Kuidas jagada veergu? Kuidas selgitada lapsele veergude jagamist? Jagamine ühe-, kahe- ja kolmekohalise arvuga, jagamine jäägiga. Jagage jäägiga
Mitmekohaliste arvude jagamist on kõige lihtsam teha veerus. Veergude jagamist nimetatakse ka nurgajaotus.
Enne kui alustame veeruga jagamist, vaatleme üksikasjalikult veeruga jagamise salvestamise vormi. Esiteks kirjutame dividendi üles ja paneme sellest paremale vertikaalse riba:
Vertikaalse joone taha, dividendi vastas, kirjutame jagaja ja joonistame selle alla horisontaalse joone:
Horisontaalse joone alla kirjutatakse arvutuste tulemusel saadud jagatis etappide kaupa:
Dividendi alla kirjutatakse vahearvutused:
Veeruga jagamise täielik vorm on järgmine:
Kuidas jagada veeruga
Oletame, et peame jagama 780 12-ga, kirjutama toimingu veergu ja alustama jagamist:
Jagamine kolonniga toimub etapiviisiliselt. Esimene asi, mida peame tegema, on määratleda mittetäielik dividend. Vaadake dividendi esimest numbrit:
see arv on 7, kuna see on väiksem kui jagaja, siis me ei saa sellest jagamist alustada, seega peame dividendist võtma veel ühe numbri, arv 78 on jagajast suurem, seega alustame sellest jagamist:
Meie puhul on number 78 mittetäielik jagatav, nimetatakse seda mittetäielikuks, kuna see on vaid osa jagatavast.
Olles määranud mittetäieliku dividendi, saame teada, mitu numbrit jagatis on, selleks peame arvutama, mitu numbrit on dividendis alles pärast mittetäielikku dividendi, meie puhul on ainult üks number - 0, mis tähendab, et jagatis koosneb 2 numbrist.
Olles välja selgitanud numbrite arvu, mis peaks privaatses numbris välja tulema, saate selle asemele panna punktid. Kui jagamise lõpus osutus numbrite arv näidatud punktidest suuremaks või väiksemaks, siis tehti kuskil viga:
Alustame jagamist. Peame kindlaks määrama, mitu korda 12 sisaldub arvus 78. Selleks korrutame jagaja järgemööda naturaalarvudega 1, 2, 3, ..., kuni saame mittetäielikule jagatavule võimalikult lähedase või sellega võrdse arvu, kuid mitte seda ületades. Seega saame arvu 6, kirjutame selle jagaja alla ja lahutame 78-st 72 (vastavalt veeru lahutamise reeglitele) (12 6 \u003d 72). Pärast 78-st 72 lahutamist saime jäägi 6:
Pange tähele, et ülejäänud osa näitab meile, kas oleme valinud õige numbri. Kui jääk on võrdne jagajaga või sellest suurem, siis me ei valinud õiget arvu ja peame võtma suurema arvu.
Saadud jäägile - 6 - lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Selle tulemusena saime mittetäieliku dividendi - 60. Teeme kindlaks, mitu korda 12 sisaldub arvus 60. Saame arvu 5, kirjutame selle jagatisesse pärast arvu 6 ja lahutame 60-st 60 \u0035d (102). Ülejäänud osa on null:
Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et 780 jagatakse täielikult 12-ga. Veeruga jagamise tulemusel leidsime jagatise - see on kirjutatud jagaja alla:
Vaatleme näidet, kus jagatis saadakse nullid. Oletame, et peame 9027 jagama 9-ga.
Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 9. Kirjutame selle jagatisesse 1 ja lahutame 9-st 9. Ülejäänud osa osutus nulliks. Tavaliselt, kui vahearvutustes on jääk null, siis seda üles ei kirjutata:
Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Tuletame meelde, et nulli jagades mis tahes arvuga, on null. Kirjutame privaatsele nullile (0: 9 = 0) ja vahearvutustes lahutame 0-st 0. Tavaliselt selleks, et mitte kuhjata vahearvutusi, nulliga arvutust üles ei kirjutata:
Lammutame dividendi järgmise numbri - 2. Vahearvutustes selgus, et mittetäielik dividend (2) on väiksem kui jagaja (9). Sel juhul kirjutatakse jagatisesse null ja dividendi järgmine number võetakse maha:
Määrame, mitu korda 9 sisaldub arvus 27. Saame arvu 3, kirjutame selle jagatisesse ja lahutame 27-st 27. Jääk on null:
Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et arv 9027 jagatakse täielikult 9-ga:
Vaatleme näidet, kus dividend lõpeb nullidega. Oletame, et peame 3000 jagama 6-ga.
Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 30. Kirjutame selle jagatisesse 5 ja lahutame 30-st 30. Jääk on null. Nagu juba mainitud, ei ole vahearvutustes ülejäänud osa nulli vaja kirjutada:
Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Kuna nulli jagades suvalise arvuga saadakse null, kirjutame selle privaatseks nulliks ja vahearvutustes lahutame 0-st:
Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Jagatisesse kirjutame veel ühe nulli ja vahearvutustes lahutame 0-st 0. Kuna vahearvutustes nulliga arvutust tavaliselt ei fikseerita, saab kirjet vähendada, jättes alles vaid jäägi - 0. Arvutuste lõpus on jääk null.
Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, tähendab see, et 3000 jagatakse täielikult 6-ga:
Jagamine veeruga jäägiga
Oletame, et peame 1340 jagama 23-ga.
Määrame mittetäieliku dividendi - see on arv 134. Kirjutame jagatisesse 5 ja lahutame 134-st 115. Ülejäänud osa osutus 19-ks:
Lammutame dividendi järgmise numbri - 0. Määrake, mitu korda 23 sisaldub arvus 190. Saame arvu 8, kirjutame selle jagatisesse ja lahutame 190-st 184. Saame ülejäänud 6:
Kuna dividendis pole enam ühtegi numbrit järel, on jagamine lõppenud. Tulemuseks on mittetäielik jagatis 58 ja jääk 6:
1340: 23 = 58 (ülejäänud 6)
Jääb üle võtta näide jäägiga jagamisest, kui dividend on väiksem kui jagaja. Oletame, et peame jagama 3 10-ga. Näeme, et 10 ei sisaldu kunagi arvus 3, seega kirjutame selle jagatisesse 0 ja lahutame 3-st 0 (10 0 = 0). Joonistame horisontaalse joone ja kirjutame ülejäänud osa üles - 3:
3: 10 = 0 (ülejäänud 3)
Veeru jaotuse kalkulaator
See kalkulaator aitab teil teha veeruga jagamist. Lihtsalt sisestage dividend ja jagaja ning klõpsake nuppu Arvuta.
Kuidas õpetada last jagama? Lihtsaim meetod on õppida veeru järgi jagamist. See on palju lihtsam kui peast arvutamine, see aitab mitte segadusse sattuda, numbreid mitte "kaotada" ja töötada välja mõtteline skeem, mis töötab tulevikus automaatselt.
Kokkupuutel
Kuidas see läbi viiakse
Jäägiga jagamine on meetod, mille puhul arvu ei saa jagada täpselt mitmeks osaks. Selle matemaatilise tehte tulemusena jääb lisaks tervele osale alles jagamatu tükk.
Võtame lihtsa näite kuidas jagada jäägiga:
Seal on 5-liitrine vett ja 2 2-liitrist purki. Kui viieliitrisest purgist vesi kaheliitrisesse purki valada, jääb viieliitrisesse purki 1 liiter kasutamata vett. See on ülejäänud osa. Digitaalselt näeb see välja selline:
5:2=2 puhkust (1). Kust on 1 pärit? 2x2=4, 5-4=1.
Nüüd kaaluge jäägiga veeruks jagamise järjekorda. See hõlbustab visuaalselt arvutusprotsessi ja aitab numbreid mitte kaotada.
Algoritm määrab kõigi elementide asukoha ja toimingute jada, mille abil arvutus tehakse. Näiteks jagame 17 5-ga.
Peamised etapid:
- Õige sissekanne. Jagatav (17) - asub vasakul küljel. Kirjutage dividendist paremale jagaja (5). Nende vahele tõmmatakse vertikaalne joon (näitab jagamise märki) ja seejärel tõmmatakse sellelt joonelt horisontaaljoon, mis rõhutab jagajat. Peamised omadused on märgitud oranžiga.
- Terviku otsimine. Järgmisena tehakse esimene ja kõige lihtsam arvutus – mitu jagajat dividendi mahub. Kasutame korrutustabelit ja kontrollime järjekorras: 5*1=5 - sobib, 5*2=10 - sobib, 5*3=15 - sobib, 5*4=20 - ei sobi. Viis korda neli on rohkem kui seitseteist, mis tähendab, et neljas viis ei sobi. Tagasi kolme juurde. 17-liitrisesse purki mahub 3 viieliitrist purki. Kirjutame tulemuse kujul: 3 kirjutame rea alla, jagaja alla. 3 on mittetäielik jagatis.
- Ülejäänud osa määratlus. 3*5=15. 15 on dividendi alla kirjutatud. Joonistame joone (tähistab märki "="). Lahutage saadud arv dividendist: 17-15=2. Tulemuse kirjutame allpool rea alla - veergu (seega ka algoritmi nimi). 2 on ülejäänud osa.
Märge! Selliselt jagades peab jääk alati olema väiksem kui jagaja.
Kui jagaja on suurem kui dividend
On juhtumeid, kui jagaja on suurem kui dividend. Kümnendmurrud 3. klassi programmis pole veel uuritud, kuid loogikat järgides tuleb vastus kirjutada murru kujul - heal juhul kümnendmurdu, halvemal juhul lihtmurruna. Aga (!) lisaks programmile ka arvutusmeetod piirab ülesannet: pole vaja jagada, vaid leida jääk! mõned neist ei ole! Kuidas sellist probleemi lahendada?
Märge! Juhtudeks, kui jagaja on dividendist suurem, kehtib reegel: mittetäielik jagatis on 0, jääk on võrdne dividendiga.
Kuidas jagada arv 5 arvuga 6, tuues esile ülejäänud? Mitu 6-liitrist purki mahub 5-liitrisesse purki? sest 6 on suurem kui 5.
Vastavalt ülesandele on vaja täita 5 liitrit - mitte ühtegi ei täideta. Järele on jäänud kõik 5. Vastus: mittetäielik jagatis = 0, jääk = 5.
Jaoskonda hakatakse õppima kolmandas kooliastmes. Selleks ajaks peaksid õpilased juba olema, mis võimaldab jagada kahekohalised numbrid ühekohalisteks.
Lahendage probleem: viiele lapsele on vaja jagada 18 maiustust. Mitu kommi on alles?
Näited:
Leiame mittetäieliku jagatise: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, 3*5=15. 5 - rind. Me pöördume tagasi 4.
Ülejäänud: 3*4=12, 14-12=2.
Vastus: mittetäielik jagatis 4, 2 jäänud.
Võite küsida, miks 2-ga jagamisel on jääk kas 1 või 0. Korrutustabeli järgi kahe kordsete numbrite vahel ühiku kohta on vahe.
Teine ülesanne: 3 pirukat tuleb jagada kaheks.
Jaga 4 pirukat kahe vahel.
Jaga 5 pirukat kahe vahel.
Mitmekohaliste numbritega töötamine
4. klassi programm pakub keerukamat jagamisprotsessi koos arvestuslike arvude kasvuga. Kui kolmandas klassis arvutati põhikorrutustabeli alusel, mis jäi vahemikku 1–10, siis neljanda klassi õpilased arvutavad mitmekohaliste arvudega üle 100.
Seda toimingut on kõige mugavam teha veerus, kuna mittetäielik jagatis on ka kahekohaline arv (enamikul juhtudel) ja veeru algoritm hõlbustab arvutusi ja muudab need visuaalsemaks.
Jagame mitmekohalistest numbritest kahekohaliseks: 386:25
See näide erineb eelmistest arvutustasemete arvu poolest, kuigi arvutused tehakse sama põhimõtte järgi nagu varem. Vaatame lähemalt:
386 on dividend, 25 on jagaja. On vaja leida mittetäielik jagatis ja eraldada jääk.
Esimene tase
Jagaja on kahekohaline arv. Dividend on kolmekohaline. Valime dividendist kaks esimest vasakpoolset numbrit - see on 38. Võrdleme neid jagajaga. 38 üle 25? Jah, nii et 38 saab jagada 25-ga. Mitu tervet 25-t on 38-s?
25*1=25, 25*2=50. 50 on suurem kui 38, minge ühe sammu võrra tagasi.
Vastus - 1. Kirjutame ühiku tsooni mitte täiesti privaatne.
38-25=13. Rea alla kirjutame numbri 13.
Teine tase
13 üle 25? Ei – see tähendab, et saate numbrit 6 "alla langetada", lisades selle paremal asuva 13 kõrvale. Selgus 136. Kas 136 on rohkem kui 25? Jah, see tähendab, et saate selle lahutada. Mitu korda mahub 25 136-sse?
25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 25*4=100, 25*5=125, 256*=150. 150 on suurem kui 136 – minge üks samm tagasi. Kirjutame numbri 5 mittetäielikku jagatistesse, ühikust paremale.
Arvutame ülejäänud osa:
136-125=11. Kirjutame rea alla. 11 üle 25? Ei, jagamine pole võimalik. Kas dividendil on numbrid alles? Ei, rohkem pole midagi jagada. Arvutused lõpetatud.
Vastus: mittetäielik jagatis on 15, jäägiga 11.
Ja kui selline jagamine on välja pakutud, siis kui kahekohaline jagaja on suurem kui mitme väärtusega dividendi kaks esimest numbrit? Sel juhul osaleb dividendi kolmas (neljas, viies ja järgnev) number arvutustes koheselt.
Siin on mõned näidised jaotus kolme- ja neljakohaliste numbritega:
75 on kahekohaline arv. 386 - kolmekohaline. Võrrelge vasakul asuvaid kahte esimest numbrit jagajaga. 38 üle 75? Ei, jagamine pole võimalik. Võtame kõik 3 numbrit. 386 üle 75? Jah, jagunemine on võimalik. Teostame arvutusi.
75*1=75, 75*2=150, 75*3=225, 75*4=300, 75*5=375, 75*6=450. 450 on suurem kui 386 - me läheme sammu tagasi. Kirjutame mittetäieliku jagatise tsooni 5.
Leidke ülejäänud osa: 386-375 = 11. 11 üle 75? Ei. Kas dividendis on mõni number alles? Ei. Arvutused lõpetatud.
Vastus: mittetäielik jagatis \u003d 5, ülejäänud osa - 11.
Kontrollime: 11 on suurem kui 35? Ei, jagamine pole võimalik. Asendame kolmanda numbri – kas 119 on suurem kui 35? Jah, me saame midagi ette võtta.
35*1=35, 35*2=70, 35*3=105, 35*4=140. 140 on suurem kui 119 – me läheme ühe sammu tagasi. Kirjutame mittetäieliku tasakaalu tsooni 3.
Leia ülejäänud osa: 119-105=14. 14 üle 35? Ei. Kas dividendis on mõni number alles? Ei. Arvutused lõpetatud.
Vastus: mittetäielik jagatis = 3, vasak - 14.
Kas kontrollite, kas 11 on suurem kui 99? Ei – me asendame veel ühe numbri. 119 üle 99? Jah, alustame arvutustega.
11<99, 119>99.
99*1=99, 99*2=198 – rind. Mittetäielikku jagatisesse kirjutame 1.
Leidke ülejäänud osa: 119-99 = 20. 20<99. Опускаем 5. 205>99. Arvutame.
99*1=99, 99*2=198, 99*3=297. Rind. Mittetäielikku jagatisesse kirjutame 2.
Leidke ülejäänud osa: 205-198 = 7.
Vastus: mittetäielik jagatis = 12, jääk - 7.
Jagamine jäägiga - näited
Jäägiga veerus jagamise õppimine
Järeldus
Nii tehakse arvutusi. Kui olete ettevaatlik ja järgite reegleid, pole siin midagi keerulist. Iga õpilane saab õppida veeruga loendama, sest see on kiire ja mugav.
Lugege tunni teemat: "Jagage jäägiga." Mida sa sellest teemast juba tead?
Kas saate jagada 8 ploomi võrdselt kahele taldrikule (joonis 1)?
Riis. 1. Illustratsioon näiteks
Igasse taldrikusse võid panna 4 ploomi (joonis 2).
Riis. 2. Illustratsioon näiteks
Meie sooritatud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
8: 2 = 4
Mis te arvate, kas 8 ploomi on võimalik jagada võrdselt 3 taldrikuks (joonis 3)?
Riis. 3. Illustratsioon näiteks
Käitugu nii. Kõigepealt pane igasse taldrikusse üks ploom, siis teine ploom. Meil jääb 2 ploomi, aga 3 taldrikut. Nii et me ei saa seda võrdselt jagada. Panime igasse taldrikusse 2 ploomi ja alles jääb 2 ploomi (joonis 4).
Riis. 4. Illustratsioon näiteks
Jätkame jälgimist.
Lugege numbreid. Leidke antud arvude hulgast need, mis jaguvad 3-ga.
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Testige ennast.
Ülejäänud arvud (11, 13, 14, 16, 17, 19) ei jagu 3-ga või nad ütlevad "jaga ülejäänud osaga."
Leiame eraelu väärtuse.
Uurime, mitu korda 3 sisaldub arvus 17 (joonis 5).
Riis. 5. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 3 ovaali mahub 5 korda ja 2 ovaali on jäänud.
Tehtud toimingu saab kirjutada järgmiselt.
17: 3 = 5 (ülejäänud 2)
Seda saab kirjutada ka veergu (joon. 6)
Riis. 6. Illustratsioon näiteks
Vaadake joonised üle. Selgitage nende jooniste pealkirju (joonis 7).
Riis. 7. Illustratsioon näiteks
Mõelge esimesele joonisele (joonis 8).
Riis. 8. Illustratsioon näiteks
Näeme, et 15 ovaali jagati 2-ga. 2 korrati 7 korda, ülejäänud osas - 1 ovaal.
Mõelge teisele joonisele (joonis 9).
Riis. 9. Illustratsioon näiteks
Sellel joonisel jagati 15 ruutu 4-ga. 4 korrati 3 korda, ülejäänud osas - 3 ruutu.
Mõelge kolmandale joonisele (joonis 10).
Riis. 10. Illustratsioon näiteks
Võime öelda, et 15 ovaali jagati 3-ks. 3 korrati 5 korda võrdselt. Sellistel juhtudel öeldakse, et jääk on 0.
Teeme jagamise.
Jagame seitse ruutu kolmeks. Saame kaks rühma ja üks ruut jääb alles. Paneme lahenduse kirja (joon. 11).
Riis. 11. Illustratsioon näiteks
Teeme jagamise.
Saame teada, mitu korda neli sisaldub arvus 10. Näeme, et arvus 10 sisaldub neli 2 korda ja jääb 2 ruutu. Paneme lahenduse kirja (joon. 12).
Riis. 12. Illustratsioon näiteks
Teeme jagamise.
Saame teada, mitu korda kaks sisalduvad arvus 11. Näeme, et arvus 11 sisaldub kaks 5 korda ja jääb 1 ruut. Paneme lahenduse kirja (joon. 13).
Riis. 13. Illustratsioon näiteks
Teeme järelduse. Jäägiga jagamine tähendab välja selgitada, mitu korda jagaja sisaldub dividendis ja mitu osakut jääb alles.
Jäägiga jagamist saab sooritada ka arvureal.
Arvjoonele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja üks jaotus jäi alles (joon. 14).
Riis. 14. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
10: 3 = 3 (ülejäänud 1)
Teeme jagamise.
Arvvihule märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et kolm jaotust osutusid kolmekordseks ja jäid kaks jaotust (joon. 15).
Riis. 15. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
11: 3 = 3 (ülejäänud 2)
Teeme jagamise.
Arvkiirele märgime 3 jaotuse lõigud ja näeme, et saime täpselt 4 korda, jääki pole (joon. 16).
Riis. 16. Illustratsioon näiteks
Paneme lahenduse kirja.
12: 3 = 4
Tänases tunnis tutvusime jäägiga jagamisega, õppisime sooritama nimetatud toimingut pildi ja numbrivihu abil, harjutasime tunni teemal näidete lahendamist.
Bibliograafia
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: kahes osas, 1. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moro, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Valgustus", 2012.
- M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- Regulatiivne dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M.: "Valgustus", 2011.
- "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M.: "Valgustus", 2011.
- S.I. Volkov. Matemaatika: kontrolltöö. 3. klass - M.: Haridus, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testid. - M.: "Eksam", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Kodutöö
1. Kirjuta üles arvud, mis jaguvad 2-ga ilma jäägita.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
2. Tehke joonist kasutades jagamine jäägiga.
3. Soorita arvurida kasutades jäägiga jagamine.
4. Koostage oma kaaslastele tunni teemal ülesanne.
Naturaalarvude jäägiga jagamise üldisest ideest liigume edasi ja selles artiklis käsitleme selle toimingu tegemise põhimõtteid. Üleüldse jäägiga jagamine on palju ühist naturaalarvude jagamisega ilma jäägita, seetõttu viitame sageli selle artikli materjalile.
Kõigepealt käsitleme naturaalarvude jagamist jäägiga veerus. Järgmisena näitame, kuidas leiate naturaalarvude jäägiga jagamise tulemuse järjestikuse lahutamisega. Pärast seda liigume edasi mittetäieliku jagatise valimise meetodi juurde, unustamata samas tuua näiteid koos lahenduse üksikasjaliku kirjeldusega. Järgmiseks kirjutame algoritmi, mis võimaldab naturaalarvusid üldjuhul jäägiga jagada. Artikli lõpus näitame, kuidas kontrollida naturaalarvude jäägiga jagamise tulemust.
Leheküljel navigeerimine.
Naturaalarvude jagamine veerus koos jäägiga
Üks mugavamaid viise naturaalarvude jäägiga jagamiseks on veeruga jagamine. Artiklis naturaalarvude jagamine veeruga analüüsisime seda jagamismeetodit väga üksikasjalikult. Me ei hakka siin ennast kordama, vaid anname lihtsalt ühele näitele lahenduse.
Näide.
Jagage naturaalarvu 273844 jäägiga naturaalarvuga 97 .
Lahendus.
Jagame veeruga:
Nii et 273844 jagatis 97-ga on 2823 ja jääk on 13.
Vastus:
273 844:97=2 823 (ülejäänud 13) .
Naturaalarvude jagamine jäägiga järjestikuse lahutamise teel
Naturaalarvude jagamise mittetäieliku jagatise ja jäägi leiate jagaja järjestikusest lahutamisest.
Selle lähenemise olemus on lihtne: olemasoleva hulga elementidest moodustatakse järjestikku hulgad vajaliku arvu elementidega, kuni see on võimalik, saadud hulkade arv annab mittetäieliku jagatise ning ülejäänud elementide arv algses hulgas on jagamise jääk.
Võtame näite.
Näide.
Oletame, et peame 7 jagama 3-ga.
Lahendus.
Kujutage ette, et peame panema 7 õuna kolme õunaga kottidesse. Algsest õunte arvust võtame 3 tükki ja paneme need esimesse kotti. Sel juhul jääb meile naturaalarvude lahutamise tähenduse tõttu 7−3=4 õuna. Neist võtame jälle 3 tükki ja paneme need teise kotti. Peale seda jääb meile 4−3=1 õun. On selge, et protsess lõpeb siin (me ei saa moodustada teist pakki vajaliku arvu õuntega, kuna ülejäänud õunte arv 1 on väiksem kui vajaminev arv 3). Sellest tulenevalt on meil kaks pakki vajaliku arvu õuntega ja üks õun tasakaalus.
Seejärel võib naturaalarvude jäägiga jagamise mõttes väita, et oleme saanud järgmise tulemuse 7:3=2 (ülejäänud 1) .
Vastus:
7:3=2 (ülejäänud 1) .
Mõelge teise näite lahendusele, samas kui esitame ainult matemaatilised arvutused.
Näide.
Jagage naturaalarv 145 46-ga, lahutades järjest.
Lahendus.
145−46=99 (vajadusel viidata naturaalarvude artikli lahutamisele). Kuna 99 on suurem kui 46 , lahutame jagaja teist korda: 99−46=53 . Kuna 53>46 , lahutame jagaja kolmandat korda: 53−46=7 . Kuna 7 on väiksem kui 46, ei saa me uuesti lahutada, see tähendab, et sellega lõpeb järjestikuse lahutamise protsess.
Selle tulemusena pidime lahutama jagaja 46 dividendist 145 3 korda, mille järel saime ülejäänud 7. Seega 145:46=3 (res. 7) .
Vastus:
145:46=3 (ülejäänud 7) .
Tuleb märkida, et kui dividend on jagajast väiksem, ei saa me järjestikust lahutamist teha. Jah, see pole vajalik, kuna sel juhul saame vastuse kohe kirjutada. Sel juhul on mittetäielik jagatis võrdne nulliga ja jääk on võrdne dividendiga. See tähendab, et kui a
Samuti tuleb öelda, et naturaalarvude jäägiga jagamist on hea läbi mõelda ainult siis, kui tulemuse saamiseks on vaja vähest järjestikust lahutamist.
Mittetäieliku jagatise valik
Antud naturaalarvude a ja b jagamisel jäägiga võib leida mittetäieliku jagatise c. Nüüd näitame, millel valikuprotsess põhineb ja kuidas see peaks toimima.
Esmalt otsustame, milliste arvude hulgast mittetäielikku jagatist otsida. Kui me rääkisime naturaalarvude jäägiga jagamise tähendusest, siis saime teada, et mittetäielik jagatis võib olla nii null kui ka naturaalarv, st üks arvudest 0 , 1 , 2 , 3 , ... Seega on soovitud mittetäielik jagatis üks kirjapandud arvudest ja nende kaudu jääbki meile mittetäielik jagatis määrata, millise arvu jagada.
Järgmiseks vajame võrrandit kujul d=a−b c, täpsustades , kui ka seda, et jääk on alati väiksem kui jagaja (seda mainisime ka siis, kui rääkisime naturaalarvude jäägiga jagamise tähendusest).
Nüüd saame minna otse mittetäieliku jagatise valimise protsessi kirjelduse juurde. Dividend a ja jagaja b on meile algusest peale teada, mittetäieliku jagatisena c võtame järjestikku arvud 0 , 1 , 2 , 3 , ..., arvutades iga kord väärtuse d=a−b·c ja kõrvutades seda jagajaga. See protsess lõpeb niipea, kui saadud väärtus on jagajast väiksem. Veelgi enam, arv c selles etapis on soovitud mittetäielik jagatis ja väärtus d=a-b·c on jagamise jääk.
Jääb üle analüüsida mittetäieliku jagatise valimise protsessi näite abil.
Näide.
Jagage naturaalarvu 267 jäägiga 21-ga.
Lahendus.
Valime mittetäieliku jagatise. Meie näites a=267 , b=21 . Anname c-le järjestikku väärtused 0 , 1 , 2 , 3 , …, arvutades igal sammul väärtuse d=a-b·c ja võrreldes seda jagajaga 21 .
Kell c=0 meil on d=a-b c=267-21 0=267-0=267(esmalt tehakse naturaalarvude korrutamine ja seejärel lahutamine, see on artiklis kirjutatud). Saadud arv on suurem kui 21 (vajadusel uurige artikli materjali naturaalarvude võrdlemisel). Seetõttu jätkame valikuprotsessi.
Kell c=1 meil on d=a−b c=267−21 1=267−21=246. Alates 246>21 jätkame protsessi.
Kell c=2 saame d=a−b c=267−21 2=267−42=225. Kuna 225>21 , liigume edasi.
Kell c=3 meil on d=a-b c=267-21 3=267-63=204. Alates 204>21 jätkame valikut.
Kell c=12 saame d=a–b c=267–21 12=267–252=15. Saime numbri 15, mis on väiksem kui 21, seega võib protsessi lugeda lõpetatuks. Valisime mittetäieliku jagatise c=12 , samas kui jääk d osutus 15 .
Vastus:
267:21=12 (ülejäänud 15) .
Naturaalarvude jäägiga jagamise algoritm, näited, lahendid
Selles osas käsitleme algoritmi, mis võimaldab naturaalarvu a jäägiga jagamist naturaalarvuga b juhtudel, kui järjestikuse lahutamise meetod (ja mittetäieliku jagatise valimise meetod) nõuab liiga palju arvutustoiminguid.
Märgime kohe, et kui dividend a on väiksem kui jagaja b, siis on teada nii mittetäielik jagatis kui ka jääk: a jaoks b.
Enne kui kirjeldame üksikasjalikult kõiki naturaalarvude jäägiga jagamise algoritmi etappe, vastame kolmele küsimusele: mida me esialgu teame, mida peame leidma ja millistele kaalutlustele tuginedes me seda teeme? Esialgu teame dividendi a ja jagajat b . Peame leidma mittetäieliku jagatise c ja jäägi d . Võrdsus a=b c+d määrab seose dividendi, jagaja, osajagatise ja jäägi vahel. Kirjutatud võrdsusest järeldub, et kui esitada dividendi a summana b c + d, milles d on väiksem kui b (kuna jääk on alati väiksem kui jagaja), siis näeme nii mittetäielikku jagatist c kui ka jääki d.
Jääb vaid välja mõelda, kuidas esitada dividend a summana b c + d. Selle teostamise algoritm on väga sarnane naturaalarvude jäägita jagamise algoritmiga. Kirjeldame kõiki samme ja samal ajal teostame suurema selguse huvides näite lahenduse. Jagage 899 47-ga.
Algoritmi esimesed viis punkti võimaldavad teil esitada dividendi mitme termini summana. Tuleb märkida, et nendest punktidest lähtuvaid toiminguid korratakse tsükliliselt ikka ja jälle, kuni leitakse kõik tingimused, mis annavad kokku dividendi. Viimases kuuendas lõigus teisendatakse saadud summa kujule b c + d (kui saadud summal seda kuju veel ei ole), millest saab nähtavaks soovitud mittetäielik jagatis ja jääk.
Seega jätkame dividendi 899 esitamist mitme termini summana.
Kõigepealt arvutame välja, kui palju on dividendikande märkide arv suurem kui jagaja kande märkide arv, ja jätame selle numbri meelde.
Meie näites on dividendikirjes 3 numbrit (899 on kolmekohaline arv) ja jagajakirjes on kaks numbrit (47 on kahekohaline arv), seega on dividendikirjes veel üks märk ja me mäletame numbrit 1.
Nüüd lisame parempoolsesse jagajakirjesse numbrid 0 summas, mis on määratud eelmises lõigus saadud arvuga. Veelgi enam, kui kirjutatud arv on suurem kui dividend, lahutage eelmises lõigus meelde jäetud arvust 1.
Tuleme tagasi meie näite juurde. Jagaja 47 kirjes lisame ühe numbri paremale 0-le ja saame arvu 470. Alates 470<899 , то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1 . Таким образом, у нас в памяти остается число 1 .
Pärast seda omistame paremal olevale numbrile 1 numbrid 0 summas, mis on määratud eelmises lõigus meelde jäetud numbriga. Sel juhul saame tühjendusühiku, millega töötame edasi.
Meie näites omistame numbrile 1 arvule 0, sel juhul saame arvu 10, see tähendab, et töötame kümnete numbritega.
Nüüd korrutame jagajat järjestikku töökoha ühikutega 1, 2, 3, ..., kuni saame arvu, mis on suurem kui jagatav või sellega võrdne.
Saime teada, et meie näites on töökohaks kümnend. Seetõttu korrutame jagaja kõigepealt kümne koha ühikuga, see tähendab, et korrutame 47 10-ga, saame 47 10 \u003d 470 . Saadud arv 470 on väiksem kui dividend 899, seega jätkame jagaja korrutamist kahe kümnendiku ühikuga, see tähendab, et korrutame 47 20-ga. Meil on 47 20 = 940 . Saime arvu, mis on suurem kui 899.
Järjestikuse korrutamise eelviimasel etapil saadud arv on esimene nõutavatest liikmetest.
Analüüsitavas näites on soovitav liige arv 470 (see arv võrdub korrutisega 47 100 , kasutame seda võrdsust hiljem).
Pärast seda leiame dividendi ja esimese leitud tähtaja vahe. Kui saadud arv on suurem kui jagaja, jätkake teise liikme leidmisega. Selleks kordame kõiki algoritmi kirjeldatud samme, kuid siin saadud arvu võtame juba dividendina. Kui siinkohal saadakse jälle arv, mis on suurem jagajast, siis jätkame kolmanda liikme leidmisega, korrates veel kord algoritmi samme, võttes saadud arvu dividendina. Ja nii liigume edasi, leides neljanda, viienda ja järgnevad liikmed, kuni selles punktis saadud arv on väiksem kui jagaja. Niipea kui see on juhtunud, võtame siin saadud arvu viimaseks nõutavaks liikmeks (oleme ette vaadates, et see võrdub jäägiga) ja liigume viimasesse etappi.
