Matemaatikateadused ja nende metamorfoosid.

Matemaatika- struktuuride, korra ja suhete teadus, mis ajalooliselt kujunes välja esemete loendamise, mõõtmise ja kuju kirjeldamise operatsioonide alusel. Matemaatilised objektid luuakse reaalsete või muude matemaatiliste objektide omaduste idealiseerimisel ja nende omaduste kirjutamisel formaalses keeles. Matemaatika ei kuulu loodusteaduste hulka, kuid on neis laialdaselt kasutusel nii nende sisu täpseks sõnastamiseks kui ka uute tulemuste saamiseks. Matemaatika on fundamentaalteadus, mis annab (üldised) keelelised vahendid teistele teadustele; seega paljastab see nende struktuurse vastastikuse seose ja aitab kaasa kõige üldisemate loodusseaduste avastamisele.

Matemaatika ajalugu.

Akadeemik A. N. Kolmogorov pakkus välja järgmise matemaatika ajaloo struktuuri:

1. Matemaatika sünniperiood, mille jooksul kogunes küllaltki palju faktilist materjali;

2. Elementaarmatemaatika periood, mis algab VI-V sajandil eKr. e. lõpetades 16. sajandi lõpuga (“Mõistekogu, millega matemaatika tegeles enne 17. sajandi algust, moodustab tänapäevani alg- ja keskkoolis õpetatava “algmatemaatika” aluse”);

3. Muutujate matemaatika periood, mis hõlmab XVII-XVIII sajandit, "mida võib tinglikult nimetada ka "kõrgema matemaatika" perioodiks;

4. Kaasaegse matemaatika periood – 19.-20.sajandi matemaatika, mille jooksul matemaatikud pidid "teadlikult käsitlema matemaatilise uurimisaine laiendamise protsessi, seades endale ülesandeks süstemaatiliselt uurida võimalikke kvantitatiivsete seoste tüüpe ja ruumivorme alates aastast. üsna üldine seisukoht."

Matemaatika areng sai alguse sellest, et inimene hakkas kasutama mis tahes kõrgetasemelisi abstraktsioone. Lihtne abstraktsioon – numbrid; Inimese mõtlemise kvalitatiivne saavutus on arusaam, et kahel õunal ja kahel apelsinil on kõigist erinevustest hoolimata midagi ühist, nimelt hõivavad need ühe inimese mõlemad käed. Lisaks konkreetsete objektide loendamise õppimisele mõistsid iidsed inimesed ka abstraktsete suuruste arvutamist, nagu aeg: päevad, aastaajad, aastad. Algarvest hakkas loomulikult arenema aritmeetika: arvude liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.

Matemaatika areng toetub kirjutamisele ja arvude üleskirjutamise oskusele. Tõenäoliselt väljendasid muistsed inimesed esmalt kvantiteeti maapinnale jooni tõmmates või puidule kriimustades. Muistsed inkad, kellel ei olnud muud kirjutamissüsteemi, esitasid ja salvestasid arvandmeid, kasutades keerulist köiesõlmede süsteemi, nn quipu. Erinevaid numbrisüsteeme oli palju. Esimesed teadaolevad numbrikirjed leiti Ahmesi papüürusest, mille lõid Keskkuningriigi egiptlased. Inkade tsivilisatsioon töötas välja kaasaegse kümnendarvusüsteemi, mis hõlmas nulli mõistet.

Ajalooliselt tekkisid peamised matemaatilised distsipliinid vajaduse mõjul teha arvutusi kaubanduses, maa mõõtmisel ja astronoomiliste nähtuste ennustamisel ning hiljem ka uute füüsikaliste probleemide lahendamisel. Kõik need valdkonnad mängivad suurt rolli matemaatika laias arengus, mis seisneb struktuuride, ruumide ja muutuste uurimises.

Matemaatika uurib kujuteldavaid ideaalseid objekte ja nendevahelisi suhteid formaalse keele abil. Üldiselt ei pruugi matemaatilised mõisted ja teoreemid millelegi füüsilises maailmas vastata. Matemaatika rakendusharu põhiülesanne on luua matemaatiline mudel, mis on uuritava reaalobjekti jaoks piisavalt adekvaatne. Teoreetilise matemaatiku ülesanne on pakkuda selle eesmärgi saavutamiseks piisav kogum mugavaid vahendeid.

Matemaatika sisu võib defineerida kui matemaatiliste mudelite ja nende loomise tööriistade süsteemi. Objektimudel ei võta arvesse kõiki selle tunnuseid, vaid ainult kõige vajalikumat õppeeesmärkidel (idealiseeritud). Näiteks apelsini füüsikalisi omadusi uurides saame abstraheerida selle värvist ja maitsest ning kujutada seda (ehkki mitte täiesti täpselt) pallina. Kui me peame aru saama, kui palju apelsine saame, kui liidame kaks ja kolm kokku, siis saame vormist eemalduda, jättes mudelile vaid ühe tunnuse - koguse. Abstraktsioon ja objektidevaheliste suhete loomine kõige üldisemal kujul on matemaatilise loovuse üks peamisi valdkondi.

Mõelge matemaatika rollile keemias, meditsiinis ja males.

Matemaatika roll keemias

Keemia kasutab oma eesmärkidel laialdaselt teiste teaduste, eelkõige füüsika ja matemaatika saavutusi.

Keemikud määratlevad matemaatikat tavaliselt lihtsustatult, kui arvuteadust. Numbrid väljendavad paljusid ainete omadusi ja keemiliste reaktsioonide omadusi. Ainete ja reaktsioonide kirjeldamiseks kasutatakse füüsikateooriaid, milles matemaatika roll on nii suur, et kohati on raske aru saada, kus on füüsika ja kus matemaatika. Sellest järeldub, et keemia pole mõeldav ilma matemaatikata.

Matemaatika keemikutele on ennekõike kasulik vahend paljude keemiliste ülesannete lahendamiseks. Väga raske on leida ühtegi matemaatikaharu, mida keemias üldse ei kasutataks. Funktsionaalanalüüsi ja rühmateooriat kasutatakse laialdaselt kvantkeemias, tõenäosusteooriat on statistilise termodünaamika aluseks, graafiteooriat kasutatakse orgaanilises keemias keeruliste orgaaniliste molekulide omaduste ennustamiseks, diferentsiaalvõrrandid on keemilise kineetika, topoloogia ja diferentsiaali põhitööriist. geomeetria meetodeid kasutatakse keemilises termodünaamikas.

Väljend "matemaatiline keemia" on kindlalt sisenenud keemikute leksikoni. Paljud tõsiste keemiaajakirjade artiklid ei sisalda ühte keemilist valemit, vaid on täis matemaatilisi võrrandeid.

