, vhodnej a postačujúcej na prácu s obyčajnými zlomkami. V tomto článku sa pozrieme na hlavnú vlastnosť zlomku aplikovanú na algebraické zlomky (teda na zlomky, ktorých čitateľ a menovateľ sú polynómy, v niektorých učebniciach algebry sa takéto zlomky nazývajú nie algebraické, ale racionálne zlomky). Najprv formulujeme základná vlastnosť algebraického zlomku, odôvodníme to a potom uvedieme hlavné oblasti jeho použitia.

Navigácia na stránke.

Formulácia a zdôvodnenie

Na začiatok si pripomeňme, ako bola formulovaná hlavná vlastnosť zlomku pre obyčajné zlomky: ak sa čitateľ a menovateľ obyčajného zlomku súčasne vynásobia alebo vydelia nejakým prirodzeným číslom, hodnota zlomku sa nezmení. Toto tvrdenie je zodpovedané rovnosťami a (ktoré platia aj s preskupenými časťami v tvare a), kde a, b a m sú nejaké.

V skutočnosti nie je potrebné hovoriť o delení čitateľa a menovateľa číslom - tento prípad je pokrytý rovnosťou tvaru. Napríklad rovnosť môže byť odôvodnená delením pomocou rovnosti ako , ale dá sa odôvodniť aj na základe rovnosti ako ... Preto v nasledujúcom texte spojíme hlavnú vlastnosť zlomku s rovnosťou (a) a nebudeme sa zaoberať rovnosťou (a).

Teraz si ukážeme, že základná vlastnosť zlomku platí aj pre zlomky, ktorých čitateľ a menovateľ je. Aby sme to urobili, dokážeme, že zapísaná rovnosť platí nielen pre prirodzené čísla, ale aj pre akékoľvek reálne čísla. Inými slovami, dokážeme, že rovnosť platí pre akékoľvek reálne čísla a, b a ma b a m sú nenulové (v opačnom prípade budeme čeliť deleniu nulou).

Nech zlomok a / b je záznamom čísla z, teda,. Dokážme, že zlomok zodpovedá aj číslu z, teda dokážeme to. To bude dôkazom rovnosti.

Stojí za zmienku, že ak má algebraický zlomok zlomkové koeficienty, potom násobenie jeho čitateľa a menovateľa nie je určitým číslom, čo vám umožňuje prejsť na celočíselné koeficienty, a tým zjednodušiť jeho formu. Napríklad, ... A pravidlá pre zmenu znamienok členov algebraického zlomku sú založené na vynásobení čitateľa a menovateľa mínusom jedna.

Druhou najdôležitejšou oblasťou použitia základnej vlastnosti zlomku je redukcia algebraických zlomkov. Vo všeobecnosti sa zrušenie vykonáva v dvoch fázach: najprv sa čitateľ a menovateľ faktorizujú, čo umožňuje nájsť spoločný faktor m, a potom na základe rovnosti prechod na zlomok tvaru. a / b bez tohto spoločného faktora sa vykonáva. Napríklad algebraický zlomok po faktorizácii čitateľa a menovateľa má podobu www.site, vrátane interných materiálov a vonkajšieho dizajnu, nemožno reprodukovať v žiadnej forme ani používať bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Keď študent nastúpi na strednú školu, matematika sa rozdelí na 2 predmety: algebra a geometria. Konceptov je stále viac, úlohy sú čoraz komplikovanejšie. Niektorí majú problém s vnímaním zlomkov. Preskočila som prvú lekciu na túto tému a voila. zlomky? Otázka, ktorá bude trápiť celý školský život.

Pojem algebraického zlomku

Začnime s definíciou. Pod algebraický zlomok rozumie sa výraz P / Q, kde P je čitateľ a Q menovateľ. Abecedný záznam môže skrývať číslo, číselný výraz, číselno-abecedný výraz.

Predtým, ako sa budete čudovať, ako vyriešiť algebraické zlomky, musíte najprv pochopiť, že takýto výraz je súčasťou celku.

Obvykle je celok 1. Číslo v menovateli udáva, na koľko častí je jednotka rozdelená. Čitateľ je potrebný na zistenie, koľko prvkov sa odoberá. Zlomková čiara zodpovedá deliacemu znamienku. Je dovolené napísať zlomkový výraz ako matematickú operáciu "Ddelenie". V tomto prípade je čitateľom dividenda, menovateľom je deliteľ.

Základné pravidlo bežných zlomkov

Keď študenti študujú túto tému v škole, dostávajú príklady na posilnenie. Aby ste ich správne vyriešili a našli rôzne východiská z ťažkých situácií, musíte použiť základnú vlastnosť zlomkov.