Tuleme tagasi meie näite juurde. Selles etapis on meil 899–470=429 . Kuna 429>47 , võtame selle arvu dividendina ja kordame sellega kõiki algoritmi samme.
Numbri 429 sisestuses on üks märk rohkem kui numbri 47 sisestamisel, seetõttu pidage meeles numbrit 1.
Nüüd lisame parempoolsesse dividendikirjesse ühe numbri 0, saame numbri 470, mis on suurem kui arv 429. Seetõttu lahutame eelmises lõigus meelde jäetud arvust 1 1, saame numbri 0, mille me mäletame.
Kuna eelmises lõigus jäi meelde number 0, siis ei pea numbrile 1 paremale ühtegi numbrit 0 määrama. Sel juhul on meil number 1, see tähendab, et töönumber on ühikute number.
Nüüd korrutame jagaja 47 järjestikku 1, 2, 3, ... Me ei hakka sellel üksikasjalikult peatuma. Ütleme nii, et 47 9=423<429 , а 47·10=470>429 . Teine nõutav liige on arv 423 (mis võrdub 47 9 , mida kasutame edasi).
429 ja 423 vahe on 6 . See arv on väiksem kui jagaja 47, seega on see kolmas (ja viimane) termin, mida otsime. Nüüd saame liikuda viimase sammu juurde.
Noh, siit jõuame viimase etapini. Kõik senised tegevused olid suunatud dividendi esitamisele mitme tähtaja summana. Nüüd jääb üle saadud summa teisendada kujule b·c+d . Korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes aitab meil selle ülesandega toime tulla. Pärast seda muutuvad nähtavaks soovitud mittetäielik jagatis ja jääk.
Meie näites on dividend 899 võrdne kolme liikme 470, 423 ja 6 summaga. Summa 470+423+6 saab ümber kirjutada kujule 47 10+47 9+6 (pidage meeles, et pöörasime tähelepanu võrdustele 470=47 10 ja 423=47 9 ). Nüüd rakendame naturaalarvu korrutamise omadust summaga ja saame 47 10+47 9+6= 47 (10+9)+6= 47 19+6 . Seega on dividend teisendatud kujule, mida vajame 899=47 19+6 , millest on lihtne leida mittetäielik jagatis 19 ja jääk 6 .
Niisiis, 899:47=19 (eraldus 6) .
Muidugi ei kirjelda te näidete lahendamisel jäägiga jagamise protsessi nii üksikasjalikult.
Juhend
Esmalt testige oma lapse korrutamisoskusi. Kui laps korrutustabelit kindlalt ei tunne, siis võib tal ka jagamisega probleeme tekkida. Siis võib jaotuse selgitamisel lubada petulehte piiluda, aga tabel tuleb ikkagi selgeks õppida.
Kirjutage dividend ja jagaja läbi eraldava vertikaalse riba. Jagaja alla kirjutate vastuse - jagatise, eraldades selle horisontaaljoonega. Võtke esimene number 372 ja küsige oma lapselt, mitu korda number kuus "sobib" kolmega. See on õige, üldse mitte.
Seejärel võtke juba kaks numbrit - 37. Selguse huvides saate need nurgaga esile tõsta. Korrake küsimust uuesti – mitu korda on number kuus 37-s. Kiireks loendamiseks on see kasuks. Valige vastus koos: 6 * 4 = 24 - ei ole üldse sarnane; 6*5 = 30 - ligi 37. Aga 37-30 = 7 - kuus "sobivad" jälle ära. Lõpuks sobib 6*6 = 36, 37-36 = 1. Esimene leitud jagatis on 6. Kirjuta see jagaja alla.
Kirjutage 36 numbri 37 alla, tõmmake joon. Selguse huvides võib märki kirjes kasutada. Ülejäänu pane rea alla - 1. Nüüd "langetage" numbri järgmine number, kaks, ühele - selgus 12. Selgitage lapsele, et numbrid "langevad" alati ükshaaval. Küsige uuesti, mitu "kuut" on 12-s. Vastus on 2, seekord ilma jälgi. Kirjutage teine privaatnumber esimese kõrvale. Lõpptulemus on 62.
Kaaluge üksikasjalikult ka jagamise juhtumit. Näiteks 167/6 \u003d 27, ülejäänud osa on 5. Tõenäoliselt pole teie järglane lihtmurdudest veel midagi kuulnud. Aga kui ta küsib küsimusi, mida ülejäänuga peale hakata, saab seda seletada õunte näitel. Kuue inimese vahel jagati 167 õuna. Igaüks sai 27 tükki ja viis õuna jäid jagamata. Samuti saate need jagada, lõigates iga kuueks viiluks ja jagades need võrdselt. Iga inimene sai igast õunast ühe viilu – 1/6. Ja kuna õunu oli viis, siis igaühel viis viilu – 5/6. See tähendab, et tulemuse saab kirjutada järgmiselt: 27 5/6.