Sümmeetria on üks kaasaegse teaduse põhimõisteid. See on põhiliste loodusseaduste, näiteks energia jäävuse seaduse aluseks. Sümmeetria on keemias väga levinud nähtus: peaaegu kõigil teadaolevatel molekulidel on mingisugune sümmeetria või need sisaldavad sümmeetrilisi fragmente. Nii et võib-olla on keemias asümmeetrilist molekuli raskem tuvastada kui sümmeetrilist.

Keemikute ja matemaatikute koostoime ei piirdu ainult keemiliste ülesannete lahendamisega. Mõnikord tekivad keemias abstraktsed probleemid, mis viivad isegi uute matemaatikavaldkondade esilekerkimiseni.

Matemaatika roll meditsiinis

Pole ime, et paljud inimesed nimetasid matemaatikat teaduste kuningannaks, kuna selle teaduse rakendusi võib leida mis tahes inimtegevuse valdkonnas. Siiski seatakse sageli kahtluse alla matemaatika väärtus sellistes vähem rangetes teadustes nagu "meditsiin ja bioloogia". Kuna võimalus saavutada analüüside või katsete kõige täpsemaid tulemusi on null. Seda tegurit võib seletada sellega, et meie maailm tervikuna on väga muutlik ning raske on ennustada, mis ühe või teise analüüsiobjektiga edasi saab.

Matemaatikat meditsiinis kasutatakse kõige sagedamini modelleerimisel kui teadusliku analüüsi meetodit. Seda meetodit on aga iidsetest aegadest kasutatud sellistes valdkondades nagu arhitektuur, astronoomia, füüsika, bioloogia ja viimasel ajal ka meditsiin. Praeguseks on nakkushaiguste kohta kogunenud väga rikkalik teadmistepagas, mitte ainult sümptomid, vaid ka haiguse kulg, antigeenide ja antikehade vahelise interaktsiooni mehhanismi fundamentaalsete analüüside tulemused erinevatel detailsustasemetel: makroskoopilised. , mikroskoopiline, kuni geneetilise tasemeni. Need uurimismeetodid võimaldasid läheneda immuunprotsesside matemaatiliste mudelite konstrueerimisele.

Matemaatika meditsiinis sellega ei piirdu, seda kasutatakse ka sellistel kitsastel erialadel nagu pediaatria, sünnitusabi.

Ja kui palju loendusmeetodeid on antibiootikumide kasutamise ajal. Matemaatika on eriti oluline farmaatsiatööstuses. Lõppude lõpuks peate täpselt arvutama, kui palju peate ravimit konkreetsele inimesele manustama, sõltuvalt tema isikuomadustest, ja isegi ravimaine koostis tuleb arvutada, et mitte kuskil viga teha. Arstid ja apteekrid pingutavad, et leida mis tahes ravimi valemiahela üks või kõige kasulikum komponent.

Matemaatika roll meditsiinis on hindamatu, ilma selle teaduseta (tervikuna) pole midagi võimalik, seda ei peeta asjata "kuningannaks". Nüüd kirjutavad isegi paljud autorid raamatuid matemaatikast, selle hindamatu panuse kohta.

Matemaatika roll males

Malel ja matemaatikal on palju ühist. Väljapaistev matemaatik Godfrey Harald Hardy märkis kord, et malemängu ülesannete lahendamine pole midagi muud kui matemaatiline harjutus ja mäng ise on matemaatiliste meloodiate vilistamine. Matemaatiku ja maletaja mõtlemisvormid on väga lähedased ning pole juhus, et matemaatikud on sageli võimekad maletajad.

Silmapaistvate teadlaste, täppisteaduste valdkonna ekspertide hulgas on palju tugevaid maletajaid, näiteks matemaatik akadeemik A. A. Markov, mehaanik akadeemik A. Yu. Ishlinsky, füüsik akadeemik, Nobeli preemia laureaat P. L. Kapitsa.

Malet kasutatakse pidevalt erinevate matemaatika mõistete ja ideede illustreerimiseks. Male näiteid ja termineid võib leida kirjandusest, mänguteooriast jne. Tähtis.

Malematemaatika on üks populaarsemaid meelelahutusliku matemaatika, loogikamängude ja meelelahutuse žanre. Mõned male-matemaatilised mõistatused on aga nii keerulised, et silmapaistvad matemaatikud töötasid nende jaoks välja spetsiaalse matemaatilise aparaadi.

Peaaegu igast olümpiaadi matemaatikaülesannete kogumikust või pusleraamatust ja matemaatilisest vaba aja veetmisest leiate kauneid ja vaimukaid ülesandeid, mis on seotud malelaua ja nuppudega. Paljudel neist on huvitav ajalugu, mis on äratanud kuulsate teadlaste tähelepanu.

Malet kasutatakse pidevalt erinevate matemaatika mõistete ja ideede illustreerimiseks. Malenäiteid ja termineid võib leida kirjandusest, mänguteooriast jne. Male mängib olulist rolli “arvutiteaduses”.

Ilma matemaatikatundmiseta on malelaual paljude ülesannete lahendamine võimatu. Ilma matemaatilisi teadmisi valdamata on raske aru saada, mis matemaatika vallas praegu, teiste teaduste vallas toimub. Nii et matemaatika roll ühiskonnaelus suureneb iga päevaga.

Teadused erinevad üksteisest uurimisaine poolest eelkõige selle poolest, et igaüks neist uurib ühte reaalse maailma poolt, ühte või mitut objektiivse reaalsuse liikumise tihedalt seotud ja üksteisesse ülekantavat vormi.

Mõelge ühele võimalikest teaduste klassifikatsioonidest:

Loodusteadused, objektide, nähtuste ja looduse mustrite uurimine. Nende hulgas eristatakse: mehaanika, astronoomia, füüsika, keemia, paleontoloogia, bioloogia ja muud teadused.

Sotsiaalteadused,ühiskonnaelu nähtuste uurimine. Sellised teadused on ajalooteadus, poliitökonoomia jne.

Tehniline Teadused tehniliste seadmete ja süsteemide toimimise uurimine. Näiteks masinate ja mehhanismide teooria, materjalide tugevus jne. jne.

Teadmusteadused: filosoofia, loogika, psühholoogia jne.

Varem pidasid teadlased ja filosoofid matemaatikat sageli loodusteaduste distsipliiniks. Nüüd tavaliselt öeldakse, et matemaatika on iseseisev teadus, mis paikneb üldistuse mõttes filosoofia ja loodusteaduste vahel.

Matemaatika, nagu ka teised teadused, uurib reaalset, materiaalset maailma, selle maailma objekte ja nendevahelisi suhteid. Erinevalt loodusteadustest, mis uurivad aine liikumise erinevaid vorme (mehaanika, füüsika, keemia, bioloogia jne) või info edastamise vorme (arvutiteadus, automaatide teooria ja muud küberneetika osad), uurib matemaatika materiaalse maailma vormid ja suhted, mis on võetud nende sisust abstraktselt. Seetõttu ei uuri matemaatika ühtki konkreetset aine liikumise vormi ja järelikult ei saa seda pidada loodusteaduste hulka.

XIX sajandi teisel poolel. F. Engels andis matemaatika ainele järgmise definitsiooni: "Puhta matemaatika objektiks on reaalse maailma ruumilised vormid ja kvantitatiivsed suhted, seega väga reaalne materjal." Samas tõi ta välja: „Aga selleks, et neid vorme ja suhteid puhtal kujul uurida, on vaja need sisust täielikult eraldada, see viimane kui midagi ükskõikset kõrvale jätta; sel viisil saame punkte, millel puuduvad mõõtmed, jooned, millel puudub paksus ja laius, erinevad a ja b , x ja y , konstantsed ja muutuvad väärtused"

Nendest Engelsi sõnadest järeldub, et matemaatika algsed mõisted, mida on matemaatikateaduse sünnist saati uuritud - naturaalarv, suurus ja geomeetriline kujund - on laenatud reaalsest maailmast, on indiviidi abstraktsiooni tulemused. materiaalsete objektide tunnused ja ei tekkinud reaalsusest lahutatud "puhta mõtlemise" kaudu. Samas tuleb matemaatilise uurimise objektiks saada materiaalsete objektide omadused ja seosed nende materiaalsest sisust abstraheerida.

Seega seisneb matemaatika eripära selles, et ta tõstab esile kõikidele objektidele ja nähtustele omased kvantitatiivsed seosed ja ruumivormid, olenemata nende materiaalsest sisust, abstraheerib need seosed ja vormid ning muudab need oma uurimisobjektiks.

F. Engelsi määratlus peegeldab aga suuresti matemaatika seisu 19. sajandi teisel poolel. ja ei võta arvesse selle uusi valdkondi, mis ei ole otseselt seotud ei kvantitatiivsete suhete ega geomeetriliste vormidega. See on ennekõike matemaatiline loogika ja arvutiprogrammeerimisega seotud distsipliinid. Seetõttu vajab F. Engelsi definitsioon veidi täpsustamist. Võib-olla tuleks öelda, et matemaatika uurimisobjektiks on ruumivormid, kvantitatiivsed seosed ja loogilised konstruktsioonid.

matemaatika. Neljandaks on päevavalgele tulnud arvukalt seoseid matemaatikateaduste vahel. Tuleb eeldada, et matemaatika raames annavad tunnistust teadustevahelised seosed selle ühtsusest (vrd: algebraline geomeetria, arvude geomeetria, algebraline arvuteooria jne). Need suundumused võimaldavad meil kaasaegse matemaatika struktuuri esitada järgmiselt (joonis 1.1).

Riis. ,1.1. Kaasaegne matemaatika

Joonise osas saab meie vastu esitada palju kaebusi (kõiki teadustevahelisi seoseid pole märgitud, joonise parempoolne haru on suhteliselt tagasihoidlikult kujutatud jne). Meie jaoks oli oluline anda graafiline pilt, mis esitaks põhiliselt matemaatikateadmiste arengusuuna, arvestamata neid peensusi, millest pole mõtet kohe õppetöö alguses rääkida. Eelkõige rõhutame, et algebra on arvuteooria üldistus. Topoloogia mängib geomeetriaga seoses sarnast rolli. Kategooriateooria ilmub omakorda algebra ja topoloogia üldistusena. Kasutagem seda asjaolu matemaatikateaduste spetsiifika iseloomustamiseks.
Ilmselt tuleb selleks, et realiseerida soov anda matemaatikateaduste ülimalt kokkuvõtlik kirjeldus, pöörduda kõige üldisema teooria - kategooriateooria poole. Vastasel juhul riskime üksikasjades eksida. Matemaatiline kategooria on sama tüüpi matemaatiliste objektide ja nendevaheliste vastenduste (morfismide) kogum. Seega on vaja eristada objektide klassi ja morfismide klassi. On äärmiselt oluline, et need kaks klassi ei oleks samaväärsed. Asi on selles, et mitte morfisme ei saada kuidagi objektidest välja, vaid viimaseid iseloomustatakse morfismide abil. Seda saab väljendada järgmiselt: morfismid määratlevad objektide spetsiifilisuse (tähenduse). On täiesti õigustatud väita, et matemaatika on morfismide teadus. See ütleb peamise. Kuid ülaltoodud matemaatika määratlusest ei piisa, kui juhindume vaikivalt kehtestatud normist, mille kohaselt on konkreetse teaduse spetsiifika kindlaksmääramisel hädavajalik iseloomustada selle objekte (indiviidid). Arvestades seda normi, tundub, et matemaatikat saab defineerida järgmiselt. Matemaatika on teadus objektidest, mida uuritakse kuni morfismideni. Kuid see määratlus on juba vale. Fakt on see, et matemaatika uurib täpselt morfisme, kõik muu läheb tema pädevusalast välja. Väljend "kuni morfismideni" viitab sellele, et morfismidest väljaspool on midagi, millest matemaatikud abstraheerivad. Matemaatikud ei uuri tegelikult kõike, mis kuulub teistesse teadustesse. Nad ei pea teistest teadustest abstraheerima, justkui "haaraksid" neilt maitsva suutäie, mida nimetatakse morfismideks. Matemaatika on iseseisev teadus ja see uurib morfisme.
Kreeka sõna morph tähendab välimust. Kui tegemist on kaardistamisega, uurib matemaatika samalaadseid objekte. Ainult ja kõike. Morfismide kohta käivaid teadusi nimetatakse tavaliselt formaalseteks. Teatud morfisme uurib mitte ainult matemaatika, vaid ka loogika. Kuid see ei käsitle matemaatilisi, vaid loogilisi morfisme. Seega on matemaatika morfismide eriklasside teadus. Selle määratluse juurde pöördume järgmises tekstis rohkem kui korra tagasi. Siinkohal rõhutame vaid seda, et kõik matemaatilised objektid, olgu need siis arvud, kujundid, rõngad, väljad, tensorid, vektorid, on defineeritud morfismide abil.
Siiani oleme rääkinud matemaatikast. Kuid meie erilise huvi teemaks on matemaatika filosoofia. Kas selle järele on vajadus? Kui jah, siis miks?
Teaduste arengulugu näitab, et teatud punktini arenevad need ilma filosoofilise toetuseta. Teadusfilosoofia tund tabab alles pärast kohtumist oluliste raskustega, näiteks paradoksidega, millest ei saa kuidagi üle. Füüsikud hakkasid filosofeerima seoses vajadusega mõista erirelatiivsusteooria ja kvantmehaanika probleeme. Filosoofia peaks kaasa aitama teadusliku mõtte tee ummistuse ületamisele. Uurimisobjektiks saab teooria ise. Ja see tähendab, et teadusfilosoofia on moodustatud metateadusena. Kreeka eesliide meta tähendab, et teadusfilosoofia tuleb pärast teadust. Teadust, mis on metateaduse objekt, nimetatakse tavaliselt subteaduseks (ladina keelest sub - under). Kui te meta- ja alam-eesliiteid ei kasuta, identifitseeritakse teadus subscience'ga, mis on ebaseaduslik. Matemaatikafilosoofia pole vähem teadus kui alamatemaatika. Matemaatika on alam- ja metamatemaatika ühtsus. Matemaatika filosoofia on alamatemaatika teadus.
Pöördugem matemaatika metamorfooside juurde, mis lõpuks viisid matemaatikafilosoofia konstitutsioonini.
III sajandil. eKr. Euclid leiutas aksiomaatilise geomeetria. Sellest leiutisest sai piir kvaasiteadusliku ja teadusliku matemaatika vahel. Deduktsioonile tuginemine võimaldas pidada geomeetrilisi tõestusi usaldusväärseteks, ümberlükkamatuteks. Babüloonia ja Vana-Egiptuse matemaatika selliste tõestusteni ei jõudnud.
Vanade kreeklaste näiline matemaatiline edu tekitas keeruliste probleemide sasipuntra. Mis on punkt, joon, tasapind? Kas mittelõikuvad sirged lähevad lõpmatuseni? Väga ebatavalisi matemaatilisi objekte leiutades püüdsid kreeklased neid alati visuaalsete analoogide kujul endale esitada. Geomeetrilise punkti analoog on väike keha. Siin tundub kõik enam-vähem selge olevat. Mis on aga piiritusse kaugusesse minevate paralleeljoonte analoog? Kreeklastel oli sellele küsimusele raske vastust leida. Matemaatilise lõpmatuse mõiste oli neile juba niivõrd võõras, kuivõrd seda pole võimalik illustreerida.
Skandaal geomeetrilise lõpmatuse üle on hästi teada seoses aruteluga Eukleidilise geomeetria viienda aksioomi ümber, mida tänapäeval seostatakse võimalusega läbida punkt väljaspool etteantud sirget, ainult üks joon paralleelselt originaaliga (mõlemad sirged peavad asuma samas tasapinnas). Kõik katsed tuletada eukleidilise geomeetria viies aksioom ülejäänud üheksast lõppesid asjata. See asjaolu pidi varem või hiljem viima mõttele, et antud sirgest väljaspool asuva punkti kaudu on võimalik tõmmata rohkem kui üks või isegi mitte ühtegi sirget, mis on paralleelsed algse sirgega.
Ajalooliselt leiutas esimest tüüpi mitteeukleidilise geomeetria N.I. Lobatševski (1826). Mitteeukleidilise geomeetria leiutajate hulgas on ka ungarlane J. Bolyai ning sakslased K. Gauss ja

B. Riemann. Geomeetrite avastused tekitasid matemaatikute leeris ilmset segadust. K. Gauss, kartes kolleegide kisa, ei avaldanud oma uurimistöö tulemusi üldse. Miks on mitu geomeetriat? Geomeetria on kosmoseteadus, kuid tundub, et see eksisteerib ühes eksemplaris. Kui sama ruumi kirjeldatakse mitme geomeetriaga, siis milline neist on tõene? N.I. Lobatševski, rääkides "kujuteldavast geomeetriast", leidis keerulisest olukorrast elegantse väljapääsu: "Mõned jõud looduses järgivad üht, teised oma erilist geomeetriat ...". See järeldus N.I. Lobatševskit ei suudetud eksperimentaalselt kinnitada. Lisaks pole tal mitte matemaatiline, vaid füüsiline staatus. See peaks puudutama matemaatilisi argumente. Matemaatikud ei teinud ju järeldusi füüsikaliste katsete põhjal. Kuna matemaatikud ei saanud loota loodusteaduste andmetele, pidid nad tunnistama, et geomeetria on puhtalt matemaatiline konstruktsioon. Seda ideed kaitses kõige järjekindlamalt G. Grassmann (1844).
Mitte-eukleidiliste geomeetriate loomine aitas esiteks kaasa matemaatika empirismi kummutamisele. Nad ütlevad, et ta ei ole eksperimendist välja võetud, vaid on inimeste loomingulise kontseptuaalse kujutlusvõime toode. Teiseks loodi tänu mitteeukleidilistele geomeetriatele matemaatikas matemaatilise pluralismi hüppelaud. Kolmandaks esitlesid mitteeukleidilised geomeetriad eredal kujul üht matemaatilise üldistuse tüüpi. Matemaatiliste teadmiste arendamine on sageli seotud üldistustega. Sellega seoses on kasulik meenutada arvu mõiste laiendamist: loomulikud - murdarvud - negatiivsed - ratsionaalsed - irratsionaalsed - kompleksarvud.
Vaatleme veel üht matemaatilise üldistuse rida, mille päritolu ei ole geomeetrias, vaid aritmeetikas. Selle üldistamine viis algebrani, mis kasutab laialdaselt tähttähistusi, et hõlbustada erinevate numbrisüsteemide analüüsi. Nn algebralised tehted on sarnased arvude liitmise ja korrutamisega. Algebraliste meetodite kasutamine geomeetrias muutis selle analüütiliseks geomeetriaks. Aritmeetika, algebra ja geomeetria liit 17. sajandil. kulmineerusid muutuja mõistetega (algul räägiti ainult muutujatest), funktsioonidest, diferentsiaalidest, tuletistest. Nii tekkis matemaatiline analüüs oma tuuma-, diferentsiaal- ja integraalarvutusega, mille eeliseid on kõik kuulnud.

Vähesed kahtlesid matemaatilise analüüsi asjakohasuses, kuid selle alused viisid matemaatikute leeris teravate lahkarvamusteni. Eriti teravad vaidlused puhkesid nn väikeste zelichinide staatuse ümber (lõpmatuse probleem tuletas end pidevalt meelde, eriti seoses lahknevate seeriatega). Matemaatilise analüüsi rajajad G. Leibniz ja I. Newton pidasid diferentsiaale kas null- või lõplikeks väärtusteks. Vaidlused lõpmata väikeste suuruste olemuse üle kestsid kogu 18. sajandi. Lõpuks katkestasid lokkava eklektilise pluralismi 19. sajandi kahekümnendatel O. Cauchy ideed, mida sama sajandi lõpus arendasid edasi B. Bolzano ja eriti K. Weierstrassi teosed.
O. Cauchy sai kuulsaks piiri kontseptsiooni väljatöötamisega (mõni muutuja selle muutumise protsessis läheneb lõputult mingile konstantsele väärtusele). Nagu selgus, defineeritakse matemaatilise analüüsi põhimõisted, sealhulgas pidevus, tuletis, integraal, piiri mõiste kaudu.
Piiriteoorial oli suur tähtsus filosoofiliste arenemisel. matemaatika küsimused. Esiteks pani piiriteooria häbisse tohutule metafüüsikute armeele, kes püüdsid lahendada matemaatilise analüüsi probleeme ilma selle peensustesse sisenemata. Teiseks näitas ta, et matemaatikutel endil on mõnikord raske leida teed uute mõisteteni, mis on ilmselgelt täis filosoofilisi momente. Seega näitasid O. Cauchy tööd, et matemaatilises analüüsis on suurused lõpmata väikesed mitte tegelikult, vaid potentsiaalselt. Tänapäeval on seda järeldust täpsustatud: on vaja teha vahet tegelikult ja potentsiaalselt eksisteerivatel lõpmata väikestel suurustel. Kolmandaks lükkas piiriteooria matemaatika empirismi programmi isegi otsustavamalt ümber kui eukleidilised geomeetriad. Ükski katse ei suuda näidata, kuidas see või teine ​​muutuja oma piirini jõuab.
. Kõigile saavutustele vaatamata oli piiriteoorial, nagu see 19. sajandil eksisteeris, ka puudusi. Seega toetus O. Cauchy piiri määratlemisel reaalarvu mõistele. Kuid teisest küljest mõisteti irratsionaalseid arve, ja need on teatavasti reaalarvud, kui ratsionaalarvude jadade piire. Tekib loogiline ring.
Piiriteooria on teatud määral toime tulnud lõpmatute väikeste staatusega seotud raskustega. Kuid selle puudused tulid eriti selgelt esile lõpmata suure hulga terminitega lahknevate seeriate analüüsimisel. Selgus, et matemaatilises analüüsis teoreemide tõestamisel kasutatakse kriitikavabalt tegeliku lõpmatuse mõistet. See ja teised asjaolud tugevdasid saksa matemaatikut G. Kantorit vajaduses välja töötada mitte ainult lõplike, vaid ka lõpmatute hulkade teooria.
Hulgateoreetilise lähenemisviisi rajajana saavutas Cantor muljetavaldavaid edusamme, eelkõige arendas ta välja hulga kardinaalsuse kontseptsiooni ja tõestas, et kõigi reaalarvude hulk on loendamatu, st seda on võimatu ühte viia. ühele vastavus positiivsete täisarvude hulgaga. Nii tehti kindlaks erineva kardinaalsusega lõpmatute hulkade olemasolu.
Kuid hulgateooria mõju kasvuga matemaatika arengule kaasnesid ebasoovitavad üllatused. Selliste näiliselt ilmsete mõistete nagu "kõikide hulkade hulga jõud" kasutuselevõtuga kaasnes paradokside ilmnemine, mille arv mitmekordistus. Matemaatikud sattusid väga raskesse olukorda: nende armastatud laps oli selgelt kapriisne.
Sel juhul ei ole vaja arvesse võtta kõiki hulgateooria paradokse. Pöörakem tähelepanu ainult kõige kuulsamale B. Russelli avastatud paradoksile. Hulke, mis ei sisalda ennast elemendina, nimetatakse õigeteks. Komplekte, mis sisaldavad end elemendina, nimetatakse sobimatuteks. Korraliku komplekti näide on tähtede komplekt (klass), mis ei ole täht. Kuid kataloogide kataloog on kataloog, seetõttu moodustab see sobimatu komplekti. Olgu A kõigi hulkade hulk, mis ei sisalda ennast elemendina. Siis kui An kuulub A-sse, siis A definitsiooni järgi kuulub A A-sse; kui A kuulub A-sse, siis A definitsiooni järgi A ei kuulu A-sse.
Russelli paradoksi populaarseks illustratsiooniks on lugu külajuuksurist, kes teatas, et ajab habet kõik, kes ise ei raseeri. Kui ta ise ei raseeri, siis peab ta ise raseerima, mis on tema teadaandega vastuolus. Aga kui ta raseerib ennast, siis on ta vastuolus oma tingimusega: raseerida ainult neid, kes ise ei raseeri. Juuksur on lootusetus olukorras: nii ennast raseerides kui ka raseerimata jättes läheb ta oma teadaandele vastu.
B. Russelli paradoks seadis kahtluse alla hulga mõiste, mistõttu matemaatikud tajusid seda äärmiselt närviliselt. Tuleb märkida, et hulgateooriate paradoksid stimuleerisid olulisel määral matemaatikafilosoofia arengut. Kunagi varem polnud matemaatikas olnud nii tungivat vajadust filosoofia järele.
olukord 20. sajandi alguses. matemaatikas meenutab see filosoofilise rikkuse poolest 1920.–1930. aastatel välja kujunenud kvantfüüsika seisu. Mõlemal juhul olid sunnitud filosofeerima ka need, kes ei tahtnud filosofeerida.
Arvukaid võimalusi hulgateooria paradokside ületamiseks nende kontseptuaalse liigituse puhul võib pidada seotuks vähemalt nelja valdkonnaga: loogika, formalism, intuitsionism ja hulgateoreetiline lähenemine. Nende nelja suuna pooldajatel pole õnnestunud jõuda üksmeelele. Selle tulemusena on matemaatika muutunud pluralistlikuks. Sel juhul ei räägi me eklektilisest pluralismist, mis sageli eelneb rafineeritud teooria kehtestamise etapile, vaid pluralismist, mille raames ei saa kõrvaldada lähenemiste erinevust.
Selle osa lõpetuseks, pidades silmas matemaatikafilosoofia sajanditepikkust arenguteed, toome välja selle olulisemad etapid. Leiutis 3. sajandil eKr. aksiomaatiline meetod (Eukleidese geomeetria). On piisavalt hästi teada, et selle leiutise koostasid Vana-Kreeka filosoofid Thalesest Aristoteleseni. Algebrale iseseisva staatuse andmine araabia matemaatikute (Al-Khwarizmi jt) poolt 9.-11.sajandil. See viis selleni, et keskaegne algebra muutus aritmeetika üldistuseks. Araabia algebraistide uurimused säilitasid tiheda järjepidevuse nende filosoofilise iidoli Aristotelese loogiliste uurimustega. Just tema loogikast laenasid araablased tähetähistusega opereerimise traditsiooni. Filosoof ja matemaatiku R. Descartes'i analüütilise geomeetria loomine ja muutujate juurutamine matemaatikas (XVII sajand). Descartes'i filosoofia, mis eelistab laiendatud substantsi kontseptsiooni, ja tema väljatöötatud analüütilise geomeetria variandi vahel on tihe järjepidevus. G. Leibnizi ja I. Newtoni diferentsiaalarvutuse leiutis (XVII sajand). Leibnizi monadoloogia ja tema matemaatilise analüüsi vahel on teatav paralleelsus. Mitteeukleidiliste geomeetriate loomine 19. sajandi teisel veerandil. N.I. Lobatševski, J. Bollyai, K. Gauss ja B. Riemann. Lobatševski ja Gauss lähtusid oma geomeetriliste arusaamade filosoofilises põhjendamises ruumi omaduste tinglikkusest objektide materiaalsete vastasmõjude poolt. See idee ulatub tagasi Leibnizi ja Aristotelese loomingusse. Piiri kontseptsiooni arendus O. Cauchy (1820. aastad). Selle kontseptsiooni puhtalt filosoofilise päritolu võib leida Aristotelesest, samuti N. of Cusa. Tegelike lõpmatute hulkade teooria loomine (G. Kantor jt, 19. sajandi viimane veerand). Selle looja lähtus Platoni filosoofiast. Logismi kui filosoofilise ja matemaatilise suuna areng (B. Russell jt). Russelli loogika on Briti empirismi traditsioonide jätk oma pühendumusega nominalismile. Intuitsionistliku suuna loomine matemaatikas (J. Brouwer, A. Rating jt). Filosoofiliselt ulatub matemaatiline intuitsionism tagasi Descartesi, Pascali ja Kangi ideedele. D. Hilberti formalismiprogrammi väljatöötamine. Hilberti loomingus on Kanti filosoofilised ideed selgelt nähtavad. Üleminek filosoofilise ja matemaatilise pluralismi seisukohtadele. Selles osas on vägagi indikatiivne H. Weyli loovus, kes kombineeris oskuslikult erinevate matemaatiliste lähenemiste võimalusi. Tänapäeval on vaevalt võimalik leida silmapaistvat matemaatikut, kes jääks vaid ühe filosoofilise ja matemaatilise suuna piiridesse.
Muidugi annavad ülalloetletud etapid kõige üldisema ettekujutuse matemaatikafilosoofia arenguni viinud raskustest.

Uuritavate objektide idealiseeritud omadused on kas sõnastatud aksioomidena või loetletud vastavate matemaatiliste objektide definitsioonis. Seejärel tuletatakse nendest omadustest loogilise järelduse rangete reeglite kohaselt muud tõelised omadused (teoreemid). See teooria koos moodustab uuritava objekti matemaatilise mudeli. Seega saab matemaatika algselt ruumilistest ja kvantitatiivsetest suhetest lähtudes abstraktsemaid seoseid, mille uurimine on ka kaasaegse matemaatika teema.

Traditsiooniliselt jaguneb matemaatika teoreetiliseks, mis teostab sisematemaatilisi struktuure süvaanalüüsi, ja rakenduslikuks, mis annab oma mudelid teistele teadustele ja inseneriteadustele ning osa neist on matemaatikaga piirneva positsiooniga. Eelkõige võib formaalset loogikat käsitleda nii filosoofiateaduste kui ka matemaatikateaduste osana; mehaanika – nii füüsika kui matemaatika; arvutiteadus, arvutitehnoloogia ja algoritmika viitavad nii inseneri- kui ka matemaatikateadustele jne. Kirjanduses on välja pakutud palju erinevaid matemaatika definitsioone.

Etümoloogia

Sõna "matemaatika" pärineb teisest kreeka keelest. μάθημα , mis tähendab uurimine, teadmisi, teadus jne – kreeka keel. μαθηματικός , algne tähendus vastuvõtlik, viljakas, hiljem uuritav, hiljem matemaatikaga seotud. Eriti, μαθηματικὴ τέχνη , ladina keeles ars mathematica, tähendab matemaatika kunst. Mõiste muu kreeka keel. μᾰθημᾰτικά sõna "matemaatika" tänapäevases tähenduses leidub juba Aristotelese (4. sajand eKr) kirjutistes. Fasmeri sõnul jõudis see sõna vene keelde kas poola keele kaudu. matematyka, või läbi lat. matemaatika.

Definitsioonid

Ühe matemaatikaaine esimese definitsiooni andis Descartes:

Matemaatika valdkonda kuuluvad ainult need teadused, milles vaadeldakse kas järjekorda või mõõtu ning pole üldse vahet, kas need on arvud, kujundid, tähed, helid või midagi muud, milles seda mõõtu otsitakse. Seega peab olema mingi üldteadus, mis seletab kõik korra ja mõõtu puudutava selgeks, laskumata ühegi konkreetse õppeaine uurimisse, ja seda teadust tuleb nimetada mitte võõrapärase, vaid vana, juba levinud nimetusega Üldmatemaatika.

Nõukogude ajal peeti klassikaliseks A. N. Kolmogorovi antud TSB määratlust:

Matemaatika ... teadus reaalse maailma kvantitatiivsete suhete ja ruumivormide kohta.

Matemaatika olemust ... esitatakse praegu objektidevaheliste suhete doktriinina, mille kohta pole midagi teada, välja arvatud mõned neid kirjeldavad omadused - just need, mis on pandud teooria aluseks aksioomidena ... Matemaatika on abstraktsete vormide kogum - matemaatilised struktuurid.

Matemaatika harud

1. Matemaatika as akadeemiline distsipliin Vene Föderatsioonis jagatud algmatemaatikaks, õppinud keskkoolis ja haritud erialade kaupa:

• elementaargeomeetria: planimeetria ja tahke geomeetria
• elementaarfunktsioonide teooria ja analüüsielemendid

4. American Mathematical Society (AMS) on välja töötanud oma standardi matemaatikaharude klassifitseerimiseks. Seda nimetatakse matemaatika ainete klassifikatsiooniks. Seda standardit ajakohastatakse perioodiliselt. Praegune versioon on MSC 2010. Eelmine versioon on MSC 2000.

Märge

Kuna matemaatika tegeleb äärmiselt mitmekesiste ja üsna keeruliste struktuuridega, on ka selle tähistus väga keeruline. Kaasaegne valemite kirjutamise süsteem kujunes välja Euroopa algebralise traditsiooni, aga ka hilisemate matemaatikaharude – matemaatilise analüüsi, matemaatilise loogika, hulgateooria jne – vajaduste põhjal. Geomeetrias on ajast aega kasutatud visuaalset (geomeetrilist) esitust. igipõline. Kaasaegses matemaatikas on levinud ka keerulised graafilised tähistussüsteemid (näiteks kommutatiivsed diagrammid), sageli kasutatakse ka graafipõhist tähistust.

Novell

Matemaatika areng toetub kirjutamisele ja arvude üleskirjutamise oskusele. Tõenäoliselt väljendasid muistsed inimesed esmalt kvantiteeti maapinnale jooni tõmmates või puidule kriimustades. Muistsed inkad, kellel ei olnud muud kirjutamissüsteemi, esitasid ja salvestasid arvandmeid, kasutades keerulist köiesõlmede süsteemi, nn quipu. Erinevaid numbrisüsteeme oli palju. Esimesed teadaolevad numbrikirjed leiti Ahmesi papüürusest, mille valmistasid Keskkuningriigi egiptlased. India tsivilisatsioon töötas välja kaasaegse kümnendarvusüsteemi, mis hõlmas nulli mõistet.

Ajalooliselt tekkisid peamised matemaatilised distsipliinid vajaduse mõjul teha arvutusi kaubanduses, maa mõõtmisel ja astronoomiliste nähtuste ennustamisel ning hiljem ka uute füüsikaliste probleemide lahendamisel. Kõik need valdkonnad mängivad suurt rolli matemaatika laias arengus, mis seisneb struktuuride, ruumide ja muutuste uurimises.

Matemaatika filosoofia

Eesmärgid ja meetodid

Matemaatika uurib kujuteldavaid ideaalseid objekte ja nendevahelisi suhteid formaalse keele abil. Üldiselt ei pruugi matemaatilised mõisted ja teoreemid millelegi füüsilises maailmas vastata. Matemaatika rakendusliku osa põhiülesanne on luua matemaatiline mudel, mis on uuritava reaalobjekti jaoks piisavalt adekvaatne. Teoreetilise matemaatiku ülesanne on pakkuda selle eesmärgi saavutamiseks piisav kogum mugavaid vahendeid.

Matemaatika sisu võib defineerida kui matemaatiliste mudelite ja nende loomise tööriistade süsteemi. Objektimudel ei võta arvesse kõiki selle tunnuseid, vaid ainult kõige vajalikumat õppeeesmärkidel (idealiseeritud). Näiteks apelsini füüsikalisi omadusi uurides saame abstraheerida selle värvist ja maitsest ning kujutada seda (ehkki mitte täiesti täpselt) pallina. Kui me peame aru saama, kui palju apelsine saame, kui liidame kaks ja kolm kokku, siis saame vormist eemalduda, jättes mudelile vaid ühe tunnuse - koguse. Abstraktsioon ja objektidevaheliste suhete loomine kõige üldisemal kujul on matemaatilise loovuse üks peamisi valdkondi.

Teine suund koos abstraktsiooniga on üldistamine. Näiteks "ruumi" mõiste üldistamine n-mõõtmete ruumiks. " Kosmos R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), kell n > 3 (\displaystyle n>3) on matemaatiline leiutis. Küll aga väga geniaalne leiutis, mis aitab matemaatiliselt mõista keerulisi nähtusi».

Matemaatiliste objektide uurimine toimub reeglina aksiomaatilise meetodi abil: esiteks koostatakse uuritavate objektide jaoks põhimõistete ja aksioomide loend ning seejärel saadakse aksioomidest järeldusreeglite abil tähenduslikud teoreemid, mis koos moodustavad matemaatilise mudeli.

Vundamendid

intuitsionism

Intuitsionism eeldab matemaatika vundamendis intuitsionistlikku loogikat, mis on tõendamisvahendites piiratum (aga, nagu arvatakse, ka usaldusväärsem). Intuitsionism lükkab tõestuse tagasi vastuolus, paljud mittekonstruktiivsed tõestused muutuvad võimatuks ja paljud hulgateooriaprobleemid muutuvad mõttetuks (mitteformaliseeritavaks).

Konstruktiivne matemaatika

Konstruktiivne matemaatika on intuitsionismile lähedane matemaatika suund, mis uurib konstruktiivseid konstruktsioone [ täpsustada] . Konstrueeritavuse kriteeriumi järgi - " eksisteerida tähendab ehitada". Konstruktiivsuse kriteerium on tugevam nõue kui järjepidevuse kriteerium.

Peamised teemad

Kogus

Peamine kvantiteedi abstraktsiooni käsitlev osa on algebra. Mõiste "arv" pärines algselt aritmeetilistest esitusviisidest ja viitas naturaalarvudele. Hiljem laiendati seda algebra abil järk-järgult täisarvudele, ratsionaal-, reaal-, kompleks- ja muudele arvudele.

Transformatsioonid

Muutuste ja muutuste nähtusi käsitletakse analüüsi teel kõige üldisemal kujul.

struktuurid

Ruumilised suhted

Ruumisuhete põhitõdesid käsitleb geomeetria. Trigonomeetria võtab arvesse trigonomeetriliste funktsioonide omadusi. Geomeetriliste objektide uurimine matemaatilise analüüsi kaudu tegeleb diferentsiaalgeomeetriaga. Pidevate deformatsioonide korral muutumatuks jäävate ruumide omadusi ja pidevuse fenomeni uuritakse topoloogia abil.

Geomeetria	Trigonomeetria	Diferentsiaalgeomeetria	Topoloogia	fraktalid	mõõtmise teooria

Diskreetne matemaatika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displaystyle \forall x(P(x)\Paremnool P(x")))

Lõputööd - kandidaadi- ja magistritööd, diplomi- ja kursusetööd, ülesannete lahendamine erialakoodis HAC 01.01.00 matemaatika

kõrgem matemaatika

Matemaatiline analüüs

Diferentsiaalvõrrandid

Matemaatiline füüsika

Geomeetria ja topoloogia

Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Matemaatiline loogika, algebra ja arvuteooria

Arvutusmatemaatika

Diskreetne matemaatika ja matemaatiline küberneetika

Arvutite ja süsteemide matemaatiline tugi

Süsteemi analüüs ja automaatjuhtimine

D lõputööd - magistri-, kandidaadi-, uurimisabi tellimisel. Tasuta konsultatsioonid!

Saate lõputöö kirjutada iseseisvalt või valida ettevõtte, mis pakub abi matemaatika lõputöö koostamisel. Kui te pole veel doktoritöö teemat sõnastanud, siis koostöö algfaasis meie ettevõttega on teie doktorikraadi või doktorikraadi jaoks optimaalse teema valimine. matemaatika magistritöö, teadusartikkel või uurimistöö

Alles pärast teema kokkuleppimist jätkame kava koostamist. väitekirjad, mis tuleb kokku leppida oma lõputöö juhendajaga. Oluline on mõista, et edaspidi võib plaani sõnastus muutuda, täpsustuda, kuid tööstrateegia peaks Sinu õppetöö raames jääma muutumatuks, mis aitab Sul teha kõik vajalikud muudatused, parandused ja täiendused.

Matemaatika erialase lõputöö koostamisel tellimuse peale toimub eraldi etappidena, millest igaüht kontrollitakse ja lepitakse kokku teie juhendajaga.

Pakume Sulle abi ja nõu lõputöö kirjutamisel ning garanteerime selle kõrge kvaliteedi, asjakohasuse ja töö praktilise olulisuse.

Iga töö on ainulaadne. Iga töö on kirjutatud eranditult konkreetse üksiku kliendi tellimusel.

Lõputöö või projekt matemaatikas, algebras, geomeetrias,

diplom koos arvutustega

Üliõpilast õpingute ajal ei koormata, mistõttu saate kasutada meie teenust, tellida abi matemaatika lõputöö koostamisel. Meie spetsialistide abiga saate ainulaadse ja hästi üles ehitatud matemaatika lõputöö, mis võtab arvesse kõiki teie ülikooli nõudeid ja juhendaja soove. Matemaatika mõistmine ülikoolis pole kerge ülesanne isegi kõige edasijõudnumale.

Matemaatika tõlkes vanakreeka keelest tähendab - õppimine, teadus. See on teadus struktuuridest, korrast ja suhetest, mis on ajalooliselt kujunenud eseme või eseme loendamise, mõõtmise ja kuju kirjeldamise operatsioonide alusel. Matemaatilised objektid rajatakse reaalsete või muude matemaatiliste objektide omaduste idealiseerimisel ja nende omaduste kirjutamisel formaalses keeles.

Matemaatika ei ole loodusteadus, kuid seda kasutatakse neis laialdaselt nii nende sisu täpseks sõnastamiseks kui ka uute tulemuste saamiseks.

Matemaatika on fundamentaalteadus, mis annab (üldised) keelelised vahendid teistele teadustele; seega paljastab see nende struktuurse seose ja aitab kaasa universumi kõige üldisemate seaduste määratlemisele. Seda teadust seostatakse paljude arvutuste, valemite, võrrandite ja terminitega. Matemaatikast aru saades on väga raske kõigis neis lõpututes arvudes ja arvutustes mitte eksida. Selle teaduse keerukus seisneb ka selle mitmekülgsuses, kuna see sisaldab palju jaotisi:

Algebra

Loogika algebra

Variatsioonistatistika ja variatsioonide arvutus

Integraal- ja diferentsiaalarvutus

Tõenäosusteooria

kõrgem matemaatika

Diskreetne matemaatika

Mänguteooria

Kombinatoorika

propositsiooniloogika

Analüütiline geomeetria

matemaatiline loogika

Matemaatika statistika

Maatriksalgebra

hulga teooria

Traditsiooniliselt jaguneb matemaatika järgmisteks osadeks:

*teoreetiline, mis teostab sisematemaatika struktuuride süvaanalüüsi,

* rakenduslik, mis pakub oma mudeleid teistele teadustele ja inseneriteadustele, samas kui mõned neist on matemaatikaga piiripealsel kohal.

Näiteks formaalset loogikat võib käsitleda nii filosoofiateaduste kui ka matemaatikateaduste osana ning mehaanikat nii füüsikaks kui matemaatikaks, samuti saab arvutiteadust, arvutitehnoloogiat ja algoritme omistada nii inseneri- kui ka matemaatikateadustele. matemaatikateadused jne.

Abi lõputöö valmimisel meie professionaalsete autorite poolt on ette nähtud pädeva, asjakohase ja hästi struktureeritud töö kirjutamine, mis on soodsalt võrreldav teiste matemaatika lõputöödega. Iplom matemaatikas, algebra või geomeetria, aga ka muud matemaatilised distsipliinid kirjutatakse kõrge unikaalsuse tasemega, kirjanduslike allikate kujundus ja praktiline osa vastavalt GOST-ile. Kõik meie ettevõttes tellitud materjalid kontrollitakse "aniplagiaat" süsteemis.

Materjali valimisel ja teostamisel lõputöö kõrgemast matemaatikast meie autorid järgivad rangelt lõputöö valmimise tähtaegu, sest neile läheb korda tellija isiklik aeg. Me ise olime tudengid ja mõistame kogu selle hetke põnevust! Just nii enne osta matemaatika diplom, peate selgelt ja võimalikult selgelt väljendama oma nõuded ja soovid lõputööle. Töö maksumus meie ettevõttes on üsna demokraatlik.

Tegemine lõputöö järjekord Selle tulemusena saate meie spetsialistidelt üksikasjaliku teemaarutelu teoreetilises osas, mida praktilises osas täiendab palju arvutusi ja kokkuvõttes tehakse õiged järeldused. Täidetud matemaatika diplom sisaldab kõiki vajalikke taotlusi ja tõendavaid dokumente. Samuti materjali ettevalmistamine ja teostus lõputöö tellimiseks teie soovil peab kaitsmise ajal kõne.

Abi lõputööde koostamisel- meie tööd, mida teeme Sinu jaoks kogu vastutustundega ja mõistes, et lõputöö on Sinu elus otsustav hetk. Lõpuprojekti hind kõrgemas matemaatikas üllatad meeldivalt, see on Moskvas ja Venemaal üks odavamaid. Kas unistad edukalt keskkooli lõpetamisest?

Optimeerige õppeprotsessi ja kasutage professionaalide tuge!

Nüüd leiate Internetist väga erinevaid kursusetöid kõikidel erialadel ja paljudel teemadel. Kuid suur hulk selliseid kursusetöid on lihtsalt täidetud grammatiliste vigadega või ei ole koostatud GOST-i järgi ja sageli neid lihtsalt ei avaldata. kursusetöö teema. Seetõttu soovitab meie meeskond tellida töö koostamisel abi professionaalsetelt autoritelt, kes on olnud abiks teose teostamisel algebra kursusetööd, geomeetria ja matemaatika mis tahes teemal, mis tahes mahus, kohustusliku kontrolliga plagiaadivastases süsteemis. Teil pole absoluutselt kahtlust, et meie eritellimusel valmistatud abiga tehtud kursused vastavad kõigile teie juhendaja nõuetele ja võite saada kõrge hinde.

Kui otsustate osta abi kursuste koos arvutustega järgmistes matemaatilistes distsipliinides: algebra, loogikalgebra, variatsioonistatistika ja variatsioonide arvutamine, integraal- ja diferentsiaalarvutus, tõenäosusteooria, kõrgem matemaatika, diskreetne matemaatika, mänguteooria, kombinatoorika, propositsiooniloogika, analüütiline geomeetria, matemaatiline statistika, matemaatiline loogika maatriksalgebra, hulgateooria, siis oled õigel ajal ja õiges kohas.

Saate kiireid tulemusi taskukohase hinnaga. Selleks, et teie geomeetria kursused, algebra, matemaatika said suurepärase hinde, see peaks olema seotud huvitava teemaga. Teema peab ka kuidagi unikaalne olema. Kui kursusetöö teema matemaatikas on haruldane, siis on tööd raskem kirjutada, kuid see on ka paremini hinnatud. Saate aru, et õpilase huvi keeruliste teemade vastu soodustatakse. Kuid tasub tähele panna, et kui osta abi kursuste tegemiseks huvitava ja keerulisema teema eest tuleb maksta veidi rohkem kui tavaliselt, aga see on seda väärt. Teie kursusetöö võib saada teie lõpuprojekti jätkuks. Abi õpilastele- meie töö!

Ülesannete lahendamine kõrgemas matemaatikas, abi tellimisel

Kõigil õpilastel ja õpilastel pole matemaatikaga kõik korras, see teadusdistsipliin on väga mitmetahuline ja raskesti mõistetav. Kui teie mõttelaad pole matemaatiline, vaid humanitaarne, tasuks tellida abi kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel, mis vabastab aega olulisemate tegevuste jaoks. Need võivad olla mitmesugused ülesanded:

Integraalid

Tuletised