Znie to takto: Ak vynásobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom alebo výrazom (nenulovým), hodnota obyčajného zlomku sa nezmení. Špeciálnym prípadom tohto pravidla je delenie oboch častí výrazu rovnakým číslom alebo polynómom. Takéto transformácie sa nazývajú identické rovnosti.

Nižšie zvážime, ako vyriešiť sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov, násobenie, delenie a rušenie zlomkov.

Matematické operácie so zlomkami

Zvážte, ako vyriešiť hlavnú vlastnosť algebraického zlomku, ako ju aplikovať v praxi. Ak potrebujete vynásobiť dva zlomky, sčítať ich, deliť jeden druhým alebo odčítať, vždy musíte dodržiavať pravidlá.

Takže pre operáciu sčítania a odčítania by sa mal nájsť ďalší faktor, aby sa výrazy dostali do spoločného menovateľa. Ak sú na začiatku uvedené zlomky s rovnakými výrazmi Q, potom túto položku treba vynechať. Keď sa nájde spoločný menovateľ, ako vyriešite algebraické zlomky? Pridajte alebo odčítajte čitateľov. Ale! Malo by sa pamätať na to, že ak je pred zlomkom znamienko "-", všetky znamienka v čitateli sú obrátené. Niekedy by ste nemali vykonávať žiadne substitúcie a matematické operácie. Stačí zmeniť znamienko pred zlomkom.

Často sa používa taký koncept ako redukcia frakcií... To znamená nasledovné: ak sa čitateľ a menovateľ vydelia iným výrazom ako jedným (rovnakým pre obe časti), získa sa nový zlomok. Dividenda a deliteľ sú menšie ako predchádzajúce, ale na základe základného pravidla zlomkov zostávajú rovnaké ako v pôvodnom príklade.

Účelom tejto operácie je získať nový neredukovateľný výraz. Tento problém možno vyriešiť znížením čitateľa a menovateľa o najväčší spoločný faktor. Operačný algoritmus pozostáva z dvoch bodov:

Nájdenie GCD pre obe časti zlomku.
Delenie čitateľa a menovateľa nájdeným výrazom a získanie neredukovateľného zlomku rovného predchádzajúcemu.

Nižšie je uvedená tabuľka so zoznamom vzorcov. Pre pohodlie si ho môžete vytlačiť a nosiť so sebou v notebooku. Aby však v budúcnosti pri riešení kontroly alebo skúšky neboli žiadne ťažkosti v otázke riešenia algebraických zlomkov, tieto vzorce sa musia naučiť naspamäť.

Niekoľko príkladov s riešeniami

Z teoretického hľadiska sa uvažuje nad otázkou, ako riešiť algebraické zlomky. Príklady uvedené v článku vám pomôžu lepšie asimilovať materiál.

1. Preveďte zlomky a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.

2. Preveďte zlomky a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.

Po preštudovaní teoretickej časti a zvážení praktických otázok by už viac nemalo vzniknúť.

V § 42 bolo povedané, že ak nie je možné vykonať delenie polynómov celé, potom sa podiel zapíše v tvare zlomku, v ktorom je deliteľ čitateľom a deliteľom menovateľ.

Príklady zlomkových výrazov:

Čitateľ a menovateľ zlomkového výrazu môžu byť samotnými zlomkovými výrazmi, napríklad:

Zo zlomkových algebraických výrazov sa najčastejšie musíme zaoberať tými, v ktorých čitateľom a menovateľom sú polynómy (najmä monočleny). Každý takýto výraz sa nazýva algebraický zlomok.

Definícia. Algebraický výraz, ktorý je zlomkom, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy, sa nazýva algebraický zlomok.

Rovnako ako v aritmetike sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku nazývajú členy zlomku.

V budúcnosti, po preštudovaní akcií na algebraických zlomkoch, budeme môcť transformovať akýkoľvek zlomkový výraz na algebraický zlomok pomocou identických transformácií.

Príklady algebraických zlomkov:

Všimnite si, že celočíselný výraz, teda polynóm, možno zapísať ako zlomok, na to stačí napísať tento výraz do čitateľa a do menovateľa 1. Napríklad:

2. Povolené významy písmen.

Písmená zahrnuté iba v čitateli môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty (pokiaľ nie sú stavom problému zavedené žiadne ďalšie obmedzenia).

Pre písmená zahrnuté v menovateli sú povolené len tie hodnoty, ktoré menovateľ nezmiznú. Preto v nasledujúcom budeme vždy predpokladať, že menovateľ algebraického zlomku sa nerovná nule